2017年高考理科数学试题及答案-全国卷3

2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国3卷 理科数学 一 选择题 本题共12小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 已知集合 则中元素的个数为 22 1 Ax y xy Bx y yx AB A 3B 2C 1D 0 2 设复数满足 则 z 1 2i zi z A B C D 2 1 2 2 22 3 某城市为了解游客人数的变化规律 提高旅游服务质量 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月 接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折线图 根据该折线图 下列结论错误的是 A 月接待游客量逐月增加 B 年接待游客量逐年增加 C 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月 D 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月 波动性更小 变化比较平稳 4 的展开式中的系数为 5 2 xyxy 33 x y A 80B 40C 40D 80 5 已知双曲线的一条渐近线方程为 且与椭圆有公共 22 22 1 0 0 xy Cab ab 5 2 yx 22 1 123 xy 焦点 则的方程为 C A B C D 22 1 810 xy 22 1 45 xy 22 1 54 xy 22 1 43 xy 6 设函数 则下列结论错误的是 cos 3 f xx A 的一个周期为B 的图像关于直线对称 f x 2 yf x 8 3 x C 的一个零点为D 在单调递减 f x 6 x f x 2 7 执行右图的程序框图 为使输出的值小于91 则输入的正整 S 数的最 N 小值为 A 5 B 4 C 3 D 2 8 已知圆柱的高为1 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上 则该圆柱的体积为 A B 3 4 C D 2 4 9 等差数列的首项为1 公差不为0 若成等比数列 则前6项的和为 n a 236 a a a n a A 24B 3C 3D 8 10 已知椭圆 的左 右顶点分别为 且以线段为直径的圆与直线 22 22 1 xy C ab 0ab 12 A A 12 A A 相切 则的离心率为 20bxayab C A B C D 6 3 3 3 2 1 3 11 已知函数有唯一零点 则 211 2 xx f xxxa ee a A B C D 1 1 2 1 3 1 2 12 在矩形中 动点在以点为圆心且与相切的圆上 若 ABCD 1 2ABAD PCBD 则的最大值为 APABAD A 3B C D 2 2 25 二 填空题 本题共4小题 每小题5分 共20分 13 若满足约束条件则的最小值为 x y 0 20 0 xy xy y 34zxy 14 设等比数列满足 则 n a 1213 1 3aaaa 4 a 15 设函数则满足的的取值范围是 1 0 2 0 x xx f x x 1 1 2 f xf x x 16 为空间中两条互相垂直的直线 等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直 斜边 a bABCAC a b 以直线为旋转轴旋转 有下列结论 ABAC 当直线与成角时 与成角 ABa60 ABb30 当直线与成角时 与成角 ABa60 ABb60 直线与所成角的最小值为 ABa45 直线与所成角的最大值为 ABa60 其中正确的是 填写所有正确结论的编号 三 解答题 共70分 第17 20题为必考题 每个试题考生都必须作答 第22 23题为选考题 考生根 据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共6060分 分 17 12分 的内角的对边分别为 已知 ABC A B C a b csin3cos0 2 7 2AAab 1 求 c 2 设为边上一点 且 求的面积 DBC ADAC ABD 18 12分 某超市计划按月订购一种酸奶 每天进货量相同 进货成本每瓶4元 售价每瓶6元 未售出 的酸奶降价处理 以每瓶2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气 温 单位 有关 如果最高气温不低于25 需求量为500瓶 如果最高气温位于区间 需 20 25 求量为300瓶 如果最高气温低于20 需求量为200瓶 为了确定六月份的订购计划 统计了前三年六 月份各天的最高气温数据 得下面的频数分布表 最高气温 10 15 15 20 20 25 25 30 30 35 35 40 天数 216362574 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 1 求六月份这种酸奶一天的需求量 单位 瓶 的分布列 X 2 设六月份一天销售这种酸奶的利润为 单位 元 当六月份这种酸奶一天的进货量 单位 Y 瓶 为多少时 的数学期望达到最大值 Y 19 12分 如图 四面体中 是正三角形 ABCD ABC 是直角三角形 ACDABDCBD ABBD 1 证明 平面平面 ACD ABC 2 过的平面交于点 若平面把四面体 ACBDEAEC D A B C E 分成体积相等的两部分 求二面角的余弦值 ABCDDAEC 20 12分 已知抛物线 过点 2 0 的直线 交于 两点 圆是以线段为直 2 2C yx lCABMAB 径的圆 1 证明 坐标原点在圆上 OM 2 设圆过点 4 求直线 与圆的方程 MP2 lM 21 12分 已知函数 1lnf xxax 1 若 求的值 0f x a 2 设为整数 且对于任意正整数 求的最小值 mn 2 111 1 1 1 222n m m 二 选考题 共10分 请考生在第22 23题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修4 4 坐标系与参数方程 10分 在直角坐标系中 直线的参数方程为 为参数 直线的参数方程为 xOy 1 l 2 xt ykt t2 l 为参数 设与的交点为 当变化时 的轨迹为曲线 2 xm m y k m 1 l 2 l PkPC 1 写出的普通方程 C 2 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 设 x3 l cossin 20 为与的交点 求的极径 M 3 l CM 23 选修4 5 不等式选讲 10分 已知函数 f xxx 1 求不等式的解集 f x 2 若不等式的解集非空 求的取值范围 f xxxm m 2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国3 理科数学参考答案 一 选择题 1 B2 C3 A4 C5 B6 D 7 D8 B9 A10 A11 C12 A 二 填空题 13 14 15 16 1 8 1 4 三 解答题 17 解 1 由已知可得 所以 tan3A 2 3 A 在中 由余弦定理得 即 ABC 2 2 2844 cos 3 cc 2 2240cc 解得 舍去 6c 4c 2 由题设可得 所以 2 CAD 6 BADBACCAD 故面积与面积的比值为 ABD ACD 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD AA A 又的面积为 所以的面积为 ABC 1 4 2sin2 3 2 BAC ABD 3 18 解 1 由题意知 所有可能取值为200 300 500 由表格数据知 X 216 2000 2 90 P X 36 3000 4 90 P X 2574 5000 4 90 P X 因此的分布列为 X X200300500 P0 20 40 4 2 由题意知 这种酸奶一天的需求量至多为500 至少为200 因此只需考虑200500 n 当时 300500n 若最高气温不低于25 则 642Ynnn 若最高气温位于区间 20 25 则 6 3002 300 412002Ynnn 若最高气温低于20 则 6 2002 200 48002Ynnn 因此 20 4 12002 0 4 8002 0 26400 4EYnnnn 当时 200300n 若最高气温不低于20 则 642Ynnn 若最高气温低于20 则 6 2002 200 48002Ynnn 因此 2 0 40 4 8002 0 2160 1 2EYnnn 所以时 的数学期望达到最大值 最大值为520元 300n Y 19 解 1 由题设可得 从而 ABDCBD ADDC 又是直角三角形 所以 ACD 90ADC 取的中点 连结 ACO DO BO 则 DOAC DOAO 又由于是正三角形 故 ABC BOAC 所以为二面角的平面角 DOB DACB 在中 Rt AOB 222 BOAOAB 又 所以 ABBD 故 222222 BODOBOAOABBD 90DOB 所以平面平面 ACD ABC 2 由题设及 1 知 两两垂直 以为坐标原点 的方向为轴正方向 为单 OA OB OD OOA x OA 位长 建立如图所示的空间直角坐标系 则 Oxyz 1 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 ABCD 由题设知 四面体的体积为四面体 ABCE 的体积的 从而到平面的距离 ABCD 1 2EABC 为到平面的距离的 即为的中 DABC 1 2EDB 点 得 故 3 1 0 22 E 3 1 1 0 1 2 0 0 1 22 ADACAE O D A B C E D A B C E y x O z 设是平面的法向量 则同理可取 nx y z DAE 0 0 m AC m AE 0 1 3 m 则 7 cos 7 n m n m n m A 所以二面角的余弦值为 DAEC 7 7 20 解 1 设 1122 2A x yB xyl xmy 由可得 则 2 2 2 xmy yx 2 240ymy 12 4y y 又 故 22 12 12 22 yy xx 2 12 12 4 4 y y x x 因此的斜率与的斜率之积为 所以 OAOB 12 12 4 1 4 yy xx A OAOB 故坐标原点在圆上 OM 2 由 1 可得 2 121212 2 424yym xxm yym 故圆心的坐标为 圆的半径 M 2 2 mm M 222 2 rmm 由于圆过点 因此 M 4 2 P 0AP BP 故 1212 4 4 2 2 0 xxyy 即 12121222 4 2 200 x xxxy yyy 由 1 可得 1212 4 4y yx x 所以 解得或 2 210mm 1m 1 2 m 当时 直线 的方程为 圆心的坐标为 圆的半径为 圆的 1m l 10 xy M 3 1 M 10 M 方程为 22 3 1 10 xy 当时 直线 的方程为 圆心的坐标为 圆的半径为 1 2 m l 240 xy M 91 42 M 85 4 圆的方程为 M 22 9185 4216 xy 21 解 1 的定义域为 f x 0 若 因为 所以不满足题意 0a 11 ln20 22 fa 若 由知 当时 当时 0a 1 axa fx xx 0 xa 0fx xa 所以在单调递减 在单调递增 故是在的唯 0fx f x 0 a a xa f x 0 一最小值点 由于 所以当且仅当时 1 0f 1a 0f x 故 1a 2 由 1 知当时 1 x 1 ln0 xx 令 得 从而 1 1 2n x 11 1 22 nn 22 1111111 ln 1 ln 1 ln 1 11 2222222 nnn 故 2 111 1 1 1 222n e 而 所以的最小值为3 23 111 1 1 1 2 222 m 22 解 1 消去参数 得的普通方程 消去参数得的普通方程 t1 l 1 2 lyk x mt2 l 2 1 2 lyx k 设 由题设得消去得 P x y 2 1 2 yk x yx k k 22 4 0 xyy 所以的普通方程为 C 22 4 0 xyy 2 的极坐标方程为 C 222 cossin 4 22 联立得 222 cossin 4 cossin 20 cossin2 cossin 故 从而 1 tan 3 22 91