高二数学 上学期直线的方程定比分点知识的应用例题解析

用心 爱心 专心 定比分点知识的应用定比分点知识的应用 一 在几何中的应用 1 求点的坐标 例 已知直线 l1过点 P1 0 1 P2 2 0 两定点 直线 l2的方程是 求直线 l1与 l201 yx 的交点坐标 分析 l1与 l2的交点 Q 与 P1 P2两点共线 可利用定比分点公式求出 Q 分所成的比 由此 21P P 求 得交点 Q 的坐标 解 设 l1与 l2的交点为 Q x y Q 分所成的比为 则有 21P P 01 1 1 1 2 1 01 1 20 2 上在点lQ yx 解得 2 3 1 3 4 yx 即直线 l1与 l2的交点坐标为 3 1 3 4 2 求直线方程中参数 待定系数 的范围 例 若直线的交点在第一象限内 求 k 的取值范围 42 2 21 xylkkxyl与 分析 注意到 l1过定点 M 1 2 及 l2与 x 轴 y 轴分别交于点 A 2 0 B 0 4 那么 l1与 l2 的交点 P 在第一象限的内分点分线段所成的比 0 ABP为 P AB 解 如图 l2与 x 轴 y 轴分别交于点 A 2 0 B 0 4 设直线 l1与 l2的交点 P 分所成的AB 比为 则 P 点的坐标为 1 4 1 2 0 0 y x 点 P 在 l1上 2 00 kkxy 即2 1 2 1 4 kk k k 2 23 点 P 在线段 AB 内 点 P 内分AB 用心 爱心 专心 2 3 2 0 2 23 0 k k k 即 二 在代数上的应用 1 用于不等式的证明 例 已知baRmba 且 求证 b a mb ma 分析 与定比分点坐标公式结构相似 b m b m b a mb ma 1 1 1 21 xx x 证明 设数轴上三点 则 P 分所成的比 1 21 P b a P mb ma P 21P P b m 为的内分点PRmb 0 21P P 又 b a mb ma b a 1 0 1 在等差数列问题上的应用 例 1 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 已知的等比中项为的等差中项为 43 4 1 3 1 SS 与 435 4 1 3 1 5 1 SSS与 1 求等差数列 an 的通项 an 分析 等差数列的前 n 项和 2 1 2 1 11 d na n S d nn naS n n 可看作是关于 n 的一次函数 其图象为一条直线 n Sn 解 设共线三点所成的比 2154231 5 1 5 4 1 4 3 1 3 PPPSPSPSP分则2 54 35 532 21 4 1 2 3 1 5 1 534 43 5 SSS SS S 即 又 2 543 5 1 4 1 3 1 SSS 2 4 1 3 1 43 SS 联立 得 5 20 5 8 5 24 5 4 3 543543 SSSSSS或 再由 4 4 4544455344 aanadnaaSSaSSa n 得naa nn 5 12 5 32 1 或 2 求含字母参数的范围 用心 爱心 专心 例 已知 当 x 0 1 时 不等式恒成立 试求 的取值范围 0sin 1 1 cos 22 xxxx 解 0cos 1 0sin 0 ff 为第一象限的角 设数轴上三点 且 P 为的内分点 P 分所在的比为 则 0 1 0 21 PPxP 21P P 21P P 1 10 x 则原式变为0sin 1 1 1 1 1 cos 1 22 即0sincos 2 所以原问题变为时 使恒成立时 的范围 0 0sincos 2 抛物线的对称轴0sincos 2 f0 cos2 1 只须即可 即0cossin41 2 1 2sin 在一个周期内 12 5 12 6 5 2 6 为第一象限的