第十五届“希望杯”数学竞赛第一试试题及答案整理

1 第十五届第十五届 希望杯希望杯 全国数学邀请赛全国数学邀请赛 高一高一 第第 1 试试 一 选择题选择题 每题 4 分 共 40 分 1 函数的最小正周期是 tan2f xx A B C D 2 2 4 2 函数在时的单调递增区间是 1 2 log cosf xx 0 2x A B 0 2 0 C D 2 3 2 2 3 对于任意实数 若不等式恒成立 则实数应满足 x34 0 xxa a a A B 01a 01a C D 1a 1a 4 等差数列 的前 n 项的和分别为 且 则 n a n b n S n T 33 23 n n Sn Tn 6 6 a b A B 1 3 2 C D 6 5 27 23 5 如图 EF 是梯形 ABCD 的中位线 则在向量 1 2 ADBC 中 与相等的向量的 1 2 ACBD 1 2 2 ADABCD EF 个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 6 在中 若 则该三角形一定是 ABCAsin2cossinCAB A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形 7 函数 2 4 9 xx f x x A 是奇函数但不是偶函数 B 是偶函数但不是奇函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数 D F E B C A 2 8 集合 M 由正整数的平方组成 即 若对某集合中的任意两个元 1 4 9 16 25 M 素进行某种运算 运算结果仍在此集合中 则称此集合对该运算是封闭的 M 对下列运算 封闭的是 A 加法 B 减法 C 乘法 D 除法 9 等比数列中 是 的 n a 13 aa 79 aa A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 10 已知函数的图象与函数的图象关于点对称 则 f x 3xg x 0 1 f x A B 3 log1x 23 x C D 2 3 x 3 2log x 二 二 A 组填空题 每题组填空题 每题 4 分 共分 共 40 分 分 11 已知函数当时 1 0 x f x x 为有理数 为无理数 0 x g x x 为有理数 1 为无理数 xR f g x g f x 12 已知不等式的解集是 则不等式的解集是0axb 2x x 0bxa 不等式的解集是 0bxa 13 一个等差数列共有 12 项 前 4 项的和是 10 后 4 项的和是 4 则中间 4 项的和是 10 项的和是 14 某广告公司准备用 200 只彩色灯泡 设计成一个梯形图案 且每层比上面相邻的一层 多 1 只灯泡 那么 最多的一层至多可安装 只灯泡 最少的一层至少 可安装 只灯泡 15 数列的前 n 项的乘积 则的前 5 项的和是 n a 2 10 2 1 2 nn n P 2 a n a 16 已知函数 则函数的最大值与最小值之 22 3256f xxxxx f x 差是 17 定义在 R 上的奇函数 在上是增函数 若 则 x 的取 f x 0 1 1 ffx 值范围是 18 已知函数在上的最大值是 且将 表示成 2 f xxbxc 0 2t 1 0 0 fb t 3 b 的函数 则 g b g b 19 函数的值域是 cos sin yx 20 A creeper grows to length of 4m in 20 days by doubling its length everyday How many days does it take to grow to a length of m Answer 英汉小词典 1 4 creeper 攀缘植物 三 三 组填空题 每题组填空题 每题 8 分 共分 共 40 分 分 21 Find the missing number in the sequence 3 6 13 28 122 249 Answer 英汉小词典 sequence 数列 22 当时 函数的最小值是 最大 7 66 x 2 3sin2cosyxx 值是 23 函数 若 可知的单调递增区间是 2 log 23 a f xxx 2 0f f x 单调递减区间是 24 3 支代表队共 10 名棋手参加围棋比赛 不同代表队的棋手之间都进行一场比赛 同 一代表队的棋手之间都不进行比赛 那么比赛最少可能进行 场 最多可能进行 场 25 设是集合中所有的数从小到大排成的数列 则 n a 22 0 st sts tZ 且 550 aa 答案 答案 一 选择题一 选择题 每题 4 分 共 40 分 1 C 2 A 3 A 4 C 5 D 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B 二 二 A 组填空题组填空题 每题 4 分 共 40 分 11 1 0 12 13 7 14 42 5 15 16 0 1 2 x x 1 2 x x 3 19 8 15 16