换元引参与整体思想罗运河

换元引参与整体思想瓯海任岩松中学 罗运河【立意和思路】整体思想与整体思想中的换元引参是解决数学问题的普遍方法之一，其牵涉的知识面广，几乎涵盖了各个知识章节，应用广泛。换元思想内涵丰富，是培养学生观察能力、直觉能力和整体意识的方法之一，同时培养学生思维结构中从大处着眼的宏观调控能力，产生居高临下之功效，我们不仅在细微之处见“精神”，更要从宏观之中探“世界”。换元引参是整体思想的集中体现，在整体思想中扮演着不可或缺的角色。由于换元引参在第一轮复习中已渗透到各知识章节中，学生已初步体验到其实用性和思想方法，因此，在这里安排8道例题分两课时完成，第一课时突出换元引参的解题思想过程，第二课时突出观察问题的整体思想方法，培养学生解决问题的宏观调控能力，使学生的学习能力在第一轮基础上进一步得到整合提高。这里需要说明的是，下面编排的例题主要是提供一种复习思路，仅供参考，特别是第二轮复习要讲究问题的综合性和一题多解，应考虑到不同层次的学生水平安排例题进行教学。由于本人水平有限、时间仓促，难免使考虑的问题出现漏洞或不成熟的情况，敬请批评指正。【高考回顾】换元引参和整体思想是解决数学问题中转化能力的一种体现，它渗透到数学中的方方面面，在历年高考试题中基本体现出这种能力的考查。如98年高考题的最后一题（即本案例8），考查了数列中整体代换能力或数学归纳法的思想等，但整体能力的观察显然要高于数学归纳法的思想，因为数学归纳法易想但过程显得冗长，远不如整体代入运算来得简捷；99年的填空题（即本案中的例5（1）考查了学生的整体观察能力，从而达到优化运算过程，检测了学生良好的思维品质；又如2000年的解答题（即本案的例4），其中考查学生如何引参、消参，显然这里引参的成功与否关系到运算的质量，是对学生运筹帷幄策略的一次大检验。这些数据充分说明这部分内容在中学教学中应引起我们足够的重视，特别是这部分学生能力的培养更是我们潜心研究的科目。这里需要指出的是，2004年我们浙江卷第17题也体现了整体思想，只是能力要求不高，考查的力度不大，但这并不能说明这部分内容不重要，只能说明命题人的构思不同罢了。【基础知识梳理】换元引参是指引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，然后对新变量求出结果，再代回求出原变量的结果。换元法常与所考虑问题的整体因素有关，其基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，以实现从未知向已知转化，从而达到解题的目的。转化的方式主要是分式向整式、无理向有理、超越向初等以及函数、三角、几何等的互化。引入参变量，作为揭示运动变化中变量之间内在联系的媒介。使我们有可能对运动的过程作出定量的刻划，消化问题的难点，促使问题转化，达到简捷解决问题的目的。解数学问题时，人们常习惯于把它分成若干个简单的问题，然后再各个击破，分而治之。有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构等，并注意已知条件及待求结论在这个“整体”中的地位和作用，然后通过整体结构的调节和转化使问题获解，这种对数学问题的整个过程进行研究的思想方法即为整体思想。在解题时，要细察命题的外形，把握问题的特征展开联想，创设整体常常会使解题思路出现峰回路转、豁然开朗的情景。【例题精选】例1：求下列函数的最值1）2）3）【思路点拔】1）通过观察，注意到式子含有的关系，可令，则，于是问题转化为二次型：， 函数 是增函数，2）分析的本质是平方关系，故可令，则，若；若，则时，。3）此题中的根号与2）题有本质的区别，不宜用替换，注意到，故可令，当，；【点评】在换元法中，注意换元的原则是将复杂的问题转化为简单的问题；把不熟悉的化归为熟悉的，同时要注意新变量范围的确定。问题1）的同类问题还有的关系；问题2）的一般形状为：，3）的一般形状为；求最值问题还可以考虑用导数求解，但这里换元可简化计算过程。例2：解关于x的不等式：【思路点拔】易观察到与的倒数关系，令，得，即，不等式的解集为：， 不等式的解集为：。【点评】培养学生敏锐的观察能力，是培养学生直觉思维的一种有效途径，此题的功效是要求学生在较短的时间内对问题的解决做出反应，同时还要注意分类讨论应在何时进行比较恰当进行定位。例3：已知，确定的取值范围。【思路点拔】如何运用题设条件，将转化成只含一个变量，是解决此问题的关键，由联想到椭圆的参数方程：，或将看作一个整体，利用数形结合、方程的思想解决都不失为一种好方法：方法一：令，则方法二：令，则，代入得，因方程有实数根，故，【评点】上述提供的换元的两种思路中，前者转化为三角关系，利用三角函数的有界性易确定范围，其优点是运算量少；第二种方法有明显的几何背景，即求椭圆上的平行直线系的截距（y轴或x轴）的取值范围，其包含的数学思想方法是数形结合、方程思想，从而挖掘了问题的数学思想内涵。例4：设点A和B为抛物线上原点以外的两个动点，已知，求点M是轨迹方程，并说明它是表示什么曲线。（2000年高考题）【思路点拔】BAM首先明确轨迹问题的实质是找动点中x与y的方程关系。有的问题x与y的关系易确定，但这个问题却不易直接找到x与y的关系，怎么办？注意到动点M与抛物线A、B的位置有关（可用多媒体动画演示），因此引进A、B两点的坐标就十分必要，考虑到所引的参数以少为宜，可设，利用先确定与的关系，即：，由，再注意到条件，得：，直线OM方程： 直线AB的方程： 由消去得：的轨迹是圆【点评】此题的解法较多，但都离不开A、B的坐标参与，故引参时必须考虑设A、B的坐标（设而不求）。在具体消参时，两个变量实际上是作为一个变量（整体）考虑，这给消参带来便利。在解题过程中，若注意到直线AB方程：经过一定点N（2p,0），则点M的轨迹是以ON为直径的圆（原点除外），解题过程显得更简捷。上述是换元引参的几个例子，其过程往往表现在有型（具体换元）的转换。但有些问题的整体思想不是用具体的换元表示，其解题过程却表现出整体思想，下面要讲述的几个例子就表现在无型（无具体的换元）上的整体构思。整体观察，化繁为简例5：（1）已知，求：的值（99年高考题）（2）已知函数则【思路点拔】（1）先将结论因式分解，然后将和都看作整体进行运算，分别令或，易得到结果为1。（2）如果注意到，就易发现此题的结果为。【点评】（1）题主要考察学生的整体观察能力，即不能将割裂来求，否则加大了运算难度；（2）题与（1）有类似情况，其关键是将作为一个整体运算，从问题的结构中也易发现这层关系，利用整体运算带来轻松的快感。整体构造（式或形），化难为易例6：已知是等比数列的前n项的和，且，求（类似96年高考题题型）。【思路点拔】此题若考虑用求和公式，不仅计算量较大，而且对公比还要考虑进行分类讨论，若注意到，依次相差n项，以此构造三个整体：，通过分析可知这三个数构成等比数列。从而得【点评】在解决问题中，有时将局部的问题通过适当的增减，使之成为一个完整的有联系的整体，让问题中的局部与整体的关系有机地联系起来，显露出问题的本质，从而使问题的解决找到捷径。不妨再看一例。例7：已知三棱锥P ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两相互垂直，其外接球的半径为R。 （1）求证：为定值； （2）求三棱锥P ABC体积的最大值。【思路点拔】 （1）首先此问题的定值只能与R发生关系，但碰到的棘手问题是球心O的位置难以确定，条件乍看也难以联系、利用。如果联想到此三棱锥是长方体的一部分（三条侧棱两两相互垂直作为一个整体考虑），且长方体的外接球与此三棱锥有相同的外接球（即唯一性），于是尝试将此三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC作为长方体的棱补成长方体，这样就避开了球心位置的确定，而直接确定球的直径为长方体的对角线，从而得到： （定值） （2）由（1）得当。整体代入，简单明了例8证明：（98年高考题）【思路点拔】在求解此题时，易想到用数学归纳法，但过程比较冗长、繁琐，若构造整体：即令，则只要证，注意到，则只需证即可：所以，从而 【点评】此题作整体代换构造数列，通过整体代入运算、比较，说明它是递增数列，从而使问题的解决在运算上找到了捷径。显然，找到如此简捷的计算方法，不是一般的观察能力所能达到的，特别是在有时间限制的考试中。俗话说的好：台上三分钟，台下十年功。用这句话来概括学生的学习、练“功” 的过程，以及“功力” 发放过程，对我们教师的教学有启迪作用：即学生的学习能力的培养不是一朝一夕的事，也不是靠一时的复习就达到上述功效，它更需要我们平时课堂教学的精耕细作，让学生养成良好的观察、思维习惯，从而达到“功到自然成”之效。【能力测试】一、选择题1、函数是（ ） A、1 B、 C、 D、22、长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则长方体的对角线长为（ ） A、 6 B、5 C、4 D、33、已知的值为（ ） A、 B、 C、 D、4、函数