上海市闸北区2016届高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科） 一、填空题本大题共有 10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6分，否则一律得零分 1已知函数 f（ x） =ax+a x（ a 0， a1），且 f（ 1） =3，则 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）的值是 2已知集合 A=x|x 2| a， B=x|2x 3 0，若 BA，则实数 a 的取值范围是 3如果复数 z 满足 |z|=1 且 z2=a+中 a， bR，则 a+b 的最大值是 4在直角坐标 系 ，已知三点 A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4），若向量 ， 在向量方向上的投影相同，则 3a 4b 的值是 5某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元 6 已知 椭圆 C： （ a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 若 面积为 9，则 b= 7 ， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边且 ac+c2= 大边长是 且 小边的边长为 8在极坐标系中，曲线 = 与 的公共 点到极点的距离为 9如图， A， B 是直线 l 上的两点，且 两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A， B 点， C 是这两个圆的公共点，则圆弧 ， 与线段 成图形面积 S 的取值范围是 10设函数 f（ x） =1，对任意 x ， +）， f（ ） 4x） f（ x 1） +4f（ m）恒成立，则实数 m 的取值范围是 二、选择题本大题共有 3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 第 2 页（共 18 页） 11向量 ， 均为单位向量，其夹角为 ，则命题 “p： | | 1”是命题 q： ， ）的（ ）条件（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D非充分非必要条件 12已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 B=1， ，则球O 的表面积等于（ ） A 4 B 3 C 2 D 13已知数列 ， =3下列关于 说法正确 的是（ ） A一定为等差数列 B一定为等比数列 C可能为等差数列，但不会为等比数列 D可能为等比数列，但不会为等差数列 三、解答题（本题满分 75分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤 14（理）在长方体 ， ， ，点 E 在棱 移动 （ 1）探求 于何值时，直线 平面 45角； （ 2）点 E 移动为棱 点时，求点 E 到平面 距离 15某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 P=（其中 0xa， a 为正常数）已知生产该产品还需投入成本 6（ P+ ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（ 4+ ）元 /件 （ 1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （ 2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 第 3 页（共 18 页） 16已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的周期为 ，图象的一个对称中心为（ ，0），将函数 f（ x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（ x）的图象 （ 1）求函数 f（ x）与 g（ x）的解析式； （ 2）求证：存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某种顺序成等差数列 17若动点 M 到定点 A（ 0， 1）与定直线 l： y=3 的距离之和为 4 （ 1）求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； （ 2）记（ 1）得到的轨迹为曲线 C，问曲线 C 上关于点 B（ 0， t）（ tR）对称的不同点有几对？请说明理由 18已知数列 其前 n 项的和，满足 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设数列 的前 n 项和为 列 前 n 项和为 证：当 n2， nN*时 1=n（ 1）； （ 3）已知当 nN*，且 n6 时有（ 1 ） n（ ） m，其中 m=1， 2， ， n，求满足 3n+4n+（ n+2）n=（ ） n 的值 第 4 页（共 18 页） 2016 年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题本大题共有 10题，要求在答题纸相应题 序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6分，否则一律得零分 1已知函数 f（ x） =ax+a x（ a 0， a1），且 f（ 1） =3，则 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）的值是 12 【考点】 指数函数的单调性与特殊点；函数的值 【专题】 计算题 【分析】 由 f（ 1） =3 可得到关于 a 的式子，由 f（ 0） +f（ 1） +f（ 2）得到关于 a 的式子，寻找与已知表达式的联系即可求解 【解答】 解： f（ 1） =a+a 1=3， f（ 0） =2， f（ 2） =a2+a 2=（ a+a 1） 2 2=7， f（ 1） +f（ 0） +f（ 2） =12 故答案为： 12 【点评】 本题考查指数幂的运算和运算法则，属基本运算的考查 2已知集合 A=x|x 2| a， B=x|2x 3 0，若 BA，则实数 a 的取值范围是 a3 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【专题】 数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；集合 【分析】 利用绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法分别解出 A， B，再利用 BA 即可得出 【解答】 解：由 |x 2| a，可得 2 a x 2+a（ a 0）， A=（ 2 a， 2+a）（ a 0） 由 2x 3 0，解得 1 x 3 B=（ 1， 3） BA，则 ，解得 a3 故答案为： a3 【点评】 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3如果复数 z 满足 |z|=1 且 z2=a+中 a， bR，则 a+b 的最大值是 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【专题】 计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数 第 5 页（共 18 页） 【分析】 由 |z|=1，得 |1，结合 z2=a+ a2+，然后利用基本不等式求得 a+b 的最大值 【解答】 解： |z|=1， |1， 由 z2=a+ a2+， （ a+b） 22（ a2+=2， 故当 时， a+b 的最大值是 故答案为： 【点评】 本题考查复数模的求法，训练了利用基本不等式求最值，是基础题 4在直角坐标系 ，已知三点 A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4），若向量 ， 在向量方向上的投影相同，则 3a 4b 的值是 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果 【解答】 解：向量 ， 在向量 方向上的投影相同， = ， A（ a， 1）， B（ 2， b）， C（ 3， 4）， 3a+4=6+4b， 3a 4b=2， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了向量的数量积运算、投影，考查了推理能力 ，属于基础题 5某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项，2 为公比的等比数列，相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 5000 元 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【专题】 计算题；转化思想；综合法；概率与统计 【分析】 由已知求出获得一、二、三等奖的概率分别为 ，由此利用一、三、三等奖相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元，能求出参加此 次大赛获得奖金的期望 第 6 页（共 18 页） 【解答】 解： 某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项， 2 为公比的等比数列， 获得一、二、三等奖的概率分别为 a， 2a， 4a，且 a+2a+4a=1，解得 a= ， 获得一、二、三等奖的概率分别为 ， 一、三、三等奖相应的奖金分别是以 7000 元、 5600 元、 4200 元， 参加此次大赛获得奖金的期望 E（ X） = =5000 元 故答案为： 5000 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用 6已知 椭圆 C： （ a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 若 面积为 9，则 b= 3 【考点】 椭圆的应用；椭圆的简单性质 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 由已知得 |2a， =4，由此能得到 b 的值 【解答】 解： 椭圆 C： （ a b 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 |2a， =4， （ | 2=4|4 36=4（ =4 b=3 故答案为 3 【点评】 主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识 7 ， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边且 ac+c2= 大边长是 且 小边的边长为 1 第 7 页（共 18 页） 【考点】 正弦定理 【专题】 方程思想；综合法；解三角形 【分析】 根据余弦定理求出 ，故 b= ，由 c=2a，代入余弦定理计算 a 【解答】 解： ac+c2= = ， B= ， b= c=2a， 三角形的最短边为 a 由余弦定理得 ，解得 a=1 故答案为 1 【点评】 本题考查了余弦定理，正弦定理，判断三角形的最长边和最短边是关键，属于中档题 8在极坐标系中，曲线 = 与 的公共点到极点的距离为 1+ 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【专题】 计算题；规律型；转化思想；坐标系和参数方程 【分析】 联立方程组 消去 【 解答】 解： = 与 消去 得 （ 2） =2，由于 0，解得 =1+ 故答案为： 【点评】 本题考查极坐标方程的应用，利用 的几何意义是解题的关键 9如图， A， B 是直线 l 上的两点，且 两个半径相等的动圆分别与 l 相切于 A， B 点， C 是这两个圆的公共点，则圆弧 ， 与线段 的取值范围是 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【专题】 计算题；压轴题；数形结合 第 8 页（共 18 页） 【分析】 结合图形，可见当 切于点 C 时， S 最大，圆弧 线段 成图形面积 S 就是矩形 面积减去两扇形面积，解答即可 【解答】 解：如图，当 切于点 C 时， S 最大， 此时，两圆半径为 1， S 等于矩形 ， 随着圆半径的变化， C 可以向直线 l 靠近， 当 C 到直线 l 的距离 d0 时， S0， S 【点评】 本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题 10设函数 f（ x） =1，对任意 x ， +）， f（ ） 4x） f（ x 1） +4f（ m）恒成立 ，则实数 m 的取值范围是 【考点】 函数的值；函数恒成立问题 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 由已知得 4 +1 在 x ， +）上恒成立，上由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】 解：依据题意 得 1 41） （ x 1） 2 1+4（ 1）在 x ， +）上恒定成立， 即 4 +1 在 x ， +）上恒成立 当 x= 时，函数 y= +1 取得最小值 ， 4 ，即（ 3）（ 43） 0， 第 9 页（共 18 页） 解得 m 或 m ， 故答案为： 【点评】 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意函数性质和等价转化思想的合理运用 二、选择题本大题共有 3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 11向量 ， 均为单位向量，其夹角为 ，则命题 “p： | | 1”是命题 q： ， ）的（ ）条件（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D非充分非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】 平面向量及应用；简易逻辑 【分析】 根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【解答】 解：若 | | 1，则平方得： 2 2 + 2=2 2 1，即 ，则 ， （ ， ，即 p： （ ， ， 命题 q： ， ）， p 是 q 的必要不充分条件， 故选： B 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键 12已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， 平面 B=1， ，则球O 的表面积等于（ ） A 4 B 3 C 2 D 【考点】 直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积 第 10 页（共 18 页） 【专题】 压轴题 【分析】 先寻找球心，根据 S， A， B， C 是球 O 表面上的点，则 B=S，根据直角三角形的性质可知 O 为 中点，则 为直径，根据球的面积公式求解即可 【解答】 解： 已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点 B=S=1 又 平面 B=1， ， 球 O 的直径为 2R=， R=1， 表面积为 4 故选 A 【点评】 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 13已知数列 ， =3下列关于 说法正确的是（ ） A一定为等差数列 B一定为等比数列 C可能为等差数列，但不会为等比数列 D可能为等比数列，但不会为等差数列 【考点】 等差关系的确定；等比关系的确定 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 由条件可得 =4 类讨论，即可得出结论 【解答】 解： =3 =4 若 ，则数列 等差数列； 第 11 页（共 18 页） 若 ，则数列 首项为 比为 4 的等比数列， 14n 1， 此时 n 1=3n 2（ n2），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列 综上，数列 能为等差数列，但不会为等比数列 故选 C 【点评】 本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键 三、解答题 （本题满分 75分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤 14（理）在长方体 ， ， ，点 E 在棱 移动 （ 1）探求 于何值时，直线 平面 45角； （ 2）点 E 移动为棱 点时，求点 E 到平面 距离 【考点】 直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算 【专题】 计算题 【分析】 （ 1）解法一：先找到直线 平面 成的平面角，放入直角三角形中，根据角的大小为 45，来求三角形中边之间的关系，即可求出 度 解法二：利用空间向量来解，先建立空间直角坐标系，求出 坐标，以及平面 法向量的坐标，因为直线 平面 45角，所以 与平面 法向量成 45角，再用向量的数量积公式即可求出 坐标，进而判断 E 点位置 （ 2）利用空间向量的知识，点到平面的距离可用公式 来求，其中 为平面的法向量，为 E 点到平面上任意一点的向量 第 12 页（共 18 页） 【解答】 解：（ 1）解法一：长方体 ，因为点 E 在棱 移动，所以 平面 而 直线 平面 成的平面角， ， 5 解法二：以 D 为坐标原点，射线 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，则点0， 0， 1），平面 法向量为 ，设 E（ 1， y， 0），得 ， 由 ，得 ， 故 （ 2）以 D 为坐标原点， 射线 次为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，则点 E（ 1，1， 0）， 1， 0， 1）， 0， 2， 1）， 从而 ， ， 设平面 法向量为 ，由 令 ， 所以点 E 到平面 距离为 =1 【点评】 本题主要考查了向量法求直线与平面所成角，以及点到平面的距离属于立体几何的常规题 15某公司生产的某批产品的销售量 P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用 x 万元满足 P=（其中 0xa， a 为正常数）已知生产该产品还需投入成本 6（ P+ ）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（ 4+ ）元 /件 （ 1）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数； （ 2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【专题】 应用题；函数的性质及应用 第 13 页（共 18 页） 【分析】 （ 1）根据产品的利润 =销售额产品的成本建立函数关系； （ 2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件 【解答】 解：（ ）由题意知， y=（ 4+ ） p x 6（ p+ ）， 将 p= 代入化简得： y=19 x（ 0xa）； （ ） y=22 （ +x+2） 22 3 =10， 当且仅当 =x+2，即 x=2 时，上式取等号； 当 a2 时，促销费用投入 2 万元时，该公司的利润最大； y=19 x， y= ， a 2 时，函数在 0， a上单调递增， x=a 时，函数有最大值即促销费用投入 a 万元时，该公司的利 润最大 【点评】 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题 16已知函数 f（ x） =x+）（ 0， 0 ）的周期为 ，图象的一个对称中心为（ ，0），将函数 f（ x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（ x）的图象 （ 1）求函数 f（ x）与 g（ x）的解析式； （ 2）求证：存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某种顺序成等差数列 【考点】 函数 y=x+）的图象变换；函数与方程的综合运用 【专题】 函数思想；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由周期公式可得 ， 0，再由对称中心可得 值，可得 f（ x）解析式，由函数图象变换和诱导公式化简可得； （ 2）当 x（ ， ）时 题转化为方程 2（ ，）内是否有解，由函数零点的存在性定理可得 第 14 页（共 18 页） 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） =x+）的周期为 ， 0， ， 又曲线 y=f（ x） 的一个对称中心为（ ， 0）， （ 0， ）， 2 +） =0，可得 ， f（ x） = 将函数 f（ x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）后可得 y=图象， 再将 y=图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（ x） =x ）的图象， 由诱导公式化简可得 g（ x） = （ 2）当 x（ ， ）时， ， ， 问题转化为方程 2（ ， ）内是否有解 设 G（ x） =2x（ ， ）， ， ，且函数 G（ x）的图象连续不断， 函数 G（ x）在（ ， ）内存在零点 即存在 ， ），使得 f（ g（ f（ g（ 按照某种顺序成等差数列 【点评】 本题考查三角函数图象变换，问题转化为方程 2（ ， ）内是否有解是解决问题的关键，属中档题 17 若动点 M 到定点 A（ 0， 1）与定直线 l： y=3 的距离之和为 4 （ 1）求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； （ 2）记（ 1）得到的轨迹为曲线 C，问曲线 C 上关于点 B（ 0， t）（ tR）对称的不同点有几对？请说明理由 【考点】 轨迹方程 【专题】 综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ 1）设 M（ x， y），由题意 ，分类讨论，可得点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图； 第 15 页（共 18 页） （ 2）当 t0 或 t4 显然不存在符合题意的对称点当 0 t 4 时 ，注意到曲线 C 关于 y 轴对称，至少存在一对（关于 y 轴对称的）对称点，下面研究曲线 C 上关于 B（ 0， t）对称但不关于 y 轴对称的对称点即可 【解答】 解：（ 1）设 M（ x， y），由题意 ：当 y3 时，有 ，化简得： y ：当 y 3 时，有 ，化简得： 12（ y 4）（二次函数） 综上所述：点 M 的轨迹方程为 （如图） （ 2）当 t0 或 t4 显然不存在符合题意的对称点 当 0 t 4 时，注意到曲线 C 关于 y 轴对称，至少存在一对（关于 y 轴对称的）对称点 下面研究曲线 C 上关于 B（ 0， t）对称但不关于 y 轴对称的对称点 设 P（ 轨迹 y（ y3）上任意一点，则 ，它关于 B（ 0， t）的对称点为 Q（ 2t 由于点 Q 在轨迹 12（ y 4）上， 所以 ，联立方程组 （ *）得 4 12（ 2t 4），化简得 当 0， 3）时，