高中数学 专题十 直线与圆教案 新人教A版必修2

专心 爱心 用心1 专题十专题十 直线与圆直线与圆 高考导航 一 考试内容 1 有向线段 两点间的距离 线段的定比分点 2 直线的方程 直线的斜率 直线的点斜式 斜截式 两点式 截距式方程 直线方程 的一般式 3 两条直线平行与垂直的条件 两条直线所成的角 两条直线交点 点到直线的距离 4 圆的标准方程和一般方程 二 考试要求 1 理解有向线段的概念 掌握有向线段定比分点坐标公式 熟练运用两点间的距离公 式和线段的中点坐标公式 2 理解直线斜率的概念 掌握过两点的直线的斜率公式 熟练掌握直线方程的点斜式 掌握直线方程的斜截式 两点式 截距式以及直线方程的一般式 能够根据条件求 出直线的方程 3 掌握两条直线平行与垂直的条件 能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系 会求两条相交直线的夹角和交点 掌握点到直线的距离公式 4 熟练掌握圆的标准方程和一般方程 能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程 掌握直线和圆的位置关系的判定方法 三 考点简析 1 有向线段 有向线段是解析几何的基本概念 可用有向线段的数量来刻划它 而在 数轴上有向线段 AB 的数量 AB xB xA 2 两点间的距离公式 不论 A x1 y1 B x2 y2 在坐标平面上什幺位置 都有 d AB 2 21 2 21 yyxx 特别地 与坐标轴平行的线段的 长 AB x2 x1 或 AB y2 y1 3 定比分点公式 定比分点公式是解决共线三点 A x1 y1 B x2 y2 P x y 之间数量关系的一个公式 其中 的值是起点到分点 分点到终点的有向线段的 数量之比 这里起点 分点 终点的位置是可以任意选择的 一旦选定后 的值 也就随之确定了 若以 A 为起点 B 为终点 P 为分点 则定比分点公式是 1 1 21 21 yy y xx x 当 P 点为 AB 的中点时 1 此时中点公式是 2 2 21 21 yy y xx x 4 直线的倾斜角和斜率的关系 1 每一条直线都有倾斜角 但不一定有斜率 2 斜率存在的直线 其斜率 k 与倾斜角 之间的关系是 k tan 专心 爱心 用心2 5 确定直线方程需要有两个互相独立的条件 确定直线方程的形式很多 但必须注意 各种形式的直线方程的适用范围 6 平面上直线与二元一次方程是一一对应的 7 两条直线的夹角 当两直线的斜率 k1k2 都存在且 k1 k2 1 时 tan 21 12 1kk kk 当直线的斜率不存在时 可结合图形判断 另外还应注意到 到角 公式与 夹角 公式的区别 8 怎幺判断两直线是否平行或垂直 判断两直线是否平行或垂直时 若两直线的斜率 都存在 可用斜率的关系来判断 若直线的斜率不存在 则必须用一般式的平行 垂直条件来判断 1 斜率存在且不重合的两条直线 l1 y k1x b1 l2 y k2x b2 有以下结论 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 2 对于直线 l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0 当 A1 A2 B1 B2都不 为零时 有以下结论 l1 l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A l1 l2 A1A2 B1B2 0 l1与 l2相交 2 1 2 1 B B A A l1与 l2重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 9 点到直线的距离公式 1 已知一点 P x0 y0 及一条直线 l Ax By C 0 则点 P 到直线 l 的距离 d 22 00 BA CByAx 2 两平行直线 l1 Ax By C1 0 l2 Ax By C2 0 之间的距离 d 22 21 BA CC 10 确定圆方程需要有三个互相独立的条件 圆的方程有两种形式 要注意各种形式的 圆方程的适用范围 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中 a b 是圆心坐标 r 是圆的半 径 2 圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 圆心坐标为 2 2 ED 半径为 r 2 4 22 FED 11 直线与圆的位置关系的判定方法 专心 爱心 用心3 1 法一 直线 Ax By C 0 圆 x2 y2 Dx Ey F 0 消消元元 0 0 22 FEyDxyx CByAx 一元二次方程 相相离离 相相切切 相相交交 判判别别式式 0 0 0 2 法二 直线 Ax By C 0 圆 x a 2 y b 2 r2 圆心 a b 到直线 的距离为 d 相相离离 相相切切 相相交交 rd rd rd BA CBbAa 22 12 两圆的位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 O1O2 为圆心距 则两圆位置关 系如下 O1O2 r1 r2 两圆外离 O1O2 r1 r2 两圆外切 r1 r2 O1O2 r1 r2 两圆相交 O1O2 r1 r2 两圆内切 O1O2 r1 r2 两圆内含 四 思想方法 1 公式法 求直线和圆的方程要正确运用公式解题 各种位置关系的判断要灵活使用 各种结论 2 数形结合思想 解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的 即 将 对几何图形的研究 转化为对代数式的研究 同时又要理解代数问题的几何意义 典型例题 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A B C 三种规格 每张钢板可同时截成 三种规格小钢板块数如下表 ABC 第一种钢板 131 第二种钢板 114 每块钢板面积第一种 1 平方单位 第二种 3 平方单位 今需要 A B C 三种规格的成品各 14 23 39 块 问各截这两种钢板多少张可得到所需三种规格成品 且使所用钢板面积 最小 并求出这个最小面积 专心 爱心 用心4 解 设截第一种钢板 x 张 第二种钢板 y 张 满足条件 则 1 323 439 xy xy xy xN yN 其目标函数 z x 3y 取最小值 作出如图可行域 最优解在 17 25 33 附近 取 y 8 x 7 满足条件 此时 z 31 取 y 7 x 11 满足条件 此时 z 32 比较即 知 x 7 y 8 即截第一种钢板 7 张 第二种钢板 8 张 可得到所需规格成品 且所使 用的钢板面积最小为 31 平方单位 例 2 如图 已知 射线 OA 为 y kx k 0 x 0 射线 OB 为 y kx x 0 动点 P x y 在 AOx 的内部 PM OA 于 M PN OB 于 N 四边形 ONPM 的面积恰为 k 专心 爱心 用心5 1 当 k 为定值时 动点 P 的纵坐标 y 是其横坐标 x 的函数 求这个函数 y f x 的解析式 2 根据 k 的取值范围 确定 y f x 的定义域 解 设 0 0 M a ka N bbkab 则 2 1OMak 2 1ONbk 由动点 P 在 AOx 的内部 得 0 y kx 2 1 kxy PM k 2 1 kxy k 2 1 kxy PN k 2 1 kxy k ONPMONPOPM SSS 1 2 OMPMONPN 1 2 a kxyb kxyk 2k ab xab yk 1 又 1 PM ykx k kxa 1 PN ykx k kxb 专心 爱心 用心6 2 1 xky a k 2 1 xky b k 代入 1 消去 a b 得 222 1xyk y 0 22 1yxk 2 由0 ykx 得 22 01xkkx 22 2222 10 1 xy xkk x 2 222 1 1 1 xk kxk 当 k 1 时 x 2 当 0 k1 时 2 1x xk 例 3 如图所示 已知 O 过定点 A 0 p p 0 圆心 O 在抛物线 x2 2py 上运动 MN 为圆 O 在 x 轴上所得的弦 令 AM d1 AN d2 MAN 1 当 点运动时 MN 是否有变化 并证明你的结论 专心 爱心 用心7 2 求 1 2 2 1 d d d d 的最大值 并求取得最大值的 值 解 设 00 O xy 2 000 2 0 xpyy 则 O 的半径 O A 22 00 xyp O 的方程为 2222 0000 xxyyxyp 令 y 0 并把 2 000 2 0 xpyy 代入得 x2 2x0 x x02 p2 0 得 0M xxp 0N xxp 2 NM MNxxp 为定值 2 0 0 M xp 0 0 N xp 22 10 dpxp 22 20 dpxp 则 2222 120 42ddpx 42 120 4d dpx 22 2112 1212 dddd ddd d 22222 00 44 44 0 0 42 2 2 4 4 pxpx px px 22 0 42 0 4 2 1 4 p x px 22 0 22 0 4 2 12 2 2 2 p x p x 当且仅当 22 0 2xp 即 0 yp 时 21 12 dd dd 的最大值为2 2 专心 爱心 用心8 此时O B MBNB B 为 MN 中点 又 O MO N O MN 为等腰直角三角形 0 90MO N 则 1 24 MO N 例 4 如图所示 已知圆 C x2 y2 4 内一点 A 3 0 与圆 C 上一动点 Q 的连线 AQ 的垂直平分线交 OQ 于点 P 1 当点 Q 在圆 C 上运动一周时 求动点 P 的轨迹方程 2 过点 O 倾斜角为 的直线与点 P 的轨迹相交于 B1 B2两点 当 在区间 2 0 内变 化时 求 AB1B2的面积 S 并求 S 的最大值 说明 本题考查直线与圆的综合问题 解题关键 椭圆定义的运用 直线参数方程 的运用 用基本不等式求最值 解 1 因为点 P 在线段 AQ 的垂直平分线上 所以 PA PQ POPA 2POPQOQ 又 32OA 所以点 P 的轨迹是以 O A 为焦点的椭圆 其方程为 专心 爱心 用心9 2 2 3 41 2 xy 2 设直线 B1B2的参数方程为 cos sin xt yt t 为参数 代入 2 2 3 41 2 xy 整理 得 222 1 4sincos 3 cos0 4 t 由弦长公式及韦达定理 得 2 1212121 2 4B Bttttt t 2 2 3sin1 所以 AB1B2的面积为 12 1 sin 2 SOA OBOB 12 3 sin 2 tt 2 3sin 3sin1 S 2 3sin 3sin1 3 1 3sin sin 31 22 3 当且仅当 1 3sin sin 即 3 arcsin 3 S 取最大值 1 2 例 5 设正方形 ABCD 的外接圆方程 x2 y2 6x a 0 a 9 C D 点所在 专心 爱心 用心10 直线 l 的斜率为 3 1 1 求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC BD 的斜率 2 如果 ABCD 的外接圆方程半径为52 在 x 轴上方的 A B 两点在一条以 x 轴为对称轴 的抛物线上 求此抛物线的方程及直线 l 的方程 解 1 由 2 2 39 9 xyaa 可知圆心 M 的坐标为 3 0 依题意 4 ABMBAM 1 3 AB k MA MB 的斜率 k 满足 1 3 1 1 1 3 k k 解得 1 2 AC k 2 BD k 2 将圆方程 2 22 3 2 5 xy 分别与 AC BD 直线方 程 1 3 2 yx 2 3 yx 联立 可解得 A 1 2 B 5 4 设抛物线方程为 2 ya xm 将 A 1 2 B 5 4 的坐标代入 得 4 1 16 5 am am 解得 a 2 m 3 抛物线的方程为 A B C D M 3 0 O 专心 爱心 用心11 2 2 3 yx A 1 2 点关于 M 3 0 点的对称点为 C 7 2 故直线 l 的方程为 1 2 7 3 yx 即 3130 xy 例 6 已知圆 x 4 2 y2 25 的圆心为 M1 圆 x 4 2 y2 1 的圆心为 M2 一动圆与这两个圆都外切 1 求动圆圆心 P 的轨迹方程 2 若过点 M2的直线与 1 中所求轨迹有两个交点 A B 求 AM1 BM1 的取值范围 解 1 PM1 5 PM2 1 PM1 PM2 4 动圆圆心 P 的轨迹是以 M1 M2为焦点的双曲线的右支 c 4 a 2 b2 12 故所求轨迹方程为 22 1 2 412 xy x 1 当过 M2的直线倾斜角不等于 2 设其斜率为 k 直线方程为 4 yk x 4 yk x 与双曲线 22 1 412 xy 联立 消去 y 化简得 2222 3 816120kxk xk 又设 11 A x y 22 B xy 12 0 0 xx 由 2 12 2 2 12 2 422 8 3 1612 3 6416 3 41 0 k xx k k x x k kkk 解得 2 3 k 由双曲线左准线方程 x 1 且 e 2 有 AM1 BM1 221212 114 1e xe xx xxx 专心 爱心 用心12 2 336 100100 3k 2 又当倾斜角等于 2 A 4 y1 B 4 y2 AM1 BM2 e 4 1 10 AM1 BM1 100 故 AM1 BM1 100 例 7 已知函数 y n x 1 log2 x N 1 当 n 1 2 3 时 把已知函数的图像和直线 y 1 的交点的横坐标依次记为 a1 a2 a3 求证 a1 a2 a3 an 1 2 对于每一个 n 的值 设 An Bn为已知函数的图像上与 x 轴距离为 1 的两点 求证 n 取 任意一个正整数时 以 AnBn为直径的圆都与一条定直线相切 并求出这条定直线的方 程和切点的坐标 解 原函数 y n x 1 log2 x N 可化为 1 2 1 log yx n 1 当 y 1 时 可求得 1 2 n x 1 111 222 nn n a n a是以 1 2 为首项 1 2 为公比的等比数列 123 11 1 122 11 1 2 1 2 n n n aaaa 2 同理可以求 nn A B 的横坐标 可得 nn A B 的坐标分别为 1 1 2 1 2 n n 专心 爱心 用心13 2 11 222 22 n nn nn nn A B nn A B 中点 C 横坐标 到 Y 轴的距离 1 2 1 2 22 n n nn A B 以 C 为圆心 nn A B 为直径的圆必定与 Y 轴相切 切点 0 0 例 8 1997 年全国高考数学试题 设圆满足 截 y 轴所得弦长为 2 被 x 轴分成两 段圆弧 其弧长的比为 3 1 在满足条件 的所有圆中 求圆心到直线 l x 2y 0 的距离最小的圆的方程 解 设圆心 P a b 半径为 r 则 点 P 到 x 轴 y 轴的距离分别为 a b 由题意知圆 P 截 X 轴所得劣弧的圆心角为 90 圆 P 截 X 轴所得弦长 2r 故r2 2b2 又圆 P 截 y 轴所得弦长 2 故 r2 a2 1 22 22 2 1 rb ra 22 21ba P a b 到直线 l x 2y 0 的距离为 2 5 ab d 2 222 5244dababab 专心 爱心 用心14 2222 42 abab 22 21ba 当且仅当 a b 时等号成立 此时 22 21 ab ba 1 1 a b 或 1 1 a b 由于 22 2rb 故 2r 于是 所求圆的方程为 2 2 1 1 2xy 或 2 2 1 1 2xy 例 9 1989 年全国高考数学试题 如图所示 自点 A 3 3 发出的光线 L 射到 x 轴 上 被 x 轴反射 其反射光线所在直线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0 相切 求光线 L 所在的 直线的方程 解 圆方程 x2 y2 4x 4y 7 0 可化为 x 2 2 y 2 2 1 它关于 x 轴的对称圆 C 的方程是 x 2 2 y 2 2 1 设光线 L 所在的直线的方程是 y 3 k x 3 其中斜率 k 待定 2 55 1 1 k d k 解之得 3 4 k 或 4 3 k 故所求直线的方程是 y 3 3 4 x 3 或 y 3 4 3 x 3 即 3x 4y 3 0 或 4x 3y 3 0 例 10 已知圆 C x2 y 1 2 5 直线 l mx y 1 m 0 专心 爱心 用心15 1 求证 对 m R 直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 2 设直线 l 与圆 C 交于 A B 两点 若 AB 17 求 l 的倾斜角 3 若定点 P 1 1 分弦 AB 为 2 1 PB AP 求此时直线 l 的方程 证法一 由 22 1 5 10 xy mxym 消去 y 并整理 得 2222 1 250mxm xm 因为 2 16200m 故直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 证法二 由已知直线 l mx y 1 m 0 故直线 l 恒过定点 P 1 1 定点 P 1 1 在圆 C x2 y 1 2 5 内 故直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 证法三 圆心 0 1 到直直线 l 的距离 2 15 1 m dr m 圆心 0 1 到直直线 l 的距离小于半径 故直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 2 解法一 11 A x y 22 B xy 则 x1 x2是方程 2222 1 250mxm xm 的两根 2 12 1ABmxx 17 2 2 2 1620 1 1 m m m 所以解得 m 3 所以 l 的倾斜角为 3 或 2 3 解法二 圆半径 r 5 圆心 0 1 到直线 l 的距离 2 2 3 22 AB dr 即 2 3 2 1 m m 所以解得 m 3 所以 l 的倾斜角为 3 或 2 3 专心 爱心 用心16 3 1 2 AP PB 12 1 2 1 1 1 2 xx 21 32xx 1 2 12 2 2 12 2 2 2 1 5 3 1 m xx m m x x m 由 1 2 3 得 m 1 此时直线 l 的方程为 x y 0 或 x y 2 0 同步精练 一 选择题 1 若 a 2 6 则直线 2xcos 3y 1 0 的倾斜角的取值范围是 A 2 6 B 6 5 C 6 0 D 6 5 2 2 点 A 2 1 B 3 2 已知直线 l ax y 2 0 与 AB 的延长线总有交点 不含端点 B 则实数 a 的取值范围是 A a 5 1 B 3 4 a 5 1 C a 2 3 D 5 1 a 2 3 3 直线 x 7y 5 0 分圆 x2 y2 1 所成两段弧长之差的绝对值是 A B 4 C 2 3 D 2 4 当 a R 时 关于 x y 的二元二次方程 x2 y2 x y a x 2y 1 0 表示的曲线是轴对 称图形 其对称轴方程是 A 2x 4y 1 0 B 4x 2y 1 0 C 4x 2y 1 0 D 2x 4y 1 0 5 已知两点 M 1 4 5 N 4 4 5 给出下列曲线方程 4x 2y 1 0 x2 y2 3 专心 爱心 用心17 2 2 x y2 1 4 2 x y2 1 在曲线上存在点 P 满足 MP NP 的所有曲线方程是 A B C D 6 若点 P m 0 到点 A 3 2 及点 B 2 8 的距离之和最小