拉普拉斯电子教案

第 章拉普拉斯变换 2 1拉普拉斯变换2 2单边拉氏变换的性质2 3单边拉氏反变换2 4连续系统的复频域分析2 5函数H s 2 6系统函数的零 极点分布与时域响应特性的关系2 7系统的稳定性2 8系统函数与系统频率特性 4 1拉普拉斯变换 2 1 1从傅里叶变换到拉普拉斯变换2 1 2拉普拉斯变换的收敛域2 1 3常用信号的单边拉氏变换 返回首页 2 1 1从傅里叶变换到拉普拉斯变换 由前面知识已知 当函数f t 满足狄里赫利条件时 便存在一对傅里叶变换式 返回本节 2 1 2拉普拉斯变换的收敛域 连续时间信号f t 的拉普拉斯变换 以下简称拉氏变换 式f s 是否存在 取决于f t 乘以衰减因子以后是否绝对可积 即 拉氏变换的定义 其中 1 f t 为时间函数 当t 0时 f t 02 S为复数 L为运算符 3 F s 为f t 的拉普拉斯变换由定义可得如下性质 1 若F s L f t 则L Af t AL f t AF s A为常数2 若F1 s L f1 t F2 s L f2 t 则L f1 t f2 t L f1 t L f2 t 图2 1收敛域的划分 图2 2右边指数衰减信号与其收敛域 图2 3左边指数增长信号与其收敛域 图2 4双边信号与其收敛域 返回本节 典型信号1 脉冲函数 t 0 t 0t 0 典型信号2 阶跃函数及其拉普拉斯变换 2 1 3常用信号的单边拉氏变换 1 单位阶跃信号2 单位冲激信号3 指数信号4 正弦信号5 t的正幂信号 1 单位阶跃函数 即 2 单位脉冲函数 即 3 指数函数 即 4 正弦函数 即 5 t的正幂信号 利用分部积分法 得 所以 表4 1常用信号的拉氏变换 返回本节 2 2单边拉氏变换的性质 2 2 1线性2 2 2时移 延时 特性2 2 3尺度变换2 2 4频移特性2 2 5时域微分定理2 2 6时域积分定理2 2 7频域微分定理2 2 8频域积分定理2 2 9初值定理2 2 10终值定理2 2 11卷积定理 返回首页 2 2 1线性 返回本节 2 2 2时移 延时 特性 平移函数 a b c d e 图2 5几种时移情况 2 2 3尺度变换 时间比例尺 2 2 4频移特性 返回本节 2 2 5时域微分定理 a 三角脉冲 b 三角脉冲的一阶导数 c 三角脉冲的二阶导数图2 7三角脉冲及其导数 返回本节 2 2 6时域积分定理 2 2 7频域微分定理 返回本节 2 2 8频域积分定理 返回本节 2 2 9初值定理 例 2 2 10终值定理 例 2 2 11卷积定理 1 时域卷积定理2 复频域卷积定理 1 时域卷积定理 2 复频域卷积定理 返回本节 2 3单边拉氏反变换 2 3 1查表法2 3 2部分分式展开法 返回首页 2 3 1查表法 返回本节 查表得 所以 2 3 2部分分式展开法 2 3 2部分分式展开法 L 1 A s pi Aiepit 返回本节 2 4连续系统的复频域分析 2 4 1用拉氏变换法分析系统2 4 2用拉氏变换法分析电路 返回首页 2 4 1用拉氏变换法分析系统 首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换 得到一个代数方程求出的响应象函数包含了零输入响应和零状态响应再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应 零状态响应和全响应的时域解 例2 18描述LTI系统的微分方程为 2 4 2用拉氏变换法分析电路 1 电阻元件的s域电路模型2 电容元件的s域电路模型3 电感元件的s域电路模型4 用拉氏变换法分析电路 1 电阻元件的s域电路模型 电阻元件的时域伏安关系为 对上式取拉氏变换 得 a 时域电路模型 b s域电路模型图4 8电阻元件时域与s域电路模型 2 电容元件的s域电路模型 电容元件的时域伏安关系为 a 时域电路模型 b s域串联电路模型 c s域并联电路模型图4 9电容元件时域与s域电路模型 3 电感元件的s域电路模型 a 时域电路模型 b s域串联电路模型 c s域并联电路模型图4 10电感元件时域与s域电路模型 4 用拉氏变换法分析电路 得到一般电路的s域模型 应用电路的基本分析方法 节点法 网孔法等 和定理 如叠加定理 戴维南定理等 列出复频域的方程 求解得到响应的象函数 对象函数进行拉氏反变换 即得出响应的时域解 a 时域电路模型 b s域电路模型图2 11例2 20图 图2 12例2 21图 a s域全响应电路模型 b s域零输入响应电路模型 c s域零状态电路模型图2 13s域电路模型 返回本节 2 5系统函数H s 2 5 1系统函数的定义2 5 2系统函数的求解方法 返回首页 2 5 1系统函数的定义 2 5 2系统函数的求解方法 a 时域电路模型 b s域电路模型图2 16例2 23图 返回本节 2 6系统函数的零 极点分布与时域响应特性的关系 2 6 1系统函数的零 极点与零 极点图2 6 2系统函数的零 极点分布与时域响应特性的关系 返回首页 2 6 1系统函数的零 极点与零 极点图 LTI连续系统的系统函数h s 通常是复变量的有理分式 即 例如某系统的系统函数为 2 6 1系统函数的零 极点与零 极点图 图2 17h s 的零 极点分布图 返回本节 2 6 2系统函数的零 极点分布与时域响应特性的关系 1 左半平面极点2 虚轴上极点3 右半平面极点 图2 18h s 零 极点分布与时域响应特性的关系 返回本节 2 7系统的稳定性 2 7 1稳定系统的定义2 7 2系统稳定的条件 返回首页 4 7 1稳定系统的定义 一个连续系统 如果对于任意有界输入产生的零状态响应也是有界的 则称该系统为稳定系统 即对于一个稳定系统 若输入信号 则输出响应 返回本节 4 7 2系统稳定的条件 1 时域的稳定条件2 频域的稳定条件 1 时域的稳定条件 设连续时间系统的输入信号x t 满足 x t Mx 则系统的零状态响应 或写成 2 频域的稳定条件 1 稳定系统 2 不稳定系统 3 临界稳定系统 a 时域电路模型 b 域电路模型图4 19例4 24图 图4 20例4 25图 返回本节 4 8系统函数与系统频率特性 4 8 1频率特性4 8 2频率特性的矢量作图法 返回首页 4 8 1频率特性 系统在正弦信号激励的作用下 稳态响应随着激励信号频率的变化特性 称为系统的频率特性 包括幅度随频率变化而变化的幅频特性和相位随频率变化而变化的相频特性 4 8 1频率特性 下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应及频率特性 设系统函数为h s 正弦激励信号为 其拉氏变换为 4 8 1频率特性 则系统响应的拉氏变换为 返回本节 4 8 2频率特性的矢量作图法 矢量作图法是根据系统函数h s 在s平面的零 极点分布绘制的频率响应特性曲线 包括幅频特性曲线和相频特性曲线 设稳定的因果系统 其系统函数为 4 8 1频率特性 系统的频率特性为 图4 21零点与极点的矢量表示 图4 22例4 26电路图 图4 23例4 26电路频率特性分析 a 幅频特性曲线 b 相频特性曲线图4 24一阶RC高通滤波器的频率特性曲线 返回本节 本章小结 1 拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广 它描述了信号时域与复频域之间的对应关系 可以用于分析更为广泛的信号与系统 是分析线性系统强有力的工具 2 拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域特性之间的密切