2012高考数学 专题四 综合测试题 文

用心 爱心 专心 1 专题四综合测试题专题四综合测试题 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 函数f x lgsin的一个增区间为 4 2x A B 3 8 7 8 7 8 9 8 C D 5 8 7 8 7 8 3 8 解析 由 sin 0 得 sin 0 2k 2x 2 2k k Z 又 4 2x 2x 4 4 f x lgsin的增区间即 sin在定义域内的增区间 4 2x 4 2x 即 sin在定义域内的减区间 故 2k 2x 2k k Z 化简得 2x 4 4 3 2 k x k k Z 当k 0 时 x0 的最小正周期为 1 则它的图象的一个对称中心 3 为 A B 1 3 0 3 0 C D 0 0 1 3 0 解析 f x 2sin a 0 T 1 a 2 f x 2sin ax 3 2 a 2 x 3 由 2 x k k Z 得 3 x k Z 当k 1 时 x 故是其一个对称中心 故选 C k 2 1 6 1 3 1 3 0 答案 C 3 已知函数f x asinx acosx a 0 的定义域为 0 最大值为 4 则a的值为 A B 2 32 C D 4 2 用心 爱心 专心 2 解析 f x asinx acosx asin 当x 0 时 x 2 x 4 4 4 5 4 sin 由于a0 0 0 b A B B 45 故选 C 答案 C 6 在 ABC中 cos2 a b c分别为角A B C的对边 则 ABC的形状为 A 2 b c 2c A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 解析 cos2 A 2 b c 2c 1 1 cosA 2 b c 2c b2 c2 a2 2bc b c c 化简得a2 b2 c2 故 ABC是直角三角形 故选 B 答案 B 7 在 ABC中 若角A B C成公差大于 0 的等差数列 则 cos2A cos2C的最大值为 A B 1 2 3 2 C 2 D 不存在 解析 角A B C成等差数列 A C 2B 又A B C 180 B 60 A C 120 用心 爱心 专心 4 cos2A cos2C 1 cos2A cos2C 1 cos 240 2C 1 cos2A 2 1 cos2C 2 1 2 1 2 cos2C 1 cos 2C 60 1 2 60 C 120 180 2C 60 300 1 cos 2C 60 1 2 1 2 5 4 即 cos2A cos2C的最大值不存在 故选 D 答案 D 8 关于x的方程 cos2x sin2x 2k在内有两个不同的实数解 则k的取值范围 0 2 是 A B 1 2 2 2 1 2 2 2 C D 1 2 2 2 1 2 2 2 解析 由 cos2x sin2x 2k 得k cos2x sin2x sin 当x 1 2 2 2 2x 4 时 2x 0 2 4 4 5 4 sin 数形结合可知 当 k 时 方程有两个不同的实数解 故 1 2 2 2 2x 4 2 2 1 2 2 2 选 A 答案 A 9 在梯形ABCD中 AB CD 且 AB DC 设 a b 则 AB AD AC A a b B a b C a b D a b 1 1 解析 b b a 故选 C AC AD DC 1 AB 1 答案 C 10 设a b 若a b 则锐角 为 3 2 sin cos 1 3 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 a b sin cos 0 即 sin2 1 由于 为锐角 故 0 3 2 1 3 用心 爱心 专心 5 2 0 0 点P满足 则点P是 ABC的 OP OA AB AB AC AC OP OB BA BA BC BC A 外心 B 内心 C 垂心 D 重心 解析 OP OA AB AB AC AC OP OA Error Error 即 而与分别是与方向上的单位向 AP AB AB AC AC AB AB AC AC AB AC 量 故 的方向与 BAC的平分线的方向相同 又 0 故 AB AB AC AC Error Error 与 BAC的平分线的方向相同 所以点P在 BAC的平分线上 同理 点 P在 ABC的平分线上 故点P是 ABC的内心 选 B 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填在题中的横线上 13 2011 福建 如图 ABC中 AB AC 2 BC 2 点D在BC边上 3 ADC 45 则AD的长度等于 用心 爱心 专心 6 解析 在 ABC中 cosC 1 2BC AC 3 2 C 30 由 AD sinC AC sin ADC AD sinC AC sin ADC 2 2 2 1 22 答案 2 14 2011 安徽 已知 ABC的一个内角为 120 并且三边长构成公差为 4 的等差数 列 则 ABC的面积为 解析 设三边长为a a 4 a 8 则 120 角所对边长为a 8 由余弦定理得 a 8 2 a2 a 4 2 2a a 4 cos120 化简得a2 2a 24 0 解得a 6 或a 4 舍去 三角形面积S a a 4 sin120 15 1 23 答案 15 3 15 2011 课标 在 ABC中 B 60 AC 则AB 2BC的最大值为 3 解析 由正弦定理 2 AB sinC BC sinA 3 3 2 得AB 2sinC BC 2sinA 则AB 2BC 2sinC 4sinA 2sin 180 60 A 4sinA cosA 5sinA 2sin A 其中 tan 为锐角 故当A 时 37 3 5 2 AB 2BC取最大值 2 7 答案 2 7 16 2011 上海 在相距 2 千米的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为 千米 用心 爱心 专心 7 解析 如图 C 180 75 60 45 由正弦定理 2 sin45 AC sin60 得AC 6 答案 6 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 2011 山东 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 已知 cosA 2cosC cosB 2c a b 1 求的值 sinC sinA 2 若 cosB b 2 求 ABC的面积S 1 4 解 1 由正弦定理 设 k a sinA b sinB c sinC 则 2c a b 2ksinC ksinA ksinB 2sinC sinA sinB 所以 cosA 2cosC cosB 2sinC sinA sinB 即 cosA 2cosC sinB 2sinC sinA cosB 化简可得 sin A B 2sin B C 又A B C 所以 sinC 2sinA 因此 2 sinC sinA 2 由 2 得c 2a sinC sinA 用心 爱心 专心 8 由余弦定理b2 a2 c2 2accosB及 cosB b 2 1 4 得 4 a2 4a2 4a2 1 4 解得a 1 从而c 2 又因为 cosB 且 0 B 所以 sinB 1 4 15 4 因此S acsinB 1 2 1 2 1 2 15 4 15 4 18 本小题满分 12 分 2011 全国 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 已知A C 90 a c b 求C 2 解 由A C 90 得A为钝角且 sinA cosC 利用正弦定理 a c b变形为 2 sinA sinC sinB 即有 sinA sinC cosC sinC sin sinB 又A B C 22 C 4 2 是 ABC的内角 故C B 4 所以A B C C C 2 C C 4 12 19 本小题满分 12 分 2011 江苏 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 1 若 sin 2cosA 求A的值 A 6 2 cosA b 3c 求 sinC的值 1 3 解 1 由题设知 sinAcos cosAsin 2cosA 从而 sinA cosA 所以 6 63 cosA 0 tanA 因为 0 A 所以A 3 3 2 由 cosA b 3c及a2 b2 c2 2bccosA 得a2 b2 c2 1 3 故 ABC是直角三角形 且B 2 所以 sinC cosA 1 3 用心 爱心 专心 9 20 本小题满分 12 分 2011 浙江 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知 sinA sinC psinB p R 且ac b2 1 4 1 当p b 1 时 求a c的值 5 4 2 若角B为锐角 求p的取值范围 解 1 由题设并利用正弦定理 得Error 解得Error 或Error 2 由余弦定理 b2 a2 c2 2accosB a c 2 2ac 2accosB p2b2 b2 b2cosB 1 2 1 2 即p2 cosB 3 2 1 2 因为 0 cosB0 所以 p0 得 C 2 C 2 1 2 4 C 2 2 即 C 由 sinC 得 cosC 2 3 4 7 4 由a2 b2 4 a b 8 得 a 2 2 b 2 2 0 得a 2 b 2 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC 8 2 所以c 1 77 22 本小题满分 14 分 用心 爱心 专心 10 2011 黑龙江省哈六中一模 攀岩运动是一项刺激而危险的运动 如图 1 在某次攀岩 活动中 两名运动员在如图所示位置 为确保运动员的安全 地面救援者应时刻注意两人离 地面的距离 以备发生危险时进行及时救援 为了方便测量和计算 现如图 2 A C分别为 两名攀岩者所在位置 B为山的拐角处 且斜坡AB的坡角为 D为山脚 某人在E处测得 A B C的仰角分别为 ED a 1 求