圆系方程及其应用

圆系方程及其应用圆系方程及其应用 一 常见的圆系方程有如下几种 一 常见的圆系方程有如下几种 1 1 以 以为圆心的同心圆系方程 为圆心的同心圆系方程 a b 222 0 xayb 与圆与圆 同心的圆系方程为 同心的圆系方程为 22 yx DxEy 22 yx DxEy 2 2 过直线 过直线 与圆 与圆 交点的圆系方程为 交点的圆系方程为 AxBy 22 yx DxEy 22 yx DxEy AxBy 3 3 过两圆 过两圆 0 交点的圆系方程为 交点的圆系方程为 1 C 22 yx 111 FyExD 2 C 22 yx 222 FyExD 22 yx 0 此圆系不含 此圆系不含 111 FyExD 22 yx 222 FyExD 2 C 22 yx 222 FyExD 特别地 当特别地 当 时 上述方程为根轴方程 两圆相交时 表示公共弦方程 两圆相切时 表示公切线方程 时 上述方程为根轴方程 两圆相交时 表示公共弦方程 两圆相切时 表示公切线方程 注 为了避免利用上述圆系方程时讨论圆注 为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 可等价转化为过圆 可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程 2 C 1 C 22 111121212 0 xyD xE yFDD xEEyFF 二 圆系方程在解题中的应用 二 圆系方程在解题中的应用 1 1 利用圆系方程求圆的方程 利用圆系方程求圆的方程 例例 1 1 求经过两圆求经过两圆x x2 2 y y2 2 6 6x x 4 0 4 0 和和x x2 2 y y2 2 6 6y y 28 0 28 0 的交点 并且圆心在直线的交点 并且圆心在直线x x y y 4 0 4 0 上的圆的方程 上的圆的方程 解一 求出两交点 解一 求出两交点 1 3 1 3 6 2 6 2 再用待定系数法 再用待定系数法 1 1 用一般式 用一般式 2 2 用标准式 用标准式 注 标准式中可先求圆心的两个坐标 而圆心正好在两交点的中垂线上 注 标准式中可先求圆心的两个坐标 而圆心正好在两交点的中垂线上 解二 用两点的中垂线与直线的交点得圆心 解二 用两点的中垂线与直线的交点得圆心 1 1 两交点的中垂线与直线相交 两交点的中垂线与直线相交 2 2 过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交 过圆心与公共弦垂直的直线与直线相交 3 3 两圆心连线与直线相交 两圆心连线与直线相交 解三 利用圆系方程求出圆心坐标 圆心在直线方程上 代入直线方程求解 解三 利用圆系方程求出圆心坐标 圆心在直线方程上 代入直线方程求解 例 求经过两圆例 求经过两圆 3 2 和 和 2 交点和坐标原点的圆的方程 交点和坐标原点的圆的方程 22 yx xy 22 33yx xy 解 方法解 方法 3 由题可设所求圆的方程为 由题可设所求圆的方程为 3 2 2 22 yx xy 22 33yx xy 0 0 在所求的圆上 在所求的圆上 有 有 2 从而从而 故所求的圆的方程为 故所求的圆的方程为 0 1233 2 23 2222 yxyxyxyx 即即 7 22 77yx xy 2 2 利用圆系方程求最小面积的圆的方程 利用圆系方程求最小面积的圆的方程 例例 2 2 1 1 求过两圆 求过两圆和和的交点且面积最小的圆的方程 的交点且面积最小的圆的方程 22 5xy 22 1 1 16xy 分析 本题若先联立方程求交点 再设所求圆方程 寻求各变量关系 求半径最值 虽然可行 但运算量较大 分析 本题若先联立方程求交点 再设所求圆方程 寻求各变量关系 求半径最值 虽然可行 但运算量较大 自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行 为了避免讨论 先求出两圆公共弦所在直线方程 则问题可转化为求过两自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行 为了避免讨论 先求出两圆公共弦所在直线方程 则问题可转化为求过两 圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题 圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题 解 圆解 圆和和的公共弦方程为的公共弦方程为 22 5xy 22 1 1 16xy 22110 xy 过直线过直线与圆与圆的交点的圆系方程为的交点的圆系方程为22110 xy 22 5xy 即 即 22 25 2211 0 xyxy 22 22 1125 0 xyxy 依题意 欲使所求圆面积最小 只需圆半径最小 则两圆的公共弦必为所求圆的直径 依题意 欲使所求圆面积最小 只需圆半径最小 则两圆的公共弦必为所求圆的直径 圆心圆心必在公共弦所在直线必在公共弦所在直线上 即上 即 则 则 22110 xy 22110 11 4 代回圆系方程得所求圆方程代回圆系方程得所求圆方程 22 111179 448 xy 例 例 2 求经过直线求经过直线 2 4 与圆 与圆 2 4 1 的交点且面积最小的圆的方程 的交点且面积最小的圆的方程 lxy 22 yx xy 解 设圆的方程为 解 设圆的方程为 2 4 1 2 2 4 22 yx xy xy 即即 1 4 则 则 22 yx yx 4 1 2 5 4 5 8 4 5 41 4 4 1 4 4 1 2222 r 当当 时 时 最小 从而圆的面积最小 故所求圆的方程为 最小 从而圆的面积最小 故所求圆的方程为 26 12 37 5 8 2 r 22 55yx xy 练习 练习 1 1 求经过圆 求经过圆x x2 2 y y2 2 8 8x x 6 6y y 21 0 21 0 与直线与直线x x y y 7 0 7 0 的两个交点且过原点的圆的方程 常数项为零 的两个交点且过原点的圆的方程 常数项为零 2 2 求经过圆 求经过圆x x2 2 y y2 2 8 8x x 6 6y y 21 0 21 0 与直线与直线x x y y 5 0 5 0 的两个交点且圆心在的两个交点且圆心在x x轴上的圆的方程 圆心的纵坐标为零 轴上的圆的方程 圆心的纵坐标为零 3 3 求经过圆 求经过圆x x2 2 y y2 2 8 8x x 6 6y y 21 0 21 0 与直线与直线x x y y 5 0 5 0 的两个交点且面积最小的圆方程 半径最小或圆心在直线上 的两个交点且面积最小的圆方程 半径最小或圆心在直线上 4 4 求经过圆 求经过圆x x2 2 y y2 2 8 8x x 6 6y y 21 0 21 0 与直线与直线x x y y 5 0 5 0 的两个交点且与的两个交点且与x x轴相切的圆的方程 并求出切点坐标 圆心到轴相切的圆的方程 并求出切点坐标 圆心到x x 轴的距离等于半径 轴的距离等于半径 3 3 利用圆系方程求参数的值 利用圆系方程求参数的值 例例 3 3 已知圆 已知圆与直线与直线相交于相交于 P P Q Q 两点 两点 O O 为坐标原点 若为坐标原点 若 求实数 求实数 22 60 xyxym 230 xy OPOQ m m 的值 的值 分析 此题最易想到设出分析 此题最易想到设出 由 由得到得到 利用设而不求的思想 联立方程 利用设而不求的思想 联立方程 1122 P x yQ xyOPOQ 1212 0 x xy y 由根与系数关系得出关于由根与系数关系得出关于 m m 的方程 最后验证得解 倘若充分挖掘本题的几何关系的方程 最后验证得解 倘若充分挖掘本题的几何关系 不难得出 不难得出 O O 在以在以 PQPQ 为为OPOQ 直径的圆上 而直径的圆上 而 P P Q Q 刚好为直线与圆的交点 选取过直线与圆交点的圆系方程 可极大地简化运算过程 刚好为直线与圆的交点 选取过直线与圆交点的圆系方程 可极大地简化运算过程 解 过直线解 过直线与圆与圆的交点的圆系方程为 的交点的圆系方程为 230 xy 22 60 xyxym 即 即 22 6 23 0 xyxymxy 22 1 2 3 30 xyxym 依题意 依题意 O O 在以在以 PQPQ 为直径的圆上 则圆心为直径的圆上 则圆心显然在直线显然在直线上 则上 则 1 3 2 230 xy 1 2 3 30 2 解之可得解之可得又又满足方程满足方程 则 则 故 故 1 0 0 O30m 3m 4 利用圆系方程判断直线与圆的位置关系 利用圆系方程判断直线与圆的位置关系 例例 4 圆系圆系 2 4 10 10 20 中 任意两个圆的位置关系如何 中 任意两个圆的位置关系如何 22 yx kxkykk k 解 圆系方程可化为 解 圆系方程可化为 10 20 2 4 10 22 yx ykxy 与与无关无关 即即k 02010 01042 22 yyx yx 5 5 052 22 yx yx 易知圆心 易知圆心 到直线 到直线 2 5 的距离恰等于圆 的距离恰等于圆 的半径 故直线 的半径 故直线 2 5 与 与xy 22 5 yxxy 圆圆 相切 即上述方程组有且只有一个解 从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点 相切 即