高中数学 《数列的概念》文字素材4 北师大版必修5

用心 爱心 专心 1 数数列列的的概概念念 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 这个数列就 叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q 表示 1 等比数列的通项公式是 An A1 q n 1 若通项公式变形为 an a1 q q n n N 当 q 0 时 则可把 an 看作自变量 n 的函 数 点 n an 是曲线 y a1 q q x 上的一群孤立的点 2 任意两项 am an 的关系为 an am q n m 3 从等比数列的定义 通项公式 前n 项和公式可以推出 a1 an a2 an 1 a3 an 2 ak an k 1 k 1 2 n 4 等比中项 aq ap ar 2 ar 则为 ap aq 等比中项 记 n a1 a2 an 则有 2n 1 an 2n 1 2n 1 an 1 2n 1 另外 一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列 反之 以 任一个正数 C 为底 用一个等差数列的各项做指数构造幂Can 则是等比数列 在这个 意义下 我们说 一个正项等比数列与等差数列是 同构 的 性质 若 m n p q N 且 m n p q 则 am an ap aq 在等比数列中 依次每 k 项之和仍成等比数列 G 是 a b 的等比中项 G 2 ab G 0 5 等比数列前 n 项之和 Sn A1 1 q n 1 q 或 Sn a1 an q 1 q q 1 S n n a1 q 1 在等比数列中 首项 A1 与公比 q 都不为零 注意 上述公式中 A n 表示 A 的 n 次方 等比数列在生活中也是常常运用的 如 银行有一种支付利息的方式 复利 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金 再计算下一期的利息 也就是人们通常说的利滚利 按照复利计算本利和的公式 本利和 本金 1 利率 存期 等等差差数数列列公公式式 等差数列的通项公式为 an a1 n 1 d 或 an am n m d 前 n 项和公式为 Sn na1 n n 1 d 2 或 Sn a1 an n 2 若 m n p q 则 存在 am an ap aq 若 m n 2p 则 am an 2ap 以上 n 均为正整数 用心 爱心 专心 2 文字翻译 第 n 项的值 首项 项数 1 公差 前 n 项的和 首项 末项 项数 2 公差 后项 前项 对对称称数数列列公公式式 对称数列的通项公式 对称数列总的项数个数 用字母s 表示 对称数列中项 用字母 C 表示 等差对称数列公差 用字母 d 表示 等比对称数列公比 用字母 q 表示 设 k s 1 2 相相关关信信息息 一一般般数数列列的的通通项项求求法法 一般有 an Sn Sn 1 n 2 累和法 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 将以上各项相加可得 an 逐商全乘法 对于后一项与前一项商中含有未知数的数列 化归法 将数列变形 使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列 特别的 在等差数列中 总有 Sn S2n Sn S3n S2n 2 S2n Sn S3n S2n Sn 即三者是等差数列 同样在等比数列中 三者成等比数列 不动点法 常用于分式的通项递推关系 特特殊殊数数列列的的通通项项的的写写法法 1 2 3 4 5 6 7 8 an n 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 an 1 n 2 4 6 8 10 12 14 an 2n 1 3 5 7 9 11 13 15 an 2n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 an 1 n 1 用心 爱心 专心 3 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 an 1 n 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 an cos n 1 2 sinn 2 9 99 999 9999 99999 an 10 n 1 1 11 111 1111 11111 an 10 n 1 9 1 4 9 16 25 36 49 an n 2 1 2 4 8 16 32 an 2 n 1 数数列列前前 N N 项项和和公公式式的的求求法法 一 1 等差数列 通项公式 an a1 n 1 d 首项 a1 公差 d an 第 n 项数 an ak n k d ak 为第 k 项数 若 a A b 构成等差数列 则 A a b 2 2 等差数列前 n 项和 设等差数列的前 n 项和为 Sn 即 Sn a1 a2 an 那么 Sn na1 n n 1 d 2 dn 2 即 n 的 2 次方 2 a1 d 2 n 还有以下的求和方法 1 不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 二 1 等比数列 通项公式 an a1 q n 1 即 q 的 n 1 次方 a1 为首项 an 为第 n 项 an a1 q n 1 am a1 q m 1 则 an am q n m 1 an am q n m 2 a G b 若构成等比中项 则 G 2 ab a b G 不等于 0 3 若 m n p q 则 am an ap aq 2 等比数列前 n 项和 设 a1 a2 a3 an 构成等比数列 前 n 项和 Sn a1 a2 a3 an Sn a1 a1 q a1 q 2 a1 q n 2 a1 q n 1 这个公式虽然是最基本公式 但 一部分题目中求前 n 项和是很难用下面那个公式推导的 这时可能要直接从基本公式推 导过去 所以