简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1 第三节简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 知识能否忆起 一 简单的逻辑联结词 1 用联结词 且 联结命题 p 和命题 q 记作 p q 读作 p 且 q 2 用联结词 或 联结命题 p 和命题 q 记作 p q 读作 p 或 q 3 对一个命题 p 全盘否定 就得到一个新命题 记作綈 p 读作 非 p 或 p 的否 定 4 命题 p q p q 綈 p 的真假判断 p q 中 p q 有一假为假 p q 有一真为真 p 与非 p 必定是一真一假 二 全称量词与存在量词 1 全称量词与全称命题 1 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 2 含有全称量词的命题 叫做全称命题 3 全称命题 对 M 中任意一个 x 有 p x 成立 可用符号简记为 x M p x 读作 对任意 x 属于 M 有 p x 成立 2 存在量词与特称命题 1 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做存在量词 并用符号 表 示 2 含有存在量词的命题 叫做特称命题 3 特称命题 存在 M 中的一个 x0 使 p x0 成立 可用符号简记为 x0 M P x0 读 作 存在 M 中的元素 x0 使 p x0 成立 三 含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定 x M p x x0 M 綈 p x0 x0 M p x0 x M 綈 p x 小题能否全取 1 2011 北京高考 若 p 是真命题 q 是假命题 则 A p q 是真命题 B p q 是假命题 C 綈 p 是真命题 D 綈 q 是真命题 2 答案 D 2 教材习题改编 下列命题中的假命题是 A x0 R x0 2 B x0 R sin x0 1 1 x0 C x R x2 0 D x R 2x 0 答案 C 3 2012 湖南高考 命题 x0 RQ x Q 的否定是 3 0 A x0 RQ x Q B x0 RQ x Q 3 03 0 C x RQ x3 Q D x RQ x3 Q 解析 选 D 其否定为 x RQ x3 Q 4 教材习题改编 命题 p 有的三角形是等边三角形 命题綈 p 答案 所有的三角形都不是等边三角形 5 命题 x0 R 2x 3ax0 9 0 为假命题 则实数 a 的取值范围为 2 0 解析 x0 R 2x 3ax0 9 0 为假命题 则 x R 2x2 3ax 9 0 恒成立 有 2 0 9a2 72 0 解得 2 a 2 22 答案 2 2 22 1 逻辑联结词与集合的关系 或 且 非 三个逻辑联结词 对应着集合运算中的 并 交 补 因此 常 常借助集合的 并 交 补 的意义来解答由 或 且 非 三个联结词构成的命题问 题 2 正确区别命题的否定与否命题 否命题 是对原命题 若 p 则 q 的条件和结论分别加以否定而得到的命题 它既否定其条件 又否定其结论 命题的否定 即 非 p 只是否定命题 p 的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的 即两者中有且只有一个为真 而原命题与否命题 的真假无必然联系 含有逻辑联结词命题的真假判定 典题导入 3 例 1 2012 齐齐哈尔质检 已知命题 p x0 R 使 tan x0 1 命题 q x2 3x 2 0 的解集是 x 1 x 2 给出下列结论 命题 p q 是真命题 命题 p 綈 q 是假命题 命题 綈 p q 是真 命题 命题 綈 p 綈 q 是假命题 其中正确的是 A B C D 自主解答 命题 p x0 R 使 tan x0 1 是真命题 命题 q x2 3x 2 0 的解集是 x 1 x 2 也是真命题 故 命题 p q 是真命题 命题 p 綈 q 是假命题 命题 綈 p q 是真命题 命题 綈 p 綈 q 是假命题 答案 D 由题悟法 1 p q p q 綈 p 形式命题的真假判断步骤 1 准确判断简单命题 p q 的真假 2 判断 p q p q 綈 p 命题的真假 2 含有逻辑联结词的命题的真假判断规律 1 p q p q 中有一个为真 则 p q 为真 即一真全真 2 p q p q 中有一个为假 则 p q 为假 即一假即假 3 綈 p 与 p 的真假相反 即一真一假 真假相反 以题试法 1 1 如果命题 非 p 或非 q 是假命题 给出下列四个结论 命题 p 且 q 是真命题 命题 p 且 q 是假命题 命题 p 或 q 是真命题 命题 p 或 q 是假命题 其中正确的结论是 A B C D 2 2012 江西盟校联考 已知命题 p x 0 1 a ex 命题 q x R x2 4x a 0 若命题 p q 是真命题 则实数 a 的取值范围是 A 4 B 1 4 C e 4 D 1 解析 1 选 A 非 p 或非 q 是假命题 非 p 与 非 q 均为假命题 p 与 q 均 为真命题 2 选 C p q 是真命题 则 p 与 q 都是真命题 p 真则 x 0 1 a ex 需 4 a e q 真则 x2 4x a 0 有解 需 16 4a 0 所以 a 4 p q 为真 则 e a 4 全称命题与特称命题的真假判断 典题导入 例 2 下列命题中的假命题是 A a b R an an b 有 an 是等差数列 B x0 0 2x03x B 不正确 对于 C 易知 3x 0 因此 C 正确 对于 D 注意 到 lg 1 0 因此 D 正确 答案 B 由题悟法 1 全称命题真假的判断方法 1 要判断一个全称命题是真命题 必须对限定的集合 M 中的每一个元素 x 证明 p x 成立 2 要判断一个全称命题是假命题 只要能举出集合 M 中的一个特殊值 x x0 使 p x0 不成立即可 2 特称命题真假的判断方法 要判断一个特称命题是真命题 只要在限定的集合 M 中 找到一个 x x0 使 p x0 成 立即可 否则这一特称命题就是假命题 以题试法 2 2012 湖南十二校联考 下列命题中的真命题是 A x0 R 使得 sin x0cos x0 3 5 B x0 0 2x0 1 C x R x2 x 1 D x 0 sin x cos x 解析 选 C 由 sin xcos x 得 sin 2x 1 故 A 错误 结合指数函数和三角函数 3 5 6 5 5 的图象 可知 B D 错误 因为 x2 x 1 2 0 恒成立 所以 C 正确 x 1 2 3 4 全称命题与特称命题的否定 典题导入 例 3 2013 武汉适应性训练 命题 所有不能被 2 整除的整数都是奇数 的否定是 A 所有能被 2 整除的整数都是奇数 B 所有不能被 2 整除的整数都不是奇数 C 存在一个能被 2 整除的整数是奇数 D 存在一个不能被 2 整除的整数不是奇数 自主解答 命题 所有不能被 2 整除的整数都是奇数 的否定是 存在一个不能被 2 整除的整数不是奇数 选 D 答案 D 若命题改为 存在一个能被 2 整除的整数是奇数 其否定为 答案 所有能被 2 整除的整数都不是奇数 由题悟法 1 弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提 2 注意命题所含的量词 没有量词的要结合命题的含义加上量词 再进行否定 3 要判断 綈 p 命题的真假 可以直接判断 也可以判断 p 的真假 p 与綈 p 的真 假相反 4 常见词语的否定形式有 原语 句 是都是 至少有 一个 至多有一 个 对任意 x A 使 p x 真 否定 形式 不 是 不都 是 一个也 没有 至少有两 个 存在 x0 A 使 p x0 假 以题试法 3 2012 辽宁高考 已知命题 p x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 则綈 p 是 A x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 B x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 C x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 6 D x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 解析 选 C 命题 p 的否定为 x1 x2 R f x2 f x1 x2 x1 0 1 将 a2 b2 2ab a b 2改写成全称命题是 A a b R a2 b2 2ab a b 2 B a0 a2 b2 2ab a b 2 C a 0 b 0 a2 b2 2ab a b 2 D a b R a2 b2 2ab a b 2 解析 选 D 全称命题含有量词 故排除 A B 又等式 a2 b2 2ab a b 2 对于全体实数都成立 故选 D 2 2012 山东高考 设命题 p 函数 y sin 2x 的最小正周期为 命题 q 函数 y cos 2 x 的图象关于直线 x 对称 则下列判断正确的是 2 A p 为真 B q 为真 C p q 为假 D p q 为真 解析 选 C 命题 p q 均为假命题 故 p q 为假命题 3 2013 广州模拟 已知命题 p 所有有理数都是实数 命题 q 正数的对数都是负数 则下列命题中为真命题的是 A 綈 p q B p q C 綈 p 綈 q D 綈 p 綈 q 解析 选 D 不难判断命题 p 为真命题 命题 q 为假命题 所以綈 p 为假命题 綈 q 为真命题 所以 綈 p 綈 q 为真命题 4 下列命题中 真命题是 A m R 使函数 f x x2 mx x R 是偶函数 B m R 使函数 f x x2 mx x R 是奇函数 C m R 函数 f x x2 mx x R 都是偶函数 D m R 函数 f x x2 mx x R 都是奇函数 解析 选 A 由于当 m 0 时 函数 f x x2 mx x2为偶函数 故 m R 使函 7 数 f x x2 mx x R 为偶函数 是真命题 5 2012 福建高考 下列命题中 真命题是 A x0 R ex0 0 B x R 2x x2 C a b 0 的充要条件是 1 a b D a 1 b 1 是 ab 1 的充分条件 解析 选 D 因为 x R ex 0 故排除 A 取 x 2 则 22 22 故排除 B a b 0 取 a b 0 则不能推出 1 故排除 C a b 6 2012 石家庄质检 已知命题 p1 x0 R x x0 1 0 p2 x 1 2 x2 1 0 以 2 0 下命题为真命题的是 A 綈 p1 綈 p2 B p1 綈 p2 C 綈 p1 p2 D p1 p2 解析 选 C 方程 x2 x 1 0 的判别式 12 4 3 0 x2 x 12 则綈 p x R 均有 x 2 1 x0 1 x B x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 C 命题 若 x2 3x 2 0 则 x 1 的逆否命题为 若 x 1 则 x2 3x 2 0 D 若 p q 为假命题 则 p q 均为假命题 解析 选 D 显然选项 A 正确 对于 B 由 x 1 可得 x2 3x 2 0 反过来 由 x2 3x 2 0 不能得知 x 1 此时 x 的值可能是 2 因此 x 1 是 x2 3x 2 0 的充 分不必要条件 选项 B 正确 对于 C 原命题的逆否命题是 若 x 1 则 x2 3x 2 0 因此选项 C 正确 对于 D 若 p q 为假命题 则 p q 中至少有一个为假 命题 故选项 D 错误 8 2013 石家庄模拟 已知命题 p x 1 2 x2 a 0 命题 q x0 R x 2ax0 2 a 0 若 p 且 q 为真命题 则实数 a 的取值范围是 2 0 8 A a 1 或 a 2 B a 2 或 1 a 2 C a 1 D 2 a 1 解析 选 A 若命题 p x 1 2 x2 a 0 真 则 a 1 若命题 q x0 R x 2ax0 2 a 0 真 则 4a2 4 2 a 0 a 1 或 2 0 a 2 又 p 且 q 为真命题所以 a 1 或 a 2 9 命题 存在 x0 R 使得 x 2x0 5 0 的否定是 2 0 答案 对任何 x R 都有 x2 2x 5 0 10 已知命题 p x N x 命题 p 的否定为命题 q 则 q 是 q 1 x 的真假为 填 真 或 假 解析 q x0 N x0 当 x0 1 时 x0 成立 故 q 为真 1 x0 1 x0 答案 x0 N x0 真 1 x0 11 若命题 存在实数 x0 使 x ax0 10 解 得 a 2 或 a 2 答案 2 2 12 若 R 使 sin 1 成立 则 cos的值为 6 解析 由题意得 sin 1 0 又 1 sin 1 sin 1 2k k Z 故 cos 2 6 1 2 答案 1 2 13 已知命题 p a0 R 曲线 x2 1 为双曲线 命题 q 0 的解集是 y2 a0 x 1 x 2 x 1 x0 则命题 p 綈 q 1 2 是假命题 已知直线 l1 ax 3y 1 0 l2 x by 1 0 则 l1 l2的充要条件是 3 a b 设 a b R 若 ab 2 则 a2 b2 4 的否命题为 设 a b R 若 ab4 的否命题为 设 a b R 若 ab 2 则 a2 b2 4 正确 答案 1 下列说法错误的是 A 如果命题 綈 p 与命题 p 或 q 都是真命题 那么命题 q 一定是真命题 B 命题 若 a 0 则 ab 0 的否命题是 若 a 0 则 ab 0 C 若命题 p x0 R ln x 1 0 则 a 与 b 的夹角为锐角 命题 q 若 函数 f x 在 0 及 0 上都是减函数 则 f x 在 上是减函数 下列说 法中正确的是 A p 或 q 是真命题 B p 或 q 是假命题 C 綈 p 为假命题 D 綈 q 为假命题 解析 选 B 当 a b 0 时 a 与 b 的夹角为锐角或零度角 命题 p 是假命题 命 题 q 是假命题 例如 f x Error 综上可知 p 或 q 是假命题 3 已知命题 p x0 R 4x0 2x0 1 m 0 若命题綈 p 是假命题 则实数 m 的 取值范围是 10 解析 若綈 p 是假命题 则 p 是真命题 即关于 x 的方程 4x 2 2x m 0 有实数解 由于 m 4x 2 2x 2x 1 2 1 1 m 1 答案 1 4 下列四个命题 x0 R 使 sin x0 cos x0 2 对 x R sin x 2 对 x tan 1 sin x 0 2 x 2 x0 R 使 sin x0 cos x0 1 tan x2 其中正确命题的序号为 解析 sin x cos x sin 2 x 4 22 故 x0 R