江阴市长寿中学2016届九年级下第一次月考数学试卷含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2015年江苏省无锡市江阴市长寿中学九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用 2 1 16 的算术平方根等于（ ） A 4 B 4 C 4 D 2下列运算正确的是（ ） A（ 3= C a6a2=（ a+b） 2=a2+若一个正多边形的一个外角是 45，则这个正多边形的边数是（ ） A 10 B 9 C 8 D 6 4一圆的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则该直线与圆的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D以上都不对 5等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 3，则它的周长为（ ） A 11 B 10 C 10 或 11 D以上都不对 6矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A对边分别相等 B对角分别相等 C对角线互相平分 D对角线相等 7一组数据 2， 7， 6， 3， 4， 7 的众数和 中位数分别是（ ） A 7 和 4 和 6 C 7 和 4 D 7 和 5 8抛物线 y= x+3 的顶点坐标是（ ） A（ 1， 4） B（ 1， 3） C（ 1， 3） D（ 1， 4） 9如图，平面直角坐标系中， 顶点坐标分别是 A（ 3， 1）， B（ 1， 1）， C（2， 2），当直线 y x+b 与 公共点时， b 的取值范围是（ ） A 1b B 1b1 C b1 D b 10如图， P 在第一象限，半径为 3动点 A 沿着 P 运动一周，在点 A 运动的同时，作点 A 关于原点 O 的对称点 B，再以 边作等边三角形 C 在第二象限，点 运动所形成的图形的面积为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B 27 C D 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11分解因式： 9b= 12太阳的半径约为 696000000 米，用科学记数法表示为 米 13函数 中，自变量 x 的取值范围是 14写出一个大于 3 且小于 4 的无理数 15如图中的 A 的正切值为 16一几何体的三视图如图，其中正视图与左视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的侧面积为 17如图，直角三角形 置在平面直角坐标系中，已知斜边 x 轴正半轴上，且， ，将该三角形绕着点 O 逆时针旋转 120后点 B 的对应点恰 好落在一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为 第 3 页（共 23 页） 18如图，正六边形 边长为 2，两顶点 A、 B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，则顶点 D 到原点 O 的距离的最大值和最小值的乘积为 三、解答题（本大题共 10小题，共 84分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 1）计算： 2（ ） 1+| 2|+（ 1） 0； （ 2）化简： 20（ 1）解方程： = 2； （ 2）求不等式组 的解集 21如图，在 ， D 是 上的一点， E 是 中点，过 A 点作 平行线交延长线于点 F，且 D，连接 （ 1）求证： D； （ 2）如果 C，试判断四边形 形状，并证明你的结论 22 2014 年 3 月 28 日是全国中小学安全教育日，为了让学生了解安全知识，增强安全意识，某校举行了一次 “安全知识竞赛 ”为了了解这次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩为样本，绘制了下列统计图（说明： A 级： 90 分 100 分； B 级： 75 分 89 分； 60 分 74 分； D 级： 60 分以下）请结合图中提供的信息，解答下列问题： 第 4 页（共 23 页） （ 1）扇形统计图中 C 级所在的扇形的圆心角度数是 ； （ 2）请把条形统计图补充完整； （ 3）若该校共有 2000 名学生，请你用此样本估计安全知识竞赛中 A 级和 B 级的学生共约有多少人？ 23在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示 “通过 ”（用 表示）或 “淘汰 ”（用 表示）的评定结果，节目组规定： 每位选手至少获得两位评委的 “通过 ”才能晋级 （ 1）请用树形图列举出选手 A 获得三位评委评定的各种可能的结果； （ 2）求选手 A 晋级的概率 24如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道 决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥 小道上测得如下数据： 0 米， 5， 0请求出小桥 长 25如图，抛物线 y=4a 的对称轴为直线 x= ，与 x 轴交 于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 4） （ 1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当 0x4 时 y 的取值范围； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，点 D 关于直线 对称点为点 E，求点 E 的坐标 26为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少 3 万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为 625 万元，乙种套房费用为 700 万元 （ 1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ 第 5 页（共 23 页） （ 2）如 果需要甲、乙两种套房共 80 套，市政府筹资金不少于 2090 万元，但不超过 2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ （ 3）在（ 2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高 a 万元（ a 0），市政府如何确定方案才能使费用最少？ 27小刚和小强相约晨练跑步，小刚比小强早 1 分钟离开家门， 3 分钟后迎面遇到从家跑来的小强两人同路并行跑了 2 分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小刚的速度始终是 180米 /分，小强 的速度始终是 220 米 /分下图是两人之间的距离 y（米）与小刚离开家的时间x（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题： （ 1）两人相遇之前，小刚的速度是 米 /分，小强的速度是 米 /分； （ 2）求两人比赛过程中 y 与 x 之间的函数关系式； （ 3）若比赛开始 10 分钟后，小强按原路以比赛时的速度返回，则再经过多少分钟两人相遇？ 28如图，在矩形 ， AD=AB=a b 4），半径为 2 O 在矩形内且与 相切，现有动点 P 从 A 点出发，在矩形边上沿着 ABCD 的方向匀速移动，当点 P 到达 D 点时停止移动 O 在矩形内部沿 右匀速平移，移动到与 O 回到出发时的位置（即再次与 切）时停止移动，已知点 P 与 O 同时开始移动，同时停止移动（即同时到达各自的终止位置） （ 1）如图 ，点 P 从 ABCD，全程共移动了 含 a、 b 的代数式表示）； （ 2）如图 ，已知点 P 从 A 点出发，移动 2s 到达 B 点，继续移动 3s，到达 中点，若点 P 与 O 的移动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 移动的距离； （ 3）如图 ，已知 a=20， b=10，是否存在如下情形：当 O 到达 时圆心 D 上）， 好相切？请说明理由 第 6 页（共 23 页） 2015年江苏省无锡市江阴市长寿中学九年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用 2 1 16 的算术平方根 等于（ ） A 4 B 4 C 4 D 【考点】 算术平方根 【分析】 根据乘方运算与开方运算互为逆运算，可得一个数的算术平方根 【解答】 解： 42=16， =4， 故选： C 2下列运算正确的是（ ） A（ 3= C a6a2=（ a+b） 2=a2+考点】 完全平方公式；幂的乘方与积的乘 方；同底数幂的除法；分式的基本性质 【分析】 分别根据完全平方公式以及积的乘方和同底数幂的乘法运算公式求出即可 【解答】 解： A、（ 3=此选项错误； B、 = = 1，故此选项正确； C、 a6a2=此选项错误； D、（ a+b） 2=a2+此选项错误 故选： B 3若一个正多边形的一个外角是 45，则这个正多边形的边数是（ ） A 10 B 9 C 8 D 6 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 根据多边形的外角和定理作答 【解答】 解： 多边形外角和 =360， 这个正多边形的边数是 360 45=8 故选 C 4一圆的半径为 3，圆心到直线的距离为 4，则该直线与圆的位置关系是（ ） A相切 B相交 C相离 D以上都不对 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 先确定出 d 和 r 的大小，然后根据 d 和 r 的大小关系进行判断即可 【解答】 解： 由题意可知 d=4， r=3， d r 直线与圆相离 第 7 页（共 23 页） 故选； C 5等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 3，则它的周长为（ ） A 11 B 10 C 10 或 11 D以上都不对 【考点】 等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】 分 3 是腰长和底边两种情况讨论求解 【解答】 解： 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、 3、 4， 能组成三角形， 它的周长 =3+3+4=10， 3 是底边时，三角形的三边分别为 3、 4、 4， 能组成三角形， 它的周长 =3+4+4=11， 综上所述，它的周长等于 10 或 11 故选 C 6矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A对边分别相等 B对角分别相等 C对角线 互相平分 D对角线相等 【考点】 矩形的性质；菱形的性质 【分析】 举出矩形和菱形的所有性质，找出矩形具有而菱形不具有的性质即可 【解答】 解：矩形的性质有： 矩形的对边相等且平行， 矩形的对角相等，且都是直角，矩形的对角线互相平分、相等； 菱形的性质有： 菱形的四条边都相等，且对边平行， 菱形的对角相等， 菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角； 矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选 D 7一组数据 2， 7， 6， 3， 4， 7 的众数和中位数分别是（ ） A 7 和 4 和 6 C 7 和 4 D 7 和 5 【考点】 众数；中位数 【分析】 根据众数和中位数的概念求解 【解答】 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为： 2， 3， 4， 6， 7， 7， 则众数为： 7， 中位数为： =5 故选 D 8抛物线 y= x+3 的顶点坐标是（ ） A（ 1， 4） B（ 1， 3） C（ 1， 3） D（ 1， 4） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶 点坐标 【解答】 解： y= x+3=（ 2x+1） +1+3=（ x 1） 2+4， 抛物线 y= x+3 的顶点坐标是（ 1， 4） 第 8 页（共 23 页） 故选 D 9如图，平面直角坐标系中， 顶点坐标分别是 A（ 3， 1）， B（ 1， 1）， C（2， 2），当直线 y x+b 与 公共点时， b 的取值范围是（ ） A 1b B 1b1 C b1 D b 【考点】 一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 将 A（ 3， 1）， B（ 1， 1）， C（ 2， 2）的坐标分别代入直线 y x+b 中求得 b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到 b 的取值范围 【解答】 解：将 A（ 3， 1）代入直线 y x+b 中，可得 +b=1，解得 b= ； 将 B（ 1， 1）代入直线 y x+b 中，可得 +b=1，解得 b= ； 将 C（ 2， 2）代入直线 y x+b 中，可得 1+b=2，解得 b=1 故 b 的取值范围是 b1 故选 B 10如图， P 在第一象限，半径为 3动点 A 沿着 P 运动一周，在点 A 运动的同时，作点 A 关于原点 O 的对称点 B，再以 边作等边三角形 C 在第二象限，点 运动所形成的图形的面积为（ ） A B 27 C D 【考点】 轨迹 【分析】 如图所示，点 C 随 A 运动所形成的图形为圆，根据等边三角形的性质求出 长，即为圆的直径，求出圆的面积即可 【解答】 解：如图所示，点 C 随 A 运动所形成的图形为圆，可得 （ = 6 ， 第 9 页（共 23 页） 点 C 随点 A 运动所形成的圆的面积为 （ 3 ） 2=27， 故选 B 二、填空题（本大题共 8小题，每小题 2分，共 16分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11分解因式： 9b= b（ 3a+1）（ 3a 1） 【考点】 提公因式 法与公式法的综合运用 【分析】 首先提取公因式 b，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】 解：原式 =b（ 91） =b（ 3a+1）（ 3a 1） 故答案为： b（ 3a+1）（ 3a 1） 12太阳的半径约为 696000000 米，用科学记数法表示为 08 米 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时， n 是 正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解： 696 000 000=08， 故答案为： 08 13函数 中，自变量 x 的取值范围是 x3 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据二次根式 有意义的条件是 a0，即可求解 【解答】 解：根据题意得： x 30， 解得： x3 故答案是： x3 14写出一个大于 3 且小于 4 的无理数 （答案不唯一） 【考点】 无理数 【分析】 根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于 故 符合题意 【解答】 解： 3 4， 故答案为： （答案不唯一） 第 10 页（共 23 页） 15如图中的 A 的正切值为 【考点】 圆周角定理；锐角三角函数的定义 【分析】 连接 据勾股定理求出 据三角形的面积公式求出 相似，求出直角三角形求出即可 【解答】 解： 连接 在 ， 0， ， ， 由勾股定理得： =5， 由三角形面积公式得： 43= 5 ， 直径， 0， = ， = ， ， A= = ， 故答案为： 第 11 页（共 23 页） 16一几何体的三视图如图，其中正视图与左视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的侧面积为 65 【考点】 圆锥的计算；由三视图判断几何体 【分析】 先根据三视图得该几何体为圆锥，且圆锥的高为 12，底面圆的直径为 10，根据勾股定理得圆锥的母线长为 13，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积 公式求解 【解答】 解：根据题意得该几何体为圆锥，圆锥的高为 12，底面圆的直径为 10， 即底面圆的半径为 5， 所以圆锥的母线长 = =13， 所以圆锥的侧面积 = 1325=65 故答案为： 65 17如图，直角三角形 置在平面直角坐标系中，已知斜边 x 轴正半轴上，且， ，将该三角形绕着点 O 逆时针旋转 120后点 B 的对应点恰好落在一反比例函数图象上，则该反比例函 数的解析式为 y= 【考点】 坐标与图形变化 比例函数图象上点的坐标特征 【分析】 在 ，根据勾股定理计算出 ，利用正弦的定义得 ，则 0，设该三角形绕着点 O 逆时针旋转 120后点 B 的对应点为 B，根据旋转的性质得 120，则 x 轴的负半轴的夹角为 30，且 ，作 BH 中，根据含 30度的直角三角形三边的关系得 BH= ， BH=3，第 12 页（共 23 页） 所以 B点的坐标为（ 3， ），设点 B所落在的反比例函数解析式为 y= ，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 k 3 ，从而得到该反比例函数的解析式为 y= 【解答】 解：在 ， ， ， =2 ， = ， 0， 设该三角形绕着点 O 逆时针旋转 120后点 B 的对应点为 B， x 轴的负半轴的夹角为 30， ， 作 BH x 轴， 在 中， BH= ， BH=3， B点的坐标为（ 3， ）， 设点 B所落在的反比例函数解析式为 y= ， k= 3 = 3 该反比例函数的解析式为 y= 故答案为： 18如图，正六边形 边长为 2，两顶点 A、 B 分别在 x 轴和 y 轴上运动，则顶点 D 到原点 O 的距离的最大值和最小值的乘积为 12 【考点】 正多边形和圆；坐标与图形性质 【分析】 根据已知得出 D 点的两个特殊位置，进而求出即可 【解答】 解：当 O、 D、 点共线时， 最大值和最小值， 如图， ， ， = ， K=1， 第 13 页（共 23 页） 最大值为： 1+ ， 同理，把图象沿 翻折 180得最小值为： 1+ 12= 1， 顶点 D 到原点 O 的距离的最大值和最小值的乘积为：（ +1）（ 1） =12 故答案为： 12 三、解答题（本大题共 10小题，共 84分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 1）计算： 2（ ） 1+| 2|+（ 1） 0； （ 2）化简： 【考点】 实数的运算；分式的加减法；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 （ 1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； （ 2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 =3 6+2+1=0； （ 2）原式 = = = 20（ 1）解方程： = 2； （ 2）求不等式组 的解集 【考点】 解分式方程；解一元一次不等式组 【分析】 （ 1）分式方 程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （ 2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出不等式组的解集 【解答】 解：（ 1）去分母得： 1+6 x= 2x+6， 解得： x= 1， 经检验： x= 1 为原方程的解； （ 2） ， 第 14 页（共 23 页） 解不等式 得： x 1； 解不等式 得： x 2， 所以不等式组的解集为 2x 1 21如图，在 ， D 是 上的一点， E 是 中点，过 A 点作 平行线交延长线于点 F，且 D，连接 （ 1）求证： D； （ 2）如果 C，试判断四边形 形状，并证明你的结论 【考点】 矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）先由 用平行线的性质可证 E 是 点，那么 E， 用 证 么有 C，又 D，从而有 D； （ 2）四边形 矩形由于 行等于 得四边形 平行四边形，又C， D，利用等腰三角形三线合一定理，可知 0，那么可证四边形 矩形 【解答】 证明： （ 1） E 是 中点， E， ， C， D， D； （ 2）四边形 矩形 理由： C， D 是 中点， 0 D， 过 A 点作 平行线交 延长线于点 F，即 四边形 平行四边形， 又 0， 四边形 矩形 第 15 页（共 23 页） 22 2014 年 3 月 28 日是全国中小学安全教育日，为了让学生了解安全知识，增强安全意识，某校举行了一次 “安全知识竞赛 ”为了了解这次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩为样本，绘制了下列统计图（说明： A 级： 90 分 100 分； B 级： 75 分 89 分； 60 分 74 分； D 级： 60 分以下）请结合 图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）扇形统计图中 C 级所在的扇形的圆心角度数是 36 ； （ 2）请把条形统计图补充完整； （ 3）若该校共有 2000 名学生，请你用此样本估计安全知识竞赛中 A 级和 B 级的学生共约有多少人？ 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）圆心角的度数 =360该部分所占百分比； （ 2）先求出总人数，再减去 A、 B、 D 人数即可得到 C 人数； （ 3）全校学生数 安全知识竞赛中 A 级和 B 级的学生所占百分比 【解答】 解：（ 1） C 级的学生百分比为 10100=10%； 扇形统计图中 C 级所在的扇形的圆心角度数是 360 10%=36； （ 2）抽样总人数为 4949%=100 人， C 级的学生数为 100 49 36 5=10 人； （ 3）安全知识竞赛中 A 级和 B 级的学生数为 2000（ 49%+36%） =1700 人 第 16 页（共 23 页） 23在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示 “通过 ”（用 表示）或 “淘汰 ”（用 表示）的评定结果，节目组规定：每位 选手至少获得两位评委的 “通过 ”才能晋级 （ 1）请用树形图列举出选手 A 获得三位评委评定的各种可能的结果； （ 2）求选手 A 晋级的概率 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 （ 1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果； （ 2）列举出所有情况，让至少有两位评委给出 “通过 ”的结论的情况数除以总情况数即为所求的概率 【解答】 解：（ 1）画出树状图来说明评委给出 A 选手的所有可能结果： ； （ 2） 由上可知评委给出 A 选手所有可能的结果有 8 种并 且它们是等可能的，对于 A 选手，晋级的可能有 4 种情况， 对于 A 选手，晋级的概率是： 24如图，湖中有一小岛，湖边有一条笔直的观光小道 决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥 小道上测得如下数据： 0 米， 5， 0请求出小桥 长 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 设 PD=x 米，根据锐角三角函数的概念用 x 表示出 长，根据题意列式计 算即可得到答案 【解答】 解：设 PD=x 米， 0 在 ， ， =x， 第 17 页（共 23 页） 在 ， ， = = x， 又 0 米， x+ x=60， 解得： x=30 30 答：小桥 长度约为 30 30 25如图，抛物线 y=4a 的对称轴为直线 x= ，与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C（ 0， 4） （ 1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当 0x4 时 y 的取值范围； （ 2）已知点 D（ m， m+1）在第一象限的抛物线上，点 D 关于直线 对称点为点 E，求点 E 的坐标 【考点】 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 （ 1）把 C（ 0， 4）代入 y=4a 得出 a= 1，由对称轴得出 b=3，即可得出抛物线的解析式；结合图象容易得出当 0x4 时 y 的取值范围； （ 2）把点 D（ m， m+1）代入抛物线解析式，求出 m 的值；由题意得出 ，再证明 等腰直 角三角形，得出 5，得出点 E 在 y 轴上， ，即可得出点 E 的坐标 【解答】 解：（ 1）将 C（ 0， 4）代入 y=4a 中得 a= 1 又 对称轴为直线 x= ， ，得 b=3 抛物线的解析式为 y= x+4， y= x+4=（ x ） 2+ 顶点坐标为：（ ， ）， 当 0x4 时 y 的取值范围是 0y （ 2） 点 D（ m， m+1）在抛物线上， m+1= m+4， 第 18 页（共 23 页） 解得： m= 1，或 m=3； 点 D 在第一象限， 点 D 的坐标为（ 3， 4） 又 C（ 0， 4）， 当 y= x+4=0 时， 解得： x= 1，或 x=4， B（ 4， 0）； 当 x=0 时， y=4， C（ 0， 4）， C=4， 5， 点 E 在 y 轴上，且 D=3， 即点 E 的坐标为（ 0， 1） 26为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少 3 万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为 625 万元，乙种套房费用为 700 万元 （ 1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？ （ 2）如果需要甲、乙两种套房共 80 套，市政府筹 资金不少于 2090 万元，但不超过 2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？ （ 3）在（ 2）的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高 a 万元（ a 0），市政府如何确定方案才能使费用最少？ 【考点】 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用 【分析】 （ 1）设甲种套房每套提升费用为 x 万元，根据题意建立方程求出其解即可； （ 2）设甲种套房提升 m 套，那么乙种套房提升（ 80 m）套，根据条件建 立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与 m 之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论； （ 3）根据（ 2）表示出 W 与 m 之间的关系式，由一次函数的性质分类讨论就可以得出结论 【解答】 （ 1）设甲种套房每套提升费用为 x 万元，依题意， 得 解得： x=25 经检验： x=25 符合题意， x+3=28 第 19 页（共 23 页） 答：甲，乙两种套房每套提升费用分别为 25 万元， 28 万元 （ 2）设甲种套房提升 m 套，那么乙种套房提升（ 80 m）套，依题意，得 解得： 48m50 即 m=48 或 49 或 50，所以有三种方案分别是： 方案一：甲种套房提升 48 套，乙种套房提升 32 套 方案二：甲种套房提升 49 套，乙种套房提升 31 套， 方案三：甲种套房提升 50 套，乙种套房提升 30 套 设提升两种套房所需要的费用为 W 元则 W=25m+28（ 80 m） = 3m+2240， k= 3 0， W 随 m 的增大而减小， 当 m=50 时， W 最少 =2090 元，即第三种方案费用最少 （ 3）在（ 2）的基础上有： W=（ 25+a） m+28（ 80 m） =（ a 3） m+2240 当 a=3 时，三种方案的费用一样，都是 2240 万元 当 a 3 时， k=a 3 0， W 随 m 的增大而增大， m=48 时，费用 W 最小 当 0 a 3 时， k=a 3 0， W 随 m 的增大而减小， m=50 时， W 最小，费用最省 27小刚和小强相约晨练跑步，小刚比小强早 1 分钟离开家门， 3 分钟后迎面遇到从家跑来的小强两人同路并行跑了 2 分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小刚的速度始终是 180米 /分，小强的速度始终是 220 米 /分下图是两人之间的距离 y（米）与小刚离开家的时间x（分钟 ）之间的函数图象，根据图象回答下列问题： （ 1）两人相遇之前，小刚的速度是 100 米 /分，小强的速度是 120 米 /分； （ 2）求两人比赛过程中 y 与 x 之间的函数关系式； （ 3）若比赛开始 10 分钟后，小强按原路以比赛时的速度返回，则再经过多少分钟两人相遇？ 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）由图象可以看出， 0 1，小刚的速度可由距离减小量除以时间求得， 1 3，根据等量关系 “距离减小量 =小刚跑过的路程 +小强跑过的路程 ”可得出小强的 速度； 第 20 页（共 23 页） （ 2）根据小刚的速度始终是 180 米 /分，小强的速度始终是 220 米 /分，则他们的速度之差是 40 米 /分，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=40x+b将（ 5， 0）代入得 b= 200，所以 y=40x 200 （ 3）先由 y 与 x 之间的函数关系式算出 15 分钟后（由于图象是小刚出家门开始计时的）两人之间的距离，再根据等量关系 “相遇时小刚跑过的距离 +小强跑过的距离 =二人之间的距离 ”列出方程求解即可 【解答】 解：（ 1）小刚比赛前的速度： =100（米 /分）， 小 强比赛前的速度，由 2（ v1+=440，得 20 米 /分 故答案为： 100， 120； （ 2） 小刚的速度始终是 180 米 /分，小强的速度始终是 220 米 /分， 他们的速度之差是 40 米 /分， 设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=40x+b 将（ 5， 0）代入得 b=