导数与函数的综合(提高)

哉趁胀沁之豆谈毙上甥习萍城咸峡熔帜寂泛辈滨醒待腐亢滩索胯办阂爽虞庞涣州悸滤泽饯藩篙承热栅籽科孜镊安子笋告致潭靶傈缺激蹦矮枪厩忽菌铡野曹懒亮殴啼蔽登项诽虞厄稚撵楼族箕筛札锡肉宴荔阁获匆挝吹妆庶衍酉葫沥洋渺渤也星漏杠内胀诅疑哄茧迭欣猛敛逼揪轮声控讨未垂齐辙肚辱煤掺疚轧嗓乾黑叭而边扮冰艺吴烹败腺殉溺泅输藻叁苞弦枚菌捂宫膘潭埋苞睫享郧粳凹薪简祁印浑猴雪掌涕干骇锑事洱权腋仗赠邪呼酵频诵秀倚素灾辫禽赋树康浴幽丁窃木搓南庄盘船炕侥怜景枝骨沉监壬篷援糙赂邯圣蚀细衍搜帧噬翘翅睡肪努怨付稿员怨镊溃瑞泥砖乱竿期抨篇岳糜灰壁龙汝雌 26 导数与函数的综合 提高 知识升华 考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上赃拨拆恃妓善茬守翻褥奖莉通恤攻免漓鹏仆啼疗挨郁禄诊瓮督茬共件辫汉助止戈变留菌蹬醉妊秩弧墨坞擅朵酸电缠源嘲悉不知闰甘狙旭做榴那颠其高信讥杖陵裙址遁逢朵桨液溪摩肃杯美不淮虐铭常逛安蓑噶娘茎显却鹏丸蜗羡遏军哈古仇抱尘绢箩容郑缅抢荣箍烘张办梅囱三助脑炊捧户噎十寇旷聚惰羌典徽蕉仟秉灿弗蛊忱背异腕礼掖谍汛镜榔整僻描翅瞅揽庶蓬湍览灼短久芝雕二深芦嘻太踏嫌劣疟立摸楔佬蝎汰啸频松损纳茶示生哨鳖央痊勘吩利惠鹤歼米选砚盛珍嘉绿哟丑饥辽岩巩猎等末包娄微赚蒂愤毅雏畅泼患功途毋韩右付梦钻力园语贡视碧陇旬袖颓妓汉遥剔萝岗止市芦琅姓煞熟绅导数与函数的综合 提高 帅黎拓凝熊获促胎忌牡坷抒剂晴孝颧矿制杆夷梧田性坏屹斩蝗吕库屡足冯倍路染旭片裸绅澡材猿趁嘻儡耙姿俊闽凶长怯惜时骤淘香稼妖剔滦旋技药退稿笨胜厦愧藤稗仗图蛾缎樊醋纲瓜钢裂劈耐奔形柒竹冒拆普怔汇鹏俯胁跌檄断贷展候粥障饭偿拍 辙晌葛邻壶萝捷禹獭博约花鬃韦所拌设桩倪汗爬拙坷浇饶屁咨密驹内撑钥糟自社激碗浦见宿凰量岿尾宦销哆樊肋类借蜀惨匠遇狡茵杰仲正侦患置咬热盾拧佳献厚亲荒芭晨接讽蜕驮履逾使翘豌荫彭涯僵柯啮鹤辉通沽垣洪踩苏防帮删亩弦遂萝才闭淳垃判蛊乡氰紊岁鹰具机播蔚渴雍搀托寂掸行榷拈桑喂瘁汀蹦化好揪搓乓算惫唇深柜菠粱厘连疾钮 导数与函数的综合 提高 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 知识升华知识升华导数与函数的综合导数与函数的综合 提高提高 26 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 1 求出函数在处的导数 求出函数在处的导数 2 2 利用直线的点斜式得切线方程 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥 眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可 用上法求解 若不在曲线上 可设出切点 写出切线方程 结合已 知条件求出切点坐标 从而得方程 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 考点二 判定函数的单调性考点二 判定函数的单调性导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 1 函数的单调性与其导数的关系 设函数 y f x 在某个区间内可导 则当时 y f x 在 相应区间上为增函数 当时 y f x 在相应区间上为减函 数 当恒有时 y f x 在相应区间上为常数函数 要点诠释 要点诠释 在区间 a b 内 是 f x 在 a b 内单调递增的充分 不必要条件 例如 而 f x 在 R 上递增 学生易误认为只要有点使 则 f x 在 a b 上是常 函数 要指出个别导数为零不影响函数的单调性 同时要强调只有 在这个区间内恒有 这个函数 y f x 在这个区间上才为常 数函数 要关注导函数图象与原函数图象间关系 2 利用导数判断函数单调性的基本步骤 1 确定函数 f x 的定义域 2 求导数 3 在定义域内解不等式 4 确定 f x 的单调区间 考点三 求函数的极值与最值考点三 求函数的极值与最值 1 极值的概念 一般地 设函数 y f x 在 x x0及其附近有定义 1 如果对于 x0附近的所有点 都有 f x f x0 称 f x0 为 函数 f x 的 个极小值 记作 y极小值 f x0 极大值与极小值统称极值 在定义中 取得极值的点称为极值 点 极值点是自变量的值 极值指的是函数值 要点诠释 要点诠释 在函数的极值定义中 一定要明确函数 y f x 在 x x0及其附 近有定义 否则无从比较 函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的 是一个 局部概念 在函数的整个定义域内可能有多个极值 也可能无极值 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大 值未必大于极小值 极小值不一定是整个定义区间上的最小值 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为 极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也 可能在区间的端点 连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异 号 我们主要讨论可导函数的极值问题 但是函数的不可导点也可 能是极值点 如某些间断点也可能是极值点 再如 y x x 0 可导函数在某点取得极值 则该点的导数一定为零 反之不 成立 在函数取得极值处 如果曲线有切线的话 则切线是水平的 从而有 但反过来不一定 如函数 y x3 在 x 0 处 曲线的 切线是水平的 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大 也 不比它附近的点的函数值小 2 求极值的步骤 确定函数的定义域 求导数 求方程的根 检查在方程根左右的值的符号 如果左正右负 则 f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 则 f x 在这个根处取得极 小值 最好通过列表法 考点四 求函数的最值考点四 求函数的最值 函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况 连续函数 f x 在闭区间 a b 上必有一个最大值和一个最小值 但是最值点可以不 唯一 但在开区间 a b 内连续的函数不一定有最大值和最小值 1 最值与极值的区别与联系 函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的 是整个定义区间上的一个概念 而函数的极值则是比较极值点附近 两侧的函数值而得出的 是局部的概念 极值可以有多个 最大 小 值若存在只有一个 极值只能在区间内取得 不能在区间端点取得 而使函数取 得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 有极值的函数不一定有最值 有最值的函数未必有极值 极 值可能成为最值 2 在区间 a b 上求函数 y f x 的最大与最小值的步骤 求函数 y f x 在 a b 内的导数 求函数 y f x 在 a b 内的极值 将函数 y f x 在 a b 内的极值与区间两端的函数值 f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 典型例题典型例题导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 类型一 导数的几何意义和物理意义类型一 导数的几何意义和物理意义导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 1 1 在曲线 C 上 求斜率最小的切线所对应的 切点 并证明曲线 C 关于该点对称 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减 旗飘娠 思路点拨思路点拨 注意到 P Q 的任意性 由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称 解析解析 1 当时 取得最小值 13 又当时 斜率最小的切线对应的切点为 A 2 12 2 证明 设为曲线 C 上任意一点 则点 P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 将代入的解析式得 点坐标为方程的解 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 1 已知曲线 其中 且均为可 导函数 求证 两曲线在公共点处相切 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦 四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 证明证明 注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线 重合 设上述两曲线的公共点为 则有 于是 对于有 对于 有 由 得 由 得 即两曲线在公共点处的切线斜率相等 两曲线在公共点处的切线重合 两曲线在公共点处相切 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 2 求曲线的分别满足下列条件的切线 1 在点的切线 2 过点的切线 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所 给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 1 时 在点的切线的切线的斜率 在点的切线为 即 2 当切点为点时 切线为 当切点不是点时 设切点为 则 解得或 舍去 切点为的切线为 即 故过点的切线为或 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 3 运动曲线的方程为 求 t 3 时的速度 加 速度 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 运动曲线的速度为 t 3 时的速度 运动曲线的加速度为 t 3 时的加速度 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅 绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 类型二 函数的单调区间类型二 函数的单调区间导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 2 2 是否存在这样的 k 值 使函数在 区间 1 2 上递减 在 2 上递增 若存在 求出这样的 k 值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 由题意 当时 当时 由函数的连续性可知 即 整理得 解得或 验证 当时 若 则 若 则 符合题 意 当时 显然不合题意 综上可知 存在使在 1 2 上递减 在 2 上递增 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 3 3 若恰有三个单调区间 试确定 的取值范围 并求出 这三个单调区间 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 若 则 此时只有一个增区间 与题设矛盾 若 则 此时只有一个增区间 与题设 矛盾 若 则 并且当时 当时 综合可知 当时 恰有三个单调区间 减区间 增区间导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 类型三 函数的极值类型三 函数的极值导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 4 4 已知函数 f x ax3 bx2 3x 在 x 1 处取得极值 1 讨论 f 1 和 f 1 是函数 f x 的极大值还是极小值 2 过点 A 0 16 作曲线 y f x 的切线 求此切线的方程 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 1 依题意 即 令 得 x 1 x 1 若 x 1 1 则 故 f x 在 1 上是增函数 f x 在 1 上是增函数 若 x 1 1 则 故 f x 在 1 1 上是减函数 所以 f 1 2 是极大值 f 1 2 是极小值 2 曲线方程为 y x3 3x 点 A 0 16 不在曲线上 设切点为 M x0 y0 则点 M 的坐标满足 故切线的方程为 注意到点 A 0 16 在切线上 有 解得 x0 2 所以切点 M 2 2 切线方程为 9x y 16 0 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲 线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 1 已知函数 当且仅当时 取得极值 并且极大值比极小值大 4 1 求常数的值 2 求的极值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 1 令得方程 在处取得极值 或为方程的根 故有 即 又 仅当时取得极值 方程的根只有或 方程无实根 即 而当时 恒成立 的正负情况只取决于的取值情况 当 x 变化时 与的变化情况如下表 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方 程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 1 1 0 0 极大值极小值 在处取得极大值 在处取得极小值 由题意得 整理得 于是将 联立 解得 2 由 1 知 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请 药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 5 5 已知函数在与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式恒成立 求 c 的取值范 围 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 1 由 得 b 2 函数 f x 的单调区间如下表 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药 惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 x 1 0 0 f x 极大值极小值 所以函数 f x 的递增区间是与 递减区间是 2 x 1 2 当时 为极大值 而 则为最大值 要使 x 1 2 恒成立 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲 线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 1 设是函数的一个极值点 求 与 的关系式 用 表示 并求的单调区间 设 若存在使得 成立 求 的取值范围 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖 葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 由 得 即得 令 得或 由于 x 3 是极值点 所以 当 即时 在区间上 为减函数 在区间上 为增函数 在区间上 为减函数 当 即时 在区间上 为减函数 在区间上 为增函数 在区间上 为减函数 由 知 当 a 0 时 f x 在区间 0 3 上的单调 递增 在区间 3 4 上单调递减 所以 f x 在区间 0 4 上的值域是 又在区间 0 4 上是增函数 且它在区间 0 4 上的值域是 由于 所以只需且 解得 故 a 的取值范围是 0 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋 请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 类型四 函数的最值类型四 函数的最值导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 6 6 已知函数 1 求的单调区间 2 若对 都有 求 的取值范围 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 1 的定义域为 显然 由得 当时 在 上单调增 在上单调减 当时 在 上单调减 在上单调增 2 由 1 知 当时 在上单调减 上单调增 且时 所以没有最大值 当时 在上单调增 上单调减 解得导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 1 设 函数的最大值为 1 最小值为 求常数的值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 令得 解得 当 在上变化时 与的变化情况如下表 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的 导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 1 1 0 01 0 0 极大值 极小值 当时 取得极大值 当时 取得极小值 由上述表格中展示的的单调性知 最大值在与之中 的最小值在和之 中 考察差式 即 故的最大值为 由此得 考察差式 即 的最小值为 由此得 解得 于是综合以上所述得到所求 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣 乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 7 7 已知的最大值为 3 最小值为 29 求 的值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 这里 不然与题设矛盾 令 解得或 x 4 舍去 若 则当时 在内递增 当时 在内递减 又连续 故当时 取得最大值 由已知得 而 此时的最小值为 由得 若 则运用类似的方法可得 当时有最小值 故有 又 当时 有最大值 由已知得 于是综合 得所求或导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考 点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 1 设函数 f x ax3 bx c a 0 为奇函数 其图象在点 1 f 1 处的切线与直线 x 6y 7 0 垂直 导函数的最小值为 12 求 a b c 的值 求函数 f x 的单调递增区间 并求函数 f x 在 1 3 上的 最大值和最小值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 f x 为奇函数 f x f x 即 ax3 bx c ax3 bx c c 0 的最小值为 12 b 12 又直线 x 6y 7 0 的斜率为 因此 a 2 a 2 b 12 c 0 f x 2x3 12x 列表如下 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 x 0 0 极大 极小 所以函数 f x 的单调增区间是 f 1 10 f 3 18 f x 在 1 3 上的最大值是 f 3 18 最小值是 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 类型五 导数的实际应用类型五 导数的实际应用导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 8 8 如右图所示 在二次函数 f x 4x x2的图象与 x 轴所围成 图形中有个内接矩形 ABCD 求这个矩形面积的最大值 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的 点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 设点 B 的坐标为 x 0 且 0 x 2 f x 4x x2图象的对称轴为 x 2 点 C 的坐标为 4 x 0 BC 4 2x BA f x 4x x2 矩形面积为 y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 令 y 0 解得 0 x 2 取 极值点只有一个 当时 矩形面积的最大值 答 这个矩形面积的最大值为 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流 薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 1 一艘渔艇停泊在距岸 9km 处 今需派人送信给距渔艇 km 处的海岸渔站 如果送信人步行每小时 5km 船速每小时 4km 问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 如图示设 A 点为渔艇处 BC 为海岸线 C 为 渔站 且 AB 9km 设 D 为海岸线上一点 CD x 只需将时间 T 表示为 x 的函数 由 A 到 C 的时间 T 则 0 x 15 0 x 15 令 T 0 解得 x 3 在 x 3 附近 T 由负到正 因此在 x 3 处取得最小值 又 比较可知 T 3 最小 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 变式 2 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 升 关于行驶速度 千米 小时 的函数解析式可以表示为 已知甲 乙两地相距 100 千米 I 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地 要耗油多少升 II 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最 少 最少为多少升 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上贸欠族蒲晦酒径壹蜒汐途褥眶窒呆振烃嚣乱葵喳砾劲炼航歇述栋请药惜琅绦四流薪淀搁赞聊骆胳愁冯熊洁思娥牛蛤鸡狭醚醉糖葫就搔掩减减旗飘娠 解析解析 I 当时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 要耗没 升 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到 乙地耗油 17 5 升 II 当速度为 千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了 小时 设耗油量为升 依题意得 令 得 当时 是减函数 当时 是增函数 当时 取到极小值 因为在上只有一个极值 所以它是最小值 答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到 乙地耗油最少 最少为 11 25 升 导数与函数的综合 提高 26 导数与函数的综合 提高 知识升华考点一 求切线方程的一般方法 可分两步 1 求出函数在处的导数 2 利用直线的点斜式得切线方程 要点诠释 求切线方程 首先要判断所给点是否在曲线上 若在曲线上 可用上法求解 若不在曲线上