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8 8 5 5 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程 我们知道 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨 迹 当 0 e 1 时是椭圆 当 e 1 时是双曲线 那么 当 e 1 时它是什么曲 线呢 把一根直尺固定在图板上直线l的位置 图 8 19 把一块三角尺的一条 直角边紧靠着直尺的边缘 再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边 的一点 A 取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长 即点 A 到直线l的距离 并且 把绳子的另一端固定在图板上的一点 F 用铅笔尖扣着绳子 使点 A 到笔尖的 一段绳子紧靠着三角尺 然后将三角尺沿着直尺上下滑动 笔尖就在图板上描 出了一条曲线 从图 8 19 中可以看出 这条曲线上任意一点 P 到 F 的距离与它到直线l 的距离相等 把图板绕点 F 旋转 90 曲线就是初中见过的抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物抛物 线线 点 F 叫做抛物线的焦点抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线抛物线的准线 下面根据抛物线的定义 我们来求抛物线的方程 如图 8 20 建立直角坐标系 xOy 使 x 轴经过点 F 且垂直于直线l 垂足 为 K 并使原点与线段 KF 的中点重合 设点 M x y 是抛物线上任意一点 点 M 到l的距离为 d 由抛物线的定义 抛物线就是集合 P M MF d 将上式两边平方并化简 得 y2 2px p 0 方程 叫做抛物线的标准方程抛物线的标准方程 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线 的标准方程还有其他几种形式 y2 2px x2 2py x2 2py 这四种抛物线 的图形 标准方程 焦点坐标以及准线方程列表如下 例例 1 1 1 已知抛物线的标准方程是 y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 已知抛物线的焦点坐标是 F 0 2 求它的标准方程 线的标准方程是 x2 8y 小结 小结 求标准方程 先定焦点的位置 再定一次项系数 练习练习 1 已知抛物线方程 已知抛物线方程 x 1 6y2 求焦点坐标 准线方程 求焦点坐标 准线方程 2 已知抛物线的准线方程已知抛物线的准线方程 y 2 求抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程 3 若抛物线的焦点在直线 若抛物线的焦点在直线
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