降次——解一元二次方程

22 222 2 降次降次 解一元二次方程解一元二次方程 教学内容教学内容 本节课主要学习运用配方法 即通过变形运用开平方法降次解方程 教学目标教学目标 知识技能 探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤 能够利用配方法解一元二次方程 数学思考 在探索配方法时 使学生感受前后知识的联系 体会配方的过程以及方法 解决问题 渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法 情感态度 继续体会由未知向已知转化的思想方法 重难点 关键重难点 关键 重点 用配方法解一元二次方程 难点 正确理解把 axx 2 形的代数式配成完全平方式 关键 不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的 化为 的转化方法与技巧 教学准备教学准备 教师准备 制作课件 精选习题 学生准备 复习有关知识 预习本节课内容 教学过程教学过程 一 一 复习引入复习引入 问题 学生活动 请同学们解下列方程 1 3x2 1 5 2 4 x 1 2 9 0 3 4x2 16x 16 9 老师点评 上面的方程都能化成 x2 p 或 mx n 2 p p 0 的形式 那么可得 x p 或 mx n p p 0 如 4x2 16x 16 2x 4 2 活动方略 教师演示课件 给出题目 学生根据所学知识解答问题 设计意图 复习直接开门平方法 解形如 mx n 2 p p 0 的形式的方程 为继续学习引入 作好铺垫 二 二 探索新知探索新知 问题情境 要使一块矩形场地的长比宽多 6 cm 并且面积为 16 cm2 场地的长和宽分别是多少 活动方略 学生活动 学生通过思考 自己列出方程 然后讨论解方程的方法 考虑设场地的宽为 x m 则长为 x 6 m 根据矩形面积为 16 cm2 得到方程 x x 6 16 整理得到 x2 6x 16 0 对于如何解方程 x2 6x 16 0 可以进行讨论 根据问题 1 和问题 2 以及归纳的经验可以想到 只要把上述方程左边化成一个完全平方式 的形式 问题就解决了 于是想到把方程左边进行配方 对于代数式 x2 6x 只需要再加上 9 就是完全平方式 x 3 2 因此方程 x2 6x 16 可以化为 x2 6x 9 16 9 即 x 3 2 25 问题解决 老师活动 在学生讨论方程x2 6x 16 的解法时 注意引导学生根据降次的思想 利用配方的方法 解决问题 进而体会配方法解方程的一般步骤 归纳 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法 叫作配方法 配方的目的归纳 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法 叫作配方法 配方的目的 是为了降次 把一元二次方程转化为两个一元一次方程 是为了降次 把一元二次方程转化为两个一元一次方程 设计意图 引导学生根据降次的思想 利用配方的方法把一元二次方程转化为两个一元一次方程 来解方程 思考 利用配方法解下列方程 你能从中得到在配方时具有的规律吗 1 x2 8x 1 0 2 2 213xx 3 2 3640 xx 活动方略 学生活动 学生首先独立思考 自主探索 然后交流配方时的规律 经过分析 1 中经过移项可 以化为 2 81xx 为了使方程的左边变为完全平方式 可以在方程两边同时加上 42 得到 222 8414xx 得到 x 4 2 15 2 中二次项系数不是 1 此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数 2 然后 再进行配方 即 2 31 22 xx 方程两边都加上 2 3 4 方程可以化为 2 31 416 x 3 按照 2 的方式进行处理 教师活动 在学生解决问题的过程中 适时让学生讨论解决遇到的问题 比如遇到二次项系数不 是 1 的情况该如何处理 然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤 1 把方程化为一般形式 把方程化为一般形式 2 0axbxc 2 把方程的常数项通过移项移到方程的右边 把方程的常数项通过移项移到方程的右边 3 方程两边同时除以二次项系数 方程两边同时除以二次项系数 a 4 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 5 此时方程的左边是一个完全平方式 然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 此时方程的左边是一个完全平方式 然后利用平方根的定义把一元二次方程化为 两个一元一次方程来解 两个一元一次方程来解 设计意图 主体探究 通过解几个具体的方程 归纳作配方法解题的一般过程 三 三 反馈练习反馈练习 教材 P39 练习第 1 2 题 补充习题 解下列方程 1 x2 2x 35 0 2 2x2 4x 1 0 活动方略 学生独立思考 独立解题 教师巡视 指导 并选取两名学生上台书写解答过程 或用投影仪展示学生的解答过 程 设计意图 检查学生对基础知识的掌握情况 四 四 小结作业小结作业 1 问题 本节你遇到了什么问题 在解决问题的过程中你采取了什么方法 如果一个一元二次方程不能直接开平方解 可把方程化为左边是含有 x 的完全平 方形式 右边是非负数 再开平方降次解 这种通过配成完全平方式的形式解一元二 次方程的方法