椭圆的标准方程和几何性质练习题

1 椭圆的标准方程和几何性质练习题一 1 若曲线 ax2 by2 1 为焦点在 x 轴上的椭圆 则实数 a b 满足 A a2 b2 B C 0 a b D 0 b 0 所以 0 ab 0 由点 P 2 在椭圆上知 1 又 22 22 xy ab 3 22 43 ab PF1 F1F2 PF2 成等差数列 则 PF1 PF2 2 F1F2 即 2a 2 2c 又 c2 a2 b2 联立得 c1 a2 a2 8 b2 6 3 已知 ABC 的顶点 B C 在椭圆 y2 1 上 顶点 A 是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外一个焦 x2 3 点在 BC 边上 则 ABC 的周长是 A 2 B 6 C 4 D 12 33 答案 C 如图 设椭圆的另外一个焦点为 F 则 ABC 的周长为 AB AC BC AB BF AC CF 4a 4 3 4 已知椭圆 x2 my2 1 的离心率 e 则实数 m 的取值范围是 1 2 1 A B C D 0 3 4 4 3 0 3 4 4 3 3 4 1 1 4 3 答案 C 在椭圆 x2 my2 1 中 当 0 m 1 时 a2 b2 1 c2 a2 b2 1 1 m 1 m 2 e2 1 m c2 a2 1 m 1 1 m 又 e 1 1 m 1 解得 0 m 当 m 1 时 a2 1 b2 c2 1 1 2 1 4 3 4 1 m 1 m e2 1 又 e 1 1 1 解得 m c2 a2 1 1 m 1 1 m 1 2 1 4 1 m 4 3 综上可知实数 m 的取值范围是 0 3 4 4 3 5 已知两圆 C1 x 4 2 y2 169 C2 x 4 2 y2 9 动圆在圆 C1内部且和圆 C1相内切 和圆 C2相外切 则动圆圆心 M 的轨迹方程为 A B C D 1 4864 22 yx 1 6448 22 yx 1 6448 22 yx 1 4864 22 yx 答案 D 设圆 M 的半径为 r 则 MC1 MC2 13 r 3 r 16 所以 M 的轨迹是以 C1 C2为焦点的椭圆 且 2a 16 2c 8 故所求的轨迹方程为 1 2 x 64 2 y 48 6 椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 P 是椭圆上的一点 且1 2 2 2 2 b y a x c a xl 2 PQ l 垂足为 Q 若四边形 PQF1F2为平行四边形 则椭圆的离心率的取值范围是 A 1 B 0 C 0 D 1 1 2 1 2 2 2 2 2 答案 A 设点 P x1 y1 由于 PQ l 故 PQ x1 因为四边形 PQF1F2为平行四边形 所以 2 a c PQ F1F2 2c 即 x1 2c 则有 x1 2c a 所以 2c2 ac a2 0 即 2e2 e 1 0 解得 e 由于 0 e 1 所以 eb 0 的左右焦点分别为 F1 F2 若椭圆 C 上恰有 8 个不同的点 P 1 2 2 2 2 b y a x 使得 F1F2P 为直角三角形 则椭圆 C 的离心率的取值范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 2 2 2 2 2 2 2 2 答案 C 由题意 问题等价于椭圆上存在四个点 P 使得直线 PF1与直线 PF2垂直 所以 OP c b 即 c2 a2 c2 所以 a c 因为e 0 e 1 所以 e2 C tb 0 上一点 A 关于原点的对称点为 B F 为其右焦点 若 AF BF 设1 2 2 2 2 b y a x ABF 且 则该椭圆离心率的取值范围为 12 4 A B C D 2 2 6 3 2 2 3 2 6 3 1 2 2 1 答案 A 由题知 AF BF 根据椭圆的对称性 AF BF 其中 F 是椭圆的左焦点 因此四边形 AFBF 是矩形 于是 AB FF 2c AF 2csin 根据椭圆的定义 AF AF 2a 2csin 2ccos 2a e 而 c a 1 sin cos 1 2sin 4 12 4 5 sin 故 e 4 3 2 4 3 2 1 2 2 6 3 14 直线与椭圆 C a b 0 交于 A B 两点 以线段 AB 为直径的圆恰好经过xy3 1 2 2 2 2 b y a x 椭圆的右焦点 则椭圆 C 的离心率为 A B C 1D 4 2 3 2 31 2 33 答案 C 设椭圆的左 右焦点分别为 F1 F2 由题意可得 OF2 OA OB OF1 c 由 y x 得 AOF2 AOF1 所以 AF2 c AF1 c 3 2 3 3 3 由椭圆定义知 AF1 AF2 2a 所以 c c 2a 所以 e 1 3 c a 3 15 已知椭圆的焦点在 x 轴上 一个顶点为 A 0 1 其右焦点到直线 x y 2 0 的距离为 2 3 则椭圆的方程为 答案 据题意可知椭圆方程是标准方程 故 b 1 设右焦点为 c 0 c 0 它到已知1 3 2 2 y x 直线的距离为 3 解得 c 所以 a2 b2 c2 3 故椭圆的方程为 y2 1 c 2 2 22 x2 3 16 设 F1 F2分别是椭圆 1 的左 右焦点 P 为椭圆上一点 M 是 F1P 的中点 22 xy 2516 OM 3 则 P 点到椭圆左焦点的距离为 答案 4 由题意知 OM PF2 3 所以 PF2 6 所以 PF1 2a PF2 10 6 4 1 2 17 分别过椭圆 a b 0 的左 右焦点 F1 F2所作的两条互相垂直的直线 l1 l2的交点1 2 2 2 2 b y a x 在此椭圆的内部 则此椭圆的离心率的取值范围是 答案 0 由已知得交点 P 在以 F1F2为直径的圆 x2 y2 c2上 又点 P 在椭圆内部 所以 2 2 6 有 c2 b2 又 b2 a2 c2 所以有 c2 a2 c2 即 2c2b 0 的左焦点为 F C 与过原点的直线相交于 A B 两点 连接1 2 2 2 2 b y a x AF BF 若 AB 10 BF 8 cos ABF 则 C 的离心率为 4 5 答案 如图 设 AF x 则 cos ABF 5 7 222 810 x4 2 8 105 解得 x 6 负值舍去 所以 AFB 90 由椭圆及直线关于原点对称可知 AF1 8 且 FAF1 FAB FBA 90 FAF1是直角三角形 所以 F1F 10 故 2a 8 6 14 2c 10 所以 c5 a7 22 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 F1 F2分别是椭圆 a b 0 的左 右焦点 顶点1 2 2 2 2 b y a x B 的坐标为 0 b 连接 BF2并延长交椭圆于点 A 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C 连接 F1C 1 若点 C 的坐标为 且 BF2 求椭圆的方程 4 1 3 3 2 2 若 F1C AB 求椭圆离心率 e 的值 8 解析 1 由题意 F2 c 0 B 0 b BF2 22 bca2 又 C 所以 1 解得 b 1 所以椭圆方程为 y2 1 4 1 3 3 22 2 41 33 2b 2 x 2 2 直线 BF2方程为 1 与椭圆方程 1 联立方程组 解得 A 点坐标为 xy cb 22 22 xy ab 则 C 点的坐标为 23 2222 2a cb acac 23 2222 2a cb acac 又 F1 c 0 又 kAB 由 F1C AB 得 1 3 3 22 223 22 b b ac 2a c3a cc c ac b c 3 23 b 3a cc b c 即 b4 3a2c2 c4 所以 a2 c2 2 3a2c2 c4 化简得 e c5 a5 23 已知椭圆 C x2 2y2 4 1 求椭圆 C 的离心率 2 设 O 为原点 若点 A 在直线 y 2 上 点 B 在椭圆 C 上 且 OA OB 求线段 AB 长度的最小 值 解析 1 由题意 椭圆 C 的标准方程为 1 所以 a2 4 b2 2 从而 c2 a2 b2 2 x2 4 y2 2 因此 a 2 c 故椭圆 C 的离心率 e 2 c a 2 2 2 设点 A B 的坐标分别为 t 2 x0 y0 其中 x0 0 因为 OA OB 所以 0 即 tx0 2y0 0 解得 t OA OB 2y0 x0 又 x 2y 4 所以 AB 2 x0 t 2 y0 2