函数周期与对称轴.doc

抽象函数的周期与对称轴1.函数的图象的对称性（自身）:定理1: 函数的图象关于直对称。特殊的有：函数的图象关于直线对称。函数的图象关于轴对称（奇函数）。函数是偶函数关于对称。定理2：函数的图象关于点对称；特殊的有： 函数的图象关于点对称。 函数的图象关于原点对称（奇函数）。 函数是奇函数关于点 对称。则的图象，以为对称中心。证：方法一：要证原结论成立只需证令代入 则方法二：设它的图象为C; 则P关于点的对称点 定理3：（性质）若的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。若的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。若图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则是周期函数，且2| ab|是其一个周期。若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.函数与函数的图象关于直线对称.特殊地: 与函数的图象关于直线对称函数的图象关于直线对称的解析式为函数的图象关于点对称的解析式为3.若是偶函数，则必有；若是奇函数，则必有若为偶函数，则必有；若是奇函数，则必有2.函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），周期结论2：如果（），周期证：令 令 由得： 结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期4典型例题1：设是定义在R上的函数，均有当时，求当时，的解析式。解：由有得设则 时例2：已知满足，当时，且，若，求、的大小关系？解：，对称轴 也为一条对称轴 ， 练习：设是定义在R上的偶函数，且,当1x0，则f(8.6)= _解： x = 0，x =1是y = f (x) 对称轴。T=2f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例3：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 ）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A) 例4：设定义域为R的函数、都有反函数，并且和函数的图像关于直线y=x对称，若那么（C）。 A 1999； B 2000； C 2001； D 2002。 解：和函数的图像关于直线y=x对称 有例5：若函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a ,c)和一条对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。解析y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c（*）又函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， f (2bx) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2cf 2(ab) + x（*），x=2（ab）x 得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故y = f (x)是周期函数。练习1：若函数有求。解： 知图象关于对称而的对称中心 则2 已知是定义在R上的函数且满足，当时有则是周期函数且周期为2当时，其中正确的是3.对于，有下列命题。在同一坐标系下，函数与的图象关于直线对称。若且均成立，则为偶函数。若恒成立，则为周期函数。若为单调增函数，则（且）也为单调增函数，其中正确的4.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，求的值。解5.设定义在R上，有且当时，（1）求证：且当时，（2）求证：在R上递减。解：1令，得 设，则+有 （2）设则 即 在R上递减【模拟试题】1. 已知满足，且是奇函数，若则（B ）A. B. C. D. 2. 已知是定义在R上的偶函数，且对任何实数均成立，当时，当时，（C ）A. B. C. D.3. 若函数，都有则等于（D）A. 0 B. 3 C. D. 3或4. 函数是（C）A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数 D. 周期为的奇函数5.的图象关于y轴对称的充要条件（C）A. B. C. D.6.如果且则可以是（D）A. B. C. D.7.为偶函数的充要条件是（B）A.B. C. D.8. 设是R上的奇函数，当时，则（B）A. 0.5 B. C. 1.5 D.9. 设，有那么（A）A. B. C. D. 10.定义在R上，则与的图象关于（D）A.对称 B.对称 C.对称 D.对称11.是R上的奇函数，且，则 0 。12.图象的对称轴中最靠近y轴的是。13.为奇函数，且当时，则当时。14.偶函数的定义域为R，且在上是增函数，则下列正确的是 (2) 。1） 2）3） 4）15 如果函数的图象关于和都对称，证明这个函数满足证：令，则 即3.已知对任意实数t都有，比较与的大小。解：对称轴是1 4.定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若方程仅有101个不同实根，求所有实根之和。解：设即 所有实根之和为5. 求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。高考题：1.已知在R上是奇函数，且A A.-2 B.2 C.-98 D.982.函数满足，若，则( C )A 3.（安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则的值为（ ）A、 B、1 C、 D、24.（09江西卷）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 ( C )A B C D5.