相似三角形六大证明技巧

0 相似三角形相似三角形 6 6 大证明技巧大证明技巧第第 2 2 讲讲 相似三角形证明方法模块一 相似三角形的判定方法总结 相似三角形的判定方法总结 1 平行于三角形一边的直线与其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 2 三边成比例的两个三角形相似 SSS 3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 SAS 4 两角分别相等的两个三角形相似 AA 5 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 HL 相似三角形的模型方法总结 相似三角形的模型方法总结 反反 A A 型与型与 反反 X X 型型 示意图结论 E D C B A 反反 A 型 型 如图 已知 ABC ADE C 则 ADE ACB AA AE AC AD AB 若连 CD BE 进而能证明 ACD ABE SAS O DC B A 反反 X 型 型 如图 已知角 BAO CDO 则 AOB DOC AA OA OC OD OB 若连 AD BC 进而能证明 AOD BOC 类射影类射影 与射影模型与射影模型 示意图结论 A BC D 类射影 类射影 如图 已知 ABC ABD C 则 ABD ACB AA AD AC 2 AB C A B H 射影定理射影定理 如图 已知 ACB 90 CH AB 于 H 则 222 ACAH AB BCBH BA HCHA HB 1 1 旋转相似旋转相似 与与 一线三等角一线三等角 示意图结论 A B C D E 旋转相似 旋转相似 如图 已知 ABC ADE 则 ABAD ACAE BAC DAE BAD CAE BAD CAE SAS C B A E D 一线三等角 一线三等角 如图 已知 A C DBE 则 DAB BCE AA 巩固练习 反 A 型与反 X 型 已知 ABC 中 AEF ACB 求证 1 2 BEO CFO AE ABAF AC EBO FCO 3 OEF OBC OFE OCB O F E C B A 类射影 如图 已知 求证 2 ABAC AD BDAB BCAC A BC D 射影定理 已知 ABC ACB 90 CH AB 于 H 求证 2 ACAH AB 2 BCBH BA 2 HCHA HB 2 比例式的证明方法模块二 通过前面的学习 我们知道 比例线段的证明 离不开 平行线模型 A 型 X 型 线束 型 也离不开上述的 6 种 相似模型 但是 王老师认为 模型 只是工具 怎样选 择工具 怎样使用工具 怎样用好工具 取决于我们如何思考问题 合理的思维方法 能 让模型成为解题的利刃 让复杂的问题变简单 在本模块中 我们将学比例式的证明中 会经常用到的思维技巧 技巧一 三点定型法 技巧二 等线段代换 技巧三 等比代换 技巧四 等积代换 技巧五 证等量先证等比 技巧六 几何计算 技巧一 三点定型技巧一 三点定型 例 1 如图 平行四边形中 是延长线上的一点 交于 求证 ABCDEABDEBCF DCCF AEAD A B C F D E 例 2 如图 中 为的中点 交的延长线 ABC 90BAC MBCDMBC CA 于 交于 求证 DABE 2 AMMD ME CB A E D M 例 3 如图 在中 是斜边上的高 的平分线交于 RtABC ADBCABC BEACE 交于 求证 ADF BFAB BEBC D B A C F E 3 3 技巧二 等线段代换技巧二 等线段代换 悄悄地替换比例式中的某条线段 例 4 如图 在 ABC AD 平分 BAC AD 的垂直平分线交 AD 于 E 交 BC 的延长线于 F 求证 2 FDFB FC A B CD E F 例 5 如图 四边形是平行四边形 点在边的延长线上 交于 ABCDEBACEADF 求证 ECAD AC BECE AD C BA D E F 例 6 如图 ACB 为等腰直角三角形 AB AC BAC 90 DAE 45 求证 2 ABBE CD A BC DE 例 7 如图 中 是中线 是上一点 过作 ABC ABAC ADPADCCFAB 延长交于 交于 求证 BPACECFF 2 BPPE PF C B A D P E F 4 技巧三 等比代换技巧三 等比代换 例 8 如图 平行四边形中 过作直线 于 交的延长线 ABCD B AC AD O E CD 于 求证 F 2 OBOE OF O F E D C B A 例 9 如图 在中 已知时 于 为直角边的中点 ABC 90A ADBC DEAC 过 作直线交的延长线于 求证 DEABFAB AFAC DF E F C A B D 例 10 如图 在中 AB AC 的边上取一点 在边上取一点 ABC ABDACE 使 直线和的延长线交于点 求证 ADAE DEBCPBP CECP BD E C D B A P 5 5 P M N D A B C 技巧四 等积代换技巧四 等积代换 例 11 如图 中 是高 于 交于 交的 ABC BDCEEHBC HBDGCA 延长线于 求证 M 2 HEHG MH A B C D E H G M 例 12 如图 在中 于 于 于 连 ABC ADBC DDEAB E DFAC F EF 求证 AEF C F E D C B A 例 13 如图 在中 为中点 为垂足 ABC 90BAC DACAEBD E 求证 CBDECD CB A D E 例 14 在 Rt ABC 中 AD BC P 为 AD 中点 MN BC 求证 2 MNAN NC 6 技巧五 证等量先证等比技巧五 证等量先证等比 例 15 已知 平行四边形 ABCD 中 E F 分别在直线 AD CD 上 EF AC BE BF 分别交 AC 于 M N 求证 AM CN F M N E D CB A 例 16 已知如图 AB AC BD AC AB CE 过 A 点的直线分别交 BD CE 于 D E 求证 AM NC MN DE D C B A E M N 例 17 如图 ABC 为等腰直角三角形 点 P 为 AB 上任意一点 PF BC PE AC AF 交 PE 于 N BE 交 PF 于 M 求证 PM PN MN AB C B A P E F N M 7 7 例 18 如图 正方形 BFDE 内接于 ABC CE 与 DF 交于点 N AF 交 ED 于点 M CE 与 AF 交于点 P 求证 1 MN AC 2 EM DN P N M E F D A BC 例 19 设 E F 分别为 AC AB 的中点 D 为 BC 上一点 P 在 BF 上 DP CF Q 在 CE 上 DQ BE PQ 交 BE 于 R 交 CF 于 S 求证 1 3 RSPQ C B A D P Q S E F G R 8 例 20 如图 梯形 ABCD 的底边 AB 上任取一点 M 过 M 作 MK BD MN AC 分别交 AD BC 于 K N 连 KN 分别交对角线 AC BD 于 P Q 求证 KP QN Q N S P R K M O DC B A 技巧六 几何计算技巧六 几何计算 例 21 2016 年四月调考 如图 在 ABC 中 AC AB AD 是角平分线 AE 是 中线 BF AD 于 G 交 AC 于点 M