广东省珠海市2016届高三5月学业质量监测（二模）数学试卷(文)含解析

珠海市 2015年度第二学期高三学生学业质量监测 文科数学试题 一、 选择题： 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 2 | 4 0 A x x ， 12B ， ， 则 （ ） A 2 B 2,2 C 2 D 2 i 是虚数单位，则复数 21= 复平面内对应的点在 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知向 量 (1 2)r ，a ， ( 4)xr ，b ，若向量 /则实数 x 的值为 ( ) A 2 B 2 C 8 D 8 4 抛掷两颗质地均匀的骰子，则点数之和为 6的概率等于（ ） A 16B 536C 19D 1125 已知 43s i n ( ) s i n , 0 ,3 5 2 则 5)6等于（ ） A. 45B. 35C. 35D. 456 某几何体三视图如图所示， 则 该几何体的 最短的棱 长度是 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D. 2 7. 已知等比数列 2584 2，2a 1，则10a （ ） A 2 B 4 C 8 D 16 8 已知点 P 是双曲线 2 2 14x y上任意一点， A、 B 分别是 双曲线的 左右顶点， 则 B最小值为（ ） 定义行列式运算 121 4 2 334aa a a a 将函数 s i n 2 3()c o s 2 1图象向 右 平移6个单位后， 所得函数图象的一个对称 轴 是（ ） A 712x B2x C 512x D3x 10 下列程序框图中，输出的 A 的值是 A 12015B 12016C 12017D 1201811 如图所示，在棱长为 a 的正方体1 1 1 1A B C D A B C D的面对角线1 使得1P取得最小值，若此最小值为2 2 2 ，则 a 的值是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 果函数 () , 存在1x，2x(12a x x b )满足1 ( ) ( )( ) f b f ，2 ( ) ( )( ) f b f ， 则 称 函 数 () , 的 “ 双 中 值 函 数 ” 已 知 函 数32( ) + 1f x x x a 是 0, a 上的 “ 双中值函数 ” ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 11( , )32B 3( ,2)2C 1( ,1)2D 1( ,1)3二、 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13 已知函数 333 23 1x 处取得极值，则 a _ 14. 等差数列 4 7 3 6 93 3 , 2 1a a a a a a ， 则数列 项的和9_ 15 设 32z x y，其中 , 0,0, 若 z 的最大值为，则 32z x y的最小值为 0x 与抛物线 2 8交于 A 、 B 两点， 则 积的取值范围是 三、 解答 题 :本 大 题共 8 小题， 考生作答 6小题，共 70分解答须写出文字说明 、证明过程和演算步骤。 17 （本 小 题满分 12分） 在 a、 b、 c 分别为角 A、 B、 2 2 2( ) t a n 2a b c C a b 求 角 若 2c ， 22b ，求边 a 的值及 面积 是开 始 1, 1 结 束131 672i 否18 （本 小 题满分 12分） 珠海长隆国际马戏节期间，组委会 为了解观众对 其中 14场马戏 节目的 观看 情况，随机抽取了 100名观众 对 进行调查，其中女性有 55名下面是根据调查结果绘制的观众观看 马戏节目 的场数与所对应的人数的表格： 场数 9 10 11 12 13 14 人数 10 18 22 25 20 5 将收看该节目场数不低于 13场的观众称为“ 马 迷”，已知“ 马 迷”中有 10名女性根据已知条件完成下图的 22 列联表，并判断我们能否有 95%的把握认为“ 马 迷”与性别有关？ 非 马迷 马迷 合计 男 女 合计 将收看该节目所有场数（ 14场）的观众称为“超级 马 迷”，已知“超级 马 迷”中有 2名女性，若从“超级 马迷 ”中任意选取 2人，求至少有 1名女性观众的概率 注： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d . 19 （本 小 题满分 12分） 如图，四棱锥 P 中，四边形等腰梯形，其中 /D ， 1 32 D，且 60o ； E 为 点， 4P A P B P C P D 求证： E 求四棱锥 P 的体积 20.（本题满分 12分） 已知 点 P 为 圆 2225上任意一点， 过 P作 x 轴的 垂线，垂足为 H，且满足 35H若 M 的 轨迹为曲线 E . 求 E 的方程； 设过 曲线 E 左焦点的两条弦为 弦 所在直线的斜率分别为12当121，判断 11| | | |M N 否为定值， 若是，求出该定值，若不是，说明理由 . 21（本题满分 12分） 已知函数 ( ) x x a x ， 1( ) , ( R ) x 2()P K k k 设函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x， 当 0a 时 求函数 ()单调区间； 若在 1,e （ e . ）上存在一点0x，使得0() 0() a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 . 22.（本小题满分 10分）选修 4 1：几何证明选讲 如图， 等腰三角形 外接圆， C ，延长 点 D ，使 C ，连接 e 于点 E ，连接 于点 F 判断 否平分 ，并说明理由 若 6， 8，求 长 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参 数方程 在平面直角坐标系 ，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为4（ )R ，曲线 C 的参数方程为 )(s 参数 写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程； 过点 M 平行于直线 l 的直线与曲线 C 交于 两点，若 3B ，求点 M 轨迹的直角坐标方程。 24.（本小题满分 10分）选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ( ) 2 2 3 , ( ) 1 2f x x a x g x x 解不等式 ( ) 5. 若对任意的1有2使得12( ) ( )f x g x成立，求实数 a 的取值范围 . 文科数学参考答案 一 选择题： 本大题共 12小题，每小题 5分， 共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1.【答案】 C 【解析】 2 | 4 0 2 , 2A x x 2 ，故选 C 2.【答案】 A 【解析】 21=2，对应的点为 2,1 ，因此点在第一象限 3.【答案】 A 【解析】试题分析：因为两向量平行，所以可得 1 4 2 2 ，故选择 A 4.【答案】 B 【解析】 掷两 颗均匀的骰子，共有 36 种基本事件，点数之和为 6 的事件有（ 1,5），（ 2,4），（ 3,3），（ 4,2） ， （ 5,1）这 五 种，因此所求概率为 536，选 B 5. 【答案】 A 【解析】因为 3 3 4 3s i n ( ) s i n s i n c o s 3 s i n ( )3 2 2 6 5 ，利用互 补 角的诱导公式可知 45s i n ( ) s i n ( ( ) s i n ( )6 5 6 6 ，因此所求的值为 45，选 A. 6. 【答案】 B. 【解析】解：由三视图可知该几何体是四棱锥， 利用勾股定理可求出棱长 分别为 2 ， 2， 5 ，3 等，故选 B 7. 【答案】 D 【 解 析 】 224 8 6 52a a a a，得 26252 ，故 2 2q ，而 0q ，所以 2q , 而881 0 2 ( 2 ) 1 6a a q . 8.【答案】 B. 【解析】 A 点坐标为 (2,0) ， B 点坐标为 ( 2,0) ，设点 P 坐标为 ( , )则 ( 2 , )PA x y ( 2 , )P B x y 故 2 2 23434P A P B x y x u ur u u r ，而 22 或 ，故最小值为 0 9.【 答案 】 A 【解析】 ，向 右 平移 后得到 22 s i n ( 2 )3 所 以 函 数22 s i n ( 2 )3图象的对称 轴 为 22 32 ， 7 ()2 1 2kx x Z 答案】 C 【解析】根据题意有，在运行的过程中， 11 , 1 , , 24A i A i ；114 ,37 74 ；11710 107A ， 4i ；1110 ,513 1310 ，以 此类推，就可以得出输出的 为分子，分母构成以 3 为首项，以 3 为公差的等差数列，输出的是第 672 项，所以输出的结果为 12017，故选 C 11.【答案】 B 【解析】 把对角面 其与 接 则在1由2 2 21 2 c o s 1 3 5 2 2A D a a a a o，而 2 2 2 2 2a ，所以 2a 12. 【答案】 C 【解析】由题意可知 32 1f x x x a Q , 232f x x x , 在区间 0,a 存在12,12a x x b ， 120f a ff x f 2， 32 1f x x x a Q ， 232f x x x ， 方程 2232x x a a 在 区 间 0,a 有 两 个 不 相 等 的 解 ， 令 2232g x x x a a ，则 2224 1 2 00020103a ag a a ，所以实数 a 的取值范围是 1,12，故选C. 13.【答案】 解析】 2 3 6 3y a x x ,而 ( 1 ) 3 9 0 , 3f a a . 14.【答案】 81 【解析】：1 4 7 3 6 9 4 6 4 63 3 , 2 1 3 3 3 , 3 2 1 1 1 , 7a a a a a a a a a a Q 19 4699 9 ( ) 8122aa 15. 【答案】 245【解析】 如图， 3 62 过点 ( , )Ak k ， 125k 在点 B 处取得最小值， B 点在直线 20上， 24 12( , )55B ， m i n 3 2 425z x y 16.【答案】 64, ) 【解析】联立 方程288x ，得 2 8 6 4 0y m y ， 0 ，128y y m，12 64，因为 80x 过定点 (8,0), 221 2 1 2 1 21 8 4 ( ) 4 4 6 4 4 6 42O A BS y y y y y y m ，当 0m 时， 4S 故答案为 64, ) . 17.【解析】 由已知得 ， 2 2 2 2t a b c 则 22 22 C4或 C 34 6分 （ 2） 2c ， 22b ， C 4， 由余弦定理 2 2 2 2 c o sc a b a b C 得 2 2 2( 2 2 ) 2 2 2 c o s 4c a a 整理得 2 4 4 0 ， 解得 2a , 11 2 2 222S a c . 12分 18.【解析】 由统计表可知，在抽取的 100人中，“ 马迷 ”有 25人，从而完成 2 2列联表如下： 非 马迷 马迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将 2 2列联表中的数据代入公式计算得： 22 1 0 0 ( 3 0 1 0 4 5 1 5 ) 1 0 0 3 . 0 3 0 3 . 8 4 17 5 2 5 4 5 5 5 3 3K ，所以我们没有 95%的把握认为“ 马迷 ”与性别有关 6分 由统计表可知，“超级 马迷 ”有 5人，其中 2名女性， 3名男性，设 2名女性分别为12,3名男性分别为1 2 3,b b b，从中任取 2人所包含的基本事件有： 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )a a a b a b a b a b a b a b b b b b b 0个 用 A 表示“任意选取的两人中，至少有 1 名女性观众”这一事件， A 包含的基本事件有：1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )a a a b a b a b a b a b a 个， 所以 7()10 12 分 19. 【解析】 证明：连接 Q 等腰梯形， E 为 点， D ，所以 等腰三角形，又60o ，故 等边三角形 . C C ， E 为 中点， D ， 由 C ， C ， E ，得 等于 知 B ， C BI ，故 ， ，得 E . 6分 因为 4， 3，所以 7， 1 3 2 7( 3 6 ) 3 32 2 4A B C ，1 2 7 97 3 2 13 4 4P A B C 12 分 20.【 解析 】 设 P 点坐标为00( , )M 点坐标为 ( , )由 35H， 0035 ，而 P 点在2225上，代 入得 22125 9. 5分 由题设知，1( 4 0)F ，则1: ( 4 )M N y k x，2: ( 4 )P Q y k x将 C 的方程联立消 y 得： 2 2 2 21 1 1( 2 5 9 ) 2 0 0 4 0 0 2 2 5 0k x k x k ”设1 1 2 2( ) ( )M x y N x y， ， ，则12“ *”的二根 则2112 212112 212002 5 94 0 0 2 2 52 5 9 7分 则 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2| | ( ) ( ) ( 1 ) ( )M N x x y y k x x 4 2 22 2 2 1 1 11 1 2 1 2 1 2214 0 0 4 ( 4 0 0 2 2 5 ) ( 2 5 9 )( 1 ) ( ) 4 ( 1 )( 2 5 9 )k k kk x x x x 212190(1 )25 9 8分 同理： 22229 0 (1 )|2 5 9Q 121 221222121 1 1 19 0 (1 ) 9 0 (1 )| | | |2 5 9 2 5 9 P 10分 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 12 2 2 21 2 1 22 5 9 2 5 9 ( 2 5 9 ) ( 1 ) ( 2 5 9 ) ( 1 )9 0 ( 1 ) 9 0 ( 1 ) 9 0 ( 1 ) ( 1 )k k k k k kk k k k 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 2 21 2 1 21 8 3 4 3 4 5 0 ( ) 6 8 3 4 3 49 0 1 ( ) 9 0 ( 2 )k k k k k kk k k k k k 221222123 4 ( 2 ) 179 0 ( 2 ) 4 5 11| | | |M N 定值，值为 1745 12 分 （ 2）解法 2： 由 上 知， |12190(1 )25 9， 22229 0 (1 )|2 5 9Q 121 2121212121212121925909092590909125)11(90| 45179090925)1(90925|1|121212121 k 【解析】 ()0, ) ， 1( ) l x x a ， 21( ) 1 1 分 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) x a x a x x 2 分 因为 0a ，所以 1 1 1a ， 因此 在 (0,1 )a 上 ( ) 0 ，在 (1 , )a 上 ( ) 0 ， 所以 () (0,1 )a 上单调递减，在 (1 , )a 上单调递增； 5分 在 1,e 上存在一点0x，使得0() 0() 在 1,e 上存在一点0x，使得0( ) 0即 函数 1( ) l x x a 在 1,e 上的最小值小于零 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) x a x a x x 121, 1x x a 当 1，即 时， () 1,e 上单调递减， 所以 ()e)h ，由 1( e ) e 0e