第2讲基本初等函数

第第 2 2 讲讲 基本初等函数基本初等函数 考点解读考点解读 1 掌握指数 对数的运算 2 理解指数函数 对数函数的概念 图象和性质 3 能利用基本初等函数的性质解决某些简单实际问题 4 了解幂函数的定义 熟悉常见幂函数的图形与性质 基础训练基础训练 1 函数 y loga x 2 1 a 0 a 1 的图象经过的定点坐标为 2 若函数 y a2 1 x在 上为减函数 则实数 a 的取值范围是 3 若函数 f x 4x k 2x k 3 有唯一零点 则实数 k 的取值范围是 4 定义 区间 x1 x2 x1 x2 的长度为 x2 x1 已知函数 y log0 5x 的定义域为 a b 值 域为 0 2 则区间 a b 的长度的最大值为 例题选讲例题选讲 题型一题型一 函数解析式及性质讨论函数解析式及性质讨论 例例 1 1 函数 f x a b c Z Z 是奇函数 且 f 1 2 f 2 3 ax2 1 bx c 1 求 a b c 的值 2 当 x 0 时 讨论 f x 的单调性 变式 变式 已知函数 f x a a R R 2 2x 1 1 试判断 f x 的单调性 并证明你的结论 2 若 f x 为定义域上的奇函数 求 函数 f x 的值域 满足 f ax 2x m 恒成立 求实数 m 的取值范 围 已知定义域为 R R 的函数 f x 是奇函数 2x b 2x 1 a 1 求 a b 的值 2 若对任意的 t R R 不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求实数 k 的取值范 围 题型三题型三 函数中的存在性问题函数中的存在性问题 例例 3 3 已知函数 f x x m 和函数 g x x x m m2 7m 1 若方程 f x m 在 4 上有两个不同的解 求实数 m 的取值范围 2 若对任意 x1 4 均存在 x2 3 使得 f x1 g x2 成立 求实数 m 的取值范围 已知 a 0 且 a 1 函数 f x loga x 1 g x loga 记 F x 2f x 1 1 x g x 1 求函数 F x 的定义域 D 及其零点 2 若关于 x 的方程 F x m 0 在区间 0 1 内有解 求实数 m 的取值范围 题型四题型四 函数与方程 不等式综合应用问题函数与方程 不等式综合应用问题 例例 4 4 已知函数 g x ax2 2ax 1 b a 0 b 1 在区间 2 3 上有最大值 4 最小 值 1 设 f x g x x 1 求 a b 的值 2 不等式 f 2x k 2x 0 在 x 1 1 上恒成立 求实数 k 的取值范围 3 方程 f 2x 1 k 0 有三个不同的实数解 求实数 k 的取值范围 2 2x 1 3 已知函数 g x mx2 2mx 1 n n 0 在 1 2 上有最大值 1 和最小值 0 设 f x e 为自然对数的底数 g x x 1 求 m n 的值 2 若不等式 f log2x 2klog2x 0 在 x 2 4 上有解 求实数 k 的取值范围 3 若方程 f ex 1 3k 0 有三个不同的实数解 求实数 k 的取值范围 2k ex 1 1 2013 全国卷 设 f x 是以 2 为周期的函数 且当 x 1 3 时 f x x 2 则 f 1 2 2014 山东卷 函数 f x 的定义域为 1 log2x 2 1 3 2013 天津卷 已知函数 f x 是定义在 R R 上的偶函数 且在区间 0 上单调递 增 若实数 a 满足 f log2a f log a 2f 1 则 a 的取值范围是 1 2 4 已知 f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若 x R R f x 0 或 g x 0 1 讨论 f x 在其定义域上的单调性 2 当 x 0 1 时 求 f x 取得最大值和最小值时的 x 的值 本题模拟高考评分标准 满分 14 分 2014 南通一模 已知 a 为实常数 y f x 是定义在 0 0 上的奇函 数 且当 x0 在区间 8 8 上有四个不同的根 x1 x2 x3 x4 则 x1 x2 x3 x4 2 已知函数 f x x3 k2 k 1 x2 5x 2 g x k2x2 kx 1 其中 k R R 1 设函数 p x f x g x 若 p x 在区间 0 3 上不单调 求 k 的取值范围 2 设函数 q x 是否存在 k 对任意给定的非零实数 x1 存在唯 g x x 0 f x x 0 一的非零实数 x2 x2 x1 使得 q x2 q x1 成立 若存在 求 k 的值 若不存在 请 说明理由 第第 2 2 讲讲 基本初等函数基本初等函数 考点解读考点解读 1 掌握指数 对数的运算 2 理解指数函数 对数函数的概念 图象和性质 3 能利用基本初等函数的性质解决某些简单实际问题 4 了解幂函数的定义 熟悉常见幂函数的图形与性质 基础训练基础训练 1 函数 y loga x 2 1 a 0 a 1 的图象经过的定点坐标为 2 若函数 y a2 1 x在 上为减函数 则实数 a 的取值范围是 3 若函数 f x 4x k 2x k 3 有唯一零点 则实数 k 的取值范围是 4 定义 区间 x1 x2 x1 x2 的长度为 x2 x1 已知函数 y log0 5x 的定义域为 a b 值 域为 0 2 则区间 a b 的长度的最大值为 例题选讲例题选讲 题型一题型一 函数解析式及性质讨论函数解析式及性质讨论 例例 1 1 函数 f x a b c Z Z 是奇函数 且 f 1 2 f 2 3 ax2 1 bx c 1 求 a b c 的值 2 当 x 0 时 讨论 f x 的单调性 变式 变式 已知函数 f x a a R R 2 2x 1 1 试判断 f x 的单调性 并证明你的结论 2 若 f x 为定义域上的奇函数 求 函数 f x 的值域 满足 f ax 2x m 恒成立 求实数 m 的取值范 围 解 1 由条件得 f x f x 0 log2 log2 0 化简得 a2 1 x2 0 因此 a2 1 0 a 1 但 a 1 1 ax x 1 1 ax x 1 不符合题意 因此 a 1 2 判断函数 f x 在 x 1 上为单调减函数 证明如下 设 1 x1 x2 f x1 f x2 log2 x1 log2 x2 x1 1 x1 1 x2 1 x2 1 log2 x2 x1 x1 1 x1 1 x2 1 x2 1 1 x10 x1 1 0 x2 1 0 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 x1x2 x1 x2 1 2 x2 x1 0 又 x1 1 x2 1 0 x1 1 x2 1 0 log2 0 x1 1 x1 1 x2 1 x2 1 f x1 f x2 0 即 f x1 f x2 函数 f x 在 x 1 上为单调减函数 3 不等式为 m f x 2x恒成立 mg x2 成立 求实数 m 的取值范围 解 1 方程 f x m 即 x m m 此方程在 x R R 时的解为 x 0 或 x 2m 要使 方程 x m m 在 x 4 上有两个不同的解 则 2m 4 且 2m 0 所以 m 的取值 范围是 m 2 且 m 0 2 原命题等价于 对于任意 x1 4 任意 x2 3 f x1 min g x2 min 对于任意 x1 4 f x1 min 对于任意 x2 3 g x2 0 m 4 m 4 m 4 min m2 10m 9 m 4 时 m 4 m2 7m 解得 40 且 a 1 函数 f x loga x 1 g x loga 记 F x 2f x 1 1 x g x 1 求函数 F x 的定义域 D 及其零点 2 若关于 x 的方程 F x m 0 在区间 0 1 内有解 求实数 m 的取值范围 解 1 F x 2f x g x 2loga x 1 loga a 0 且 a 1 1 1 x 由解得 1 x 0 1 x 0 所以函数 F x 的定义域为 1 1 令 F x 0 则 2loga x 1 loga 0 1 1 x 方程变为 loga x 1 2 loga 1 x 即 x 1 2 1 x 即 x2 3x 0 解得 x1 0 x2 3 经检验 x 3 是方程 的增根 所以方程 的解为 x 0 即 函数 F x 的零点为 0 2 m 2loga x 1 loga 0 x1 则 m 0 方程有解 若 0 a 1 则 m 0 方程有解 题型四题型四 函数与方程 不等式综合应用问题函数与方程 不等式综合应用问题 例例 4 4 已知函数 g x ax2 2ax 1 b a 0 b 1 在区间 2 3 上有最大值 4 最小 值 1 设 f x g x x 1 求 a b 的值 2 不等式 f 2x k 2x 0 在 x 1 1 上恒成立 求实数 k 的取值范围 3 方程 f 2x 1 k 0 有三个不同的实数解 求实数 k 的取值范围 2 2x 1 3 解 1 g x a x 1 2 1 b a 当 a 0 时 g x 在 2 3 上为增函数 故 当 a0 时 g x 在 1 2 上是增函数 g 1 0 g 2 1 即解得 1 n m 0 1 n 1 m 1 n 0 当 m 0 时 g x 1 n 无最大值和最小值 当 m 0 时 g x 在 1 2 上是减函数 g 1 1 g 2 0 即解得 1 n m 1 1 n 0 m 1 n 1 n 0 n 1 舍去 综上 m n 的值分别为 1 0 2 由 1 知 f x x 2 f log2x 2klog2x 0 在 x 2 4 上有解等价于 1 x log2x 2 2klog2x 在 x 2 4 上有解 1 log2x 即 2k 1 在 x 2 4 上有解 1 log2x 2 2 log2x 令 t 则 2k t2 2t 1 1 log2x x 2 4 t 1 2 1 记 t t2 2t 1 t 1 t max 1 2 1 4 k 的取值范围为 1 8 3 原方程可化为 ex 1 2 3k 2 ex 1 2k 1 0 令 ex 1 t 则 t 0 由题意知 t2 3k 2 t 2k 1 0 有两个不同的实数 解 t1 t2 其中 0 t11 或 0 t1 0 h 1 k 0 h 1 k 0 0 3k 2 2 0 实数 k 的取值范围是 0 1 2013 全国卷 设 f x 是以 2 为周期的函数 且当 x 1 3 时 f x x 2 则 f 1 答案 1 2 2014 山东卷 函数 f x 的定义域为 1 log2x 2 1 答案 2 0 1 2 解析 由已知得 log2x 2 1 0 即 log2x 1 或 log2x2 或 0 x 1 2 3 2013 天津卷 已知函数 f x 是定义在 R R 上的偶函数 且在区间 0 上单调递 增 若实数 a 满足 f log2a f log a 2f 1 则 a 的取值范围是 1 2 答案 1 2 2 解析 f log2a f log a 2f 1 即为 2f log2a 2f 1 log2a 1 所以 a 2 1 2 1 2 4 已知 f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若 x R R f x 0 或 g x 0 则实 数 m 的取值范围是 答案 4 0 解析 根据 g x 2x 2 0 x 1 由于题目中条件的限制 导致 g x 在 x 1 时必须是 f x 0 当 m 0 时 f x 0 不能做到 g x 在 x 1 时 f x 0 所以舍去 因此 f x 作 为二次函数开口只能向下 故 m 0 且此时 f x 的 2 个根为 x1 2m x2 m 3 为保证条 件成立 只需 和大前提 m 0 取交集结果为 4 m 0 x1 2m 1 x2 m 3 1 m 4 5 2013 上海卷 甲厂以 x kg h 的速度运输生产某种产品 生产条件要求 1 x 10 每小时可获得利润是 100元 5x 1 3 x 1 要使生产该产品 2 h 获得的利润不低于 3 000 元 求 x 的取值范围 2 要使生产 900 kg 该产品获得的利润最大 问 甲厂应该选取何种生产速度 并求 最大利润 解 1 根据题意 200 3 000 5x 14 0 又 1 x 10 解得 5x 1 3 x 3 x 3 x 10 2 设利润为 y 元 则 y 100 9 104 900 x 5x 1 3 x 3 1 x 1 6 2 61 12 故 x 6 时 ymax 457 500 元 6 设函数 f x 1 1 a x x2 x3 其中 a 0 1 讨论 f x 在其定义域上的单调性 2 当 x 0 1 时 求 f x 取得最大值和最小值时的 x 的值 解 1 f x 的定义域为 f x 1 a 2x 3x2 令 f x 0 得 x1 x2 x1 x2 1 4 3a 3 1 4 3a 3 f x 3 x x1 x x2 当 xx2时 f x 0 当 x1 x0 故 f x 在和 内单调递减 在 1 4 3a 3 1 4 3a 3 内单调递增 1 4 3a 3 1 4 3a 3 2 a 0 x10 当 a 4 时 x2 1 由 1 知 f x 在 0 1 上单调递增 f x 在 x 0 和 x 1 处分别取得最小值和最大值 当 4 a 0 时 x2a 0 时 f x 在 x 1 处取得最小值 当 a 1 时 f x 在 x 0 和 x 1 处同时取得最小值 当 4 a 1 时 f x 在 x 0 取得最小值 本题模拟高考评分标准 满分 14 分 2014 南通一模 已知 a 为实常数 y f x 是定义在 0 0 上的奇函 数 且当 x0 在区间 8 8 上有四个不同的根 x1 x2 x3 x4 则 x1 x2 x3 x4 答案 8 解析 因为定义在 R R 上的奇函数 满足 f x 4 f x 所以 f x 4 f x 又 f x 是奇函数 函数图象关于直线 x 2 对称且 f 0 0 由 f x 4 f x 知 f x 8 f x 所以函数是以 8 为周期的周期函数 又 f x 在区间 0 2 上是增函数 所以 f x 在区间 2 0 上也是增函数 如图所示 那么方程 f x m m 0 在区间 8 8 上有四个 不同的根 x1 x2 x3 x4 不妨设 x1 x2 x3 x4 由对称性知 x1 x2 12 x3 x4 4 所 以 x1 x2 x3 x4 12 4 8 2 已知函数 f x x3 k2 k 1 x2 5x 2 g x k2x2 kx 1 其中 k R R 1 设函数 p x f x g x 若 p x 在区间 0 3 上不单调 求 k 的取值范围 2 设函数 q x 是否存在 k 对任意给定的非零实数 x1 存在唯 g x x 0 f x x 0 一的非零实数 x2 x2 x1 使得 q x2 q x1 成立 若存在 求 k 的值 若不存在