【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 不等式（2） 理

用心 爱心 专心 1 备战备战 2012 2012 高考数学高考数学 最新专题冲刺最新专题冲刺 不等式 不等式 2 2 理理 一 选择题一 选择题 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 5 5 设实数 x y满足不等式组 250 270 0 xy xy x y0 若 x y为整数 则 34xy 的最小值是 A 14 B 16 C 17 D 19 答案 B 解析 作出可行域 503 2701 xyx xyy 由得 x y为整数 所以4 1xy min 3 44 116z 故选B 2 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 7 7 若 a b为实数 则 0 1ab 是 11 ab ba 或 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 条件 3 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 4 4 设变量 x y满足 1 xy 则 2xy 的最大值和最小值分别为 答案 B 命题意图 本题考查线性规划问题 属容易题 用心 爱心 专心 2 值分别为 2 2 故选 B 4 4 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 2 2 设设 x yR 则则 2x 且且 2y 是是 22 4xy 的的 A A 充分而不必要条件充分而不必要条件 B B 必要而不充分条件 必要而不充分条件 C C 充分必要条件 充分必要条件 D D 即不充分也不必要条件 即不充分也不必要条件 9 9 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 8 8 对实数对实数a与与b 定义新运算 定义新运算 1 1 a ab ab b ab 设设 函数函数 22 2 f xxxxxR 若函数若函数 yf xc 的图像与的图像与x轴恰有两个公共点 轴恰有两个公共点 则实数则实数c的取值范围是 的取值范围是 用心 爱心 专心 3 A A 3 21 2 B B 3 21 4 C C 11 44 D D 11 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 3 3 若 log f x x 则 f x 的定义域为 A B C D 答案 A 解析 要使原函数有意义 只须 1 2 log 21 0 x 即0 21 1x 解得 x 故选 A 12 2011 2011 年高考江西卷理科年高考江西卷理科 4 4 若 lnf xxxx 则 fx 的解集为 A B C D 答案 C 解析 因为 xx fxx xx 原函数的定义域为 0 所以由 fx 可得 2 20 xx 解得 2x 故选 C 31 1 44 用心 爱心 专心 4 13 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 7 7 设 1 m 在约束条件 1yx mxy xy 下 目标函数 myxz 的 最大值小于 2 则m的取值范围为 A 21 1 B 21 C 3 1 D 3 14 14 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 5 5 已知平面直角坐标系已知平面直角坐标系xOy上的区域上的区域 D D 由不等式组由不等式组 02 2 2 x y xy 给定给定 若若 M xM x y y 为为 D D 上动点 点上动点 点 A A 的坐标为的坐标为 2 1 1 则 则z OM OA A 的最大的最大 值为 值为 A A 4 2 B B 3 2 C 4C 4 D 3D 3 解析解析 C C 由题得不等式组对应的平面区域由题得不等式组对应的平面区域 D D 是如图所示的直角梯形是如图所示的直角梯形 OABC OABC cos3 cos3 zOM OAOMOAAOMOMAOMON 所以就是求 所以就是求 ON 的最大值 的最大值 ON 表示表示 方向上的投影 在OAOM 数形结合观察得当点数形结合观察得当点 M M 在点在点 B B 的地的地 方时 方时 ON 才最大 才最大 用心 爱心 专心 5 等式 1xy 则 z 的取值范围为 A 2 2 B 2 3 C 3 2 D 3 3 答案 D 解析 因为a b 故 0a b 即2 3 0 xzyz 可得 23zxy 又因为 1xy 其图像为四条直线 1 1 1 1xyxyxyxy 所围成的正方形面 由线性规划可计算得当 0 1xy 时 33zxy 取到max 3z 当 0 1xy 取到 min 3z 所以选 D 16 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 9 9 若实数 a b满足0 0ab 且 0ab 则称a与b互补 记 22 a babab 那么 0a b 是a与 b 互补的 A 必要而不充分条件B 充分而不必要条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由 0a b 即 22 0 abab 故 22 abab 则 0ab 化简得 222 abab 即ab 0 故 0ab 且 0ab 则 0 0ab 且 0ab 故选 C 17 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 2 2 1x 是 2 10 x 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 用心 爱心 专心 6 解析 选 D 设 2 2f xmxkx 则方程 2 20mxkx 在区间 0 1 内有两个不同 的根等价于 2 010 01 2 80 ff k m km 因为 02f 所以 120fmk 故抛物线开口向 上 于是 0m 0 2km 令 1m 则由 2 80km 得 3k 则 3 22 k m 所 以 m 至少为 2 但 2 80km 故 k 至少为 5 又 5 22 k m 所以 m 至少为 3 又由 252mk 所以 m 至少为 4 依次类推 发现当 6 7mk 时 m k首次满足 所有条件 故m k 的最小值为 13 25 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 15 15 若 a bR 且 0ab 则下列不等式中 恒成立的是 A 22 2abab B 2abab C 112 abab D 2 ba ab 答案 D 二 填空题二 填空题 用心 爱心 专心 7 1 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 16 16 设 x y为实数 若 22 41 xyxy 则2x y 的最大值是 答案 2 10 5 解析 22 4431xyxyxy 2222 3325 1 2 2 2 2 2228 xy xyxyxyxy 2 10 2 5 xy 故2x y 的最大值为 2 10 5 2 2011 2011 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 13 13 若变量 x y满 足约束条件 329 69 xy xy 则 2zxy 的最小值为 答案 6 解析 如图可知最优解是 4 5 所以 6 5 24 min z 点评 本题考查线性规划问题 求最优解事先要准确 画出线性区域是关键 3 3 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 13 13 已知集合已知集合 1 349 46 0 AxR xxBxR xtt t 则集合 则集合 AB 答案 25xx 解析 因为 0t 所以 1 44t t 所以 2BxR x 由绝对值的几何意义可得由绝对值的几何意义可得 45AxRx 所以所以AB 25xx 4 2011 2011 年高考湖南卷理科年高考湖南卷理科 10 10 设 Ryx 且 0 xy 则 2 22 2 4 11 y xy x 的最小值 为 用心 爱心 专心 8 6 2011 2011 年高考安徽卷江苏年高考安徽卷江苏 8 8 在平面直角坐标系xOy中 过坐标原点的一条直线与函数 x xf 2 的图象交于 P Q 两点 则线段 PQ 长的最小值是 答案 4 解析 设坐标原点的直线方程为 0 ykx k 则由 2 ykx y x 解得交点坐标为 2 2 k k k 2 2 k k k 即为 P Q 两点 所以线段 PQ 长为 22 222 224kk kk 当且仅当 1k 时等号成立 故线段 PQ 长的最小值是 4 7 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 4 4 不等式 1 3 x x 的解为 答案 0 x 或 1 2 x 三 解答题三 解答题 1 20112011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 19 19 本小题满分 12 分 设 1 1 xy 证明 111 xyxy xyxy 1 abc 证明log logloglogloglog abcbca bcaabc 用心 爱心 专心 9 设loga bx logb cy 由换底公式得 log1 log log b c b a a cxy 1 logba x 1 logcb y loga cxy 故 要证 log logloglogloglog abcbca bcaabc 只要证明 111 xyxy xyxy 其中 log1 a xb log1 b yc 由 知所要证明的不等式成立 解题指导 证明不等式常规的方法有分析法 综合法 作差法和作商法 无论哪种方法 不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键 第二问的处理很有艺术性 借助第一问题的结论巧妙地解决了 这也是一题多问的问题解决 常规思路 前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用 2 2011 2011 年高考广东卷理科年高考广东卷理科 21 21 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 上 给定抛物线 L 2 1 4 yx 实数 p q 满足 2 40pq x1 x2是方程 2 0 xpxq 的两根 记 12 max p qxx 1 过点 2 000 1 0 4 A ppp 作 L 的切线教 y 轴于点 B 证明 对线段 AB 上任一点 Q p q 有 0 2 p p q 2 设 M a b 是定点 其中 a b 满足 a2 4b 0 a 0 过 M a b 作 L 的两条切线 用心 爱心 专心 10 12 l l 切点分别为 22 1122 11 44 E ppE pp 1 2 l l 与 y 轴分别交与 F F 线段 EF 上 异于两端点的点集记为 X 证明 M a b X 12 PP a b 1 2 p 3 设 D x y y x 1 y 1 4 x 1 2 5 4 当点 p q 取遍 D 时 求 p q 的最小值 记为 min 和最大值 记为 max 解析解析 解 1 证明 切线l的方程为 2 00 11 24 yp xp 22 0 4 22 pppppq Q p qABp q 有 当 000 00 0 0 222 ppppp pppp q 时于是 当 000 00 0 0 222 ppppp pppp q 时于是 2 1 2 l l 的方程分别为 22 1122 1111 2424 yp xpyp xp 求得1 2 l l 交点M a b 的坐标 1212 24 ppp p 由于 2 40 0aba 故有 12 pp 1 先证 12 M a bxpp 设 M a bX 当 12 1112112 0 002 2 pp ppppppp 时 当 12 1111212 0 020 2 pp ppppppp 时 设 2212 12 111 11102 pppp pp ppp 则 当 1212 1111 0 0 01 22 pppp ppp 时当时 p 用心 爱心 专心 11 注意到 1 M a blM a bX 在上故 3 求得 2 15 1 1 44 yxyx 和 的交点 12 0 1 2 1 QQ 而 1yx 是 的切点为 2 2 1 Q 的切线 且与y轴交于 1 0 1 Q 由 Q p q 线段 Q1Q2 有 1 p q 当 22 1 1515 1 02 1 4444 Q p qLy