一元二次方程难点归类

第六课时第六课时 一元二次方程难点专项一元二次方程难点专项 专训一 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值专训一 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值 名师点金 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值主要体现在 利用定 义或项的概念求字母的值 利用根的概念求字母或代数式的值 利用根的概念 解决探究性问题等 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1 已知 m 3 x2 x 1 是关于 x 的一元二次方程 则 m 的取值范 m 2 围是 A m 3 B m 3 C m 2 D m 2 且 m 3 2 已知关于 x 的方程 m 1 xm2 1 m 2 x 1 0 1 m 取何值时 它是一元二次方程并写出这个方程 2 m 取何值时 它是一元一次方程 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3 若关于 x 的一元二次方程 3a 6 x2 a2 4 x a 9 0 没有一次项 则 a 4 已知关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 5x m2 1 0 的常数项为 0 求 m 的值 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值 5 已知关于 x 的方程 x2 bx a 0 的一个根是 a a 0 则 a b 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 6 已知关于 x 的一元二次方程 k 4 x2 3x k2 16 0 的一个根为 0 求 k 的值 7 已知实数 a 是一元二次方程 x2 2 016x 1 0 的一个根 求代数式 a2 2 015a 的值 a2 1 2 016 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题 8 已知 m n 是方程 x2 2x 1 0 的两个根 是否存在实数 a 使 7m2 14m a 3n2 6n 7 的值等于 8 若存在 求出 a 的值 若不存在 请 说明理由 专训二 一元二次方程的解法归类专训二 一元二次方程的解法归类 名师点金 解一元二次方程时 主要考虑降次 其解法有直接开平方法 因式分解法 配方法和公式法等 在具体的解题过程中 结合方程的特点选择 合适的方法 往往会达到事半功倍的效果 限定方法解一元二次方程 方法 1 形如 x m 2 n n 0 的一元二次方程用直接开平方法求解 1 方程 4x2 25 0 的解为 A x B x 2 5 5 2 C x D x 5 2 2 5 2 用直接开平方法解下列一元二次方程 其中无解的方程为 A x2 5 5 B 3x2 0 C x2 4 0 D x 1 2 0 方法 2 当二次项系数为 1 且一次项系数为偶数时 用配方法求解 3 用配方法解方程 x2 3 4x 配方后的方程变为 A x 2 2 7 B x 2 2 1 C x 2 2 1 D x 2 2 2 4 解方程 x2 4x 2 0 5 已知 x2 10 x y2 16y 89 0 求 的值 x y 方法 3 能化成形如 x a x b 0 的一元二次方程用因式分解法求解 6 改编 宁夏 一元二次方程 x x 2 2 x 的根是 A x 1 B x 0 C x1 1 x2 2 D x1 1 x2 2 7 解下列一元二次方程 1 x2 2x 0 2 16x2 9 0 3 4x2 4x 1 方法 4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式 则用公式法求解 8 用公式法解一元二次方程 x2 2x 方程的解应是 1 4 A x B x 2 5 2 2 5 2 C x D x 1 5 2 1 3 2 9 用公式法解下列方程 1 3 x2 1 7x 0 2 4x2 3x 5 x 2 选择合适的方法解一元二次方程 10 方程 4x2 49 0 的解为 A x B x 2 7 7 2 C x1 x2 D x1 x2 7 2 7 2 2 7 2 7 11 一元二次方程 x2 9 3 x 的根是 A x 3 B x 4 C x1 3 x2 4 D x1 3 x2 4 12 方程 x 1 x 3 5 的解是 A x1 1 x2 3 B x1 4 x2 2 C x1 1 x2 3 D x1 4 x2 2 13 解下列方程 1 3y2 3y 6 0 2 2x2 3x 1 0 用特殊方法解一元二次方程 方法 1 构造法 14 解方程 6x2 19x 10 0 15 若 m n p 满足 m n 8 mn p2 16 0 求 m n p 的值 方法 2 换元法 a 整体换元 16 已知 x2 2xy y2 x y 6 0 则 x y 的值是 A 2 或 3 B 2 或 3 C 1 或 6 D 1 或 6 17 解方程 x 1 x 2 x 3 x 4 48 b 降次换元 18 解方程 6x4 35x3 62x2 35x 6 0 c 倒数换元 19 解方程 2 x 2 x 3x x 2 方法 3 特殊值法 20 解方程 x 2 013 x 2 014 2 015 2 016 专训三 根的判别式的四种常见应用专训三 根的判别式的四种常见应用 名师点金 对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 式子 b2 4ac 的值决 定了一元二次方程的根的情况 利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根 的情况 反过来 利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范 围 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1 已知关于 x 的方程 kx2 1 k x 1 0 下列说法正确的是 A 当 k 0 时 方程无解 B 当 k 1 时 方程有一个实数解 C 当 k 1 时 方程有两个相等的实数解 D 当 k 0 时 方程总有两个不相等的实数解 2 已知关于 x 的方程 x2 2x m 0 没有实数根 其中 m 是实数 试判断 关于 x 的方程 x2 2mx m m 1 0 有无实数根 利用根的判别式求字母的值或取值范围 3 2015 咸宁 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 m 2 x 2 0 1 证明 不论 m 为何值 方程总有实数根 2 m 为何整数时 方程有两个不相等的正整数根 利用根的判别式求代数式的值 4 2015 福州改编 已知关于 x 的方程 x2 2m 1 x 4 0 有两个相等的 实数根 求的值 m 1 2m 1 2 2m 利用根的判别式确定三角形的形状 5 已知 a b c 是一个三角形的三边长 且关于 x 的一元二次方程 a c x2 bx 0 有两个相等的实数根 试判断此三角形的形状 a c 4 专训四 一元二次方程与三角形的综合专训四 一元二次方程与三角形的综合 名师点金 一元二次方程是初中数学重点内容之一 常常与其他知识结合 其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种 主要考查一元二 次方程的根的概念 根的判别式的应用 一元二次方程的解法及与等腰三角形 直角三角形的性质等知识的灵活运用 一元二次方程与三角形三边关系 1 三角形的两边长分别为 4 和 6 第三边长是方程 x2 7x 12 0 的解 则第三边的长为 A 3 B 4 C 3 或 4 D 无法确定 2 根据一元二次方程根的定义 解答下列问题 一个三角形两边长分别为 3 cm 和 7 cm 第三边长为 a cm 且整数 a 满足 a2 10a 21 0 求三角形的周长 解 由已知可得 4 a0 时 关于 x 的一元二次方程 c x2 m b x2 m 2ax 0 有两个相等的实数根 试判断 ABC 的形状 m 并说明理由 4 已知 ABC 的三边长 a b c 中 a b 1 c b 1 又已知关于 x 的 方程 4x2 20 x b 12 0 的根恰为 b 的值 求 ABC 的面积 一元二次方程与等腰三角形 5 等腰三角形一条边的长为 3 它的另两条边的长是关于 x 的一元二次方 程 x2 12x k 0 的两个根 则 k 的值是 A 27 B 36 C 27 或 36 D 18 6 已知关于 x 的一元二次方程 a c x2 2bx a c 0 其中 a b c 为 ABC 的三边的长 1 如果 x 1 是方程的根 试判断 ABC 的形状 并说明理由 2 如果方程有两个相等的实数根 试判断 ABC 的形状 并说明理由 3 如果 ABC 是等边三角形 试求这个一元二次方程的根 专训五 可化为一元二次方程的分式方程的应用专训五 可化为一元二次方程的分式方程的应用 名师点金 可化为一元二次方程的分式方程的实际应用较广泛 一般应用 于营销 行程 工程等问题中 解分式方程的基本思路是化归 去掉分母后转 化为一元二次方程 但最后一定要验根 有时可能会产生增根或不符合题意的 根 营销问题 1 某玩具店采购人员第一次用 100 元去采购 企鹅牌 玩具 很快售完 第二次去采购时发现批发价每件上涨了 0 5 元 用去了 150 元 所购玩具数量 比第一次多了 10 件 两批玩具的售价均为 2 8 元 问 第二次采购玩具多少件 说明 根据销售常识 批发价应该低于销售价 2 小明的爸爸下岗后 做起了经营水果的生意 一天 他先去水果批发市 场 用 100 元购甲种水果 用 150 元购乙种水果 乙种水果比甲种水果多购进 10 千克 乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高 0 5 元 然后到零售 市场 都按每千克 2 8 元零售 结果乙种水果很快售完 甲种水果售出 时 出 4 5 现滞销 他便按原售价的 5 折售完剩下的水果 请你帮小明的爸爸算一算 这 天卖水果是赔钱了还是赚钱了 不考虑其他因素 若赔钱 赔多少 若赚钱 赚多少 行程问题 3 从甲站到乙站有 150 km 一列快车和一列慢车同时从甲站开出 匀速 行驶 1 h 后快车在慢车前 12 km 结果快车比慢车早 25 min 到达乙站 快车和 慢车每小时各行多少千米 工程问题 4 某镇道路改造工程 由甲 乙两工程队合作 20 天可完成 甲工程队单 独施工比乙工程队单独施工多用 30 天才能完成此项工程 1 求甲 乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天 2 若甲工程队单独施工 a 天后 再由甲 乙两工程队合作 天 用含 a 的代数式表示 可完成此项工程 3 如果甲工程队施工每天需收取施工费 1 万元 乙工程队施工每天需收取 施工费 2 5 万元 那么甲工程队至少要单独施工多少天后 再由甲 乙两工程 队合作施工完成剩下的工程 才能使施工费不超过 64 万元 答案答案 专训一 1 D 点拨 由题意 得解得 m 2 且 m 3 m 3 0 m 2 0 2 解 1 当时 它是一元二次方程 解得 m 1 m2 1 2 m 1 0 即当 m 1 时 原方程可化为 2x2 x 1 0 2 当或者当 m 1 m 2 0 且 m2 1 1 时 它是一元一 m 2 0 m 1 0 次方程 解得 m 1 或 m 0 故当 m 1 或 m 0 时 它是一元一次方程 3 2 点拨 由题意得解得 a 2 a2 4 0 3a 6 0 4 解 由题意 得解得 m 1 m2 1 0 m 1 0 5 A 点拨 关于 x 的方程 x2 bx a 0 的一个根是 a a 0 a2 ab a 0 a a b 1 0 a 0 a b 1 6 解 把 x 0 代入 k 4 x2 3x k2 16 0 得 k2 16 0 解得 k 4 k 4 0 k 4 k 4 7 解 实数 a 是一元二次方程 x2 2 016x 1 0 的一个根 a2 2 016a 1 0 a2 1 2 016a a2 2 016a 1 a2 2 015a a2 2 015a a2 2 015a a a2 2 a2 1 2 016 2 016a 2 016 016a 1 8 解 存在 由题意可知 m2 2m 1 0 n2 2n 1 0 m2 2m 1 n2 2n 1 7m2 14m a 3n2 6n 7 7 m2 2m a 3 n2 2n 7 7 a 3 7 4 7 a 由 4 a 7 8 得 a 9 故存在实数 a 且 a 的值等于 9 专训二 1 C 2 C 3 C 4 解 x2 4x 2 0 x2 4x 2 x 2 2 6 x 2 6 x1 2 x2 2 66 5 解 x2 10 x y2 16y 89 0 x2 10 x 25 y2 16y 64 0 x 5 2 y 8 2 0 x 5 y 8 x y 5 8 6 D 7 解 1 x2 2x 0 x x 2 0 x1 0 x2 2 2 16x2 9 0 4x 3 4x 3 0 x1 x2 3 4 3 4 3 4x2 4x 1 4x2 4x 1 0 2x 1 2 0 x1 x2 1 2 8 B 9 解 1 3 x2 1 7x 0 3x2 7x 3 0 b2 4ac 7 2 4 3 3 13 x 7 13 2 3 7 13 6 x1 x2 7 13 6 7 13 6 2 4x2 3x 5 x 2 4x2 4x 3 0 b2 4ac 4 2 4 4 3 64 x 4 64 2 4 x1 x2 3 2 1 2 10 C 11 C 12 B 13 解 1 3y2 3y 6 0 y2 y 2 0 y2 y 0 y 1 4 9 4 y 1 2 2 9 4 1 2 3 2 y1 2 y2 1 2 2x2 3x 1 0 b2 4ac 3 2 4 2 1 1 x 3 1 2 2 x1 1 x2 1 2 14 解 将原方程两边同乘 6 得 6x 2 19 6x 60 0 解得 6x 15 或 6x 4 x1 x2 5 2 2 3 15 解 因为 m n 8 所以 m n 8 将 m n 8 代入 mn p2 16 0 中 得 n n 8 p2 16 0 所以 n2 8n 16 p2 0 即 n 4 2 p2 0 又因为 n 4 2 0 p2 0 所以解得 n 4 0 p 0 n 4 p 0 所以 m n 8 4 所以 m n p 4 4 0 0 16 B 17 解 原方程即 x 1 x 4 x 2 x 3 48 即 x2 5x 4 x2 5x 6 48 设 y x2 5x 5 则原方程变为 y 1 y 1 48 解得 y1 7 y2 7 当 x2 5x 5 7 时 解得 x1 x2 5 33 2 5 33 2 当 x2 5x 5 7 时 5 2 4 1 12 23 0 无实数根 原方程的根为 x1 x2 5 33 2 5 33 2 18 解 经验证 x 0 不是方程的根 原方程两边同除以 x2 得 6x2 35x 62 0 35 x 6 x2 即 6 35 62 0 x2 1 x2 x 1 x 设 y x 则 x2 y2 2 1 x 1 x2 原方程可变为 6 y2 2 35y 62 0 解得 y1 y2 5 2 10 3 当 x 时 解得 x 2 或 x 1 x 5 2 1 2 当 x 时 解得 x 3 或 x 1 x 10 3 1 3 经检验 均符合题意 原方程的解为 x1 2 x2 x3 3 x4 1 2 1 3 19 解 设 y 则原方程化为 y 2 整理 得 x 2 x 3 y y2 2y 3 0 y1 3 y2 1 当 y 3 时 3 x 1 当 y 1 时 x 2 x 1 x 1 经检验 x 1 都是原方程的根 原方程的根为 x 2 x x1 1 x2 1 20 解 方程组的解一定是原方程的解 解得 x 4 029 x 2 013 2 016 x 2 014 2 015 方程组的解也一定是原方程的解 解得 x 2 x 2 013 2 015 x 2 014 2 016 原方程最多有两个实数解 原方程的解为 x1 4 029 x2 2 点拨 解本题也可采用换元法 设 x 2 014 t 则 x 2 013 t 1 原方 程可化为 t t 1 2 015 2 016 先求出 t 进而求出 x 专训三 1 C 点拨 当 k 0 时 方程为一元一次方程 解为 x 1 当 k 0 时 因为 1 k 2 4k 1 k2 2k 1 k 1 2 0 所以当 k 1 时 4 方程有两个不相等的实数解 当 k 1 时 0 方程有两个相等的实数解 当 k 0 时 0 方程总有两个实数解 故选 C 2 解 x2 2x m 0 没有实数根 1 2 2 4 m 4 4m 0 即 m4 方程 x2 2mx m m 1 0 有两个不相等的实数根 3 1 证明 m 2 2 8m m2 4m 4 m 2 2 不论 m 为何值 m 2 2 0 即 0 不论 m 为何值 方程总有实数根 2 解 解关于 x 的一元二次方程 mx2 m 2 x 2 0 得 x m 2 2m m 2 m 2 2m x1 x2 1 2 m 方程的两个根都是正整数 是正整数 m 1 或 m 2 2 m 两根不相等 m 2 m 1 4 解 关于 x 的方程 x2 2m 1 x 4 0 有两个相等的实数根 2m 1 2 4 1 4 0 2m 1 4 m 或 m 5 2 3 2 当 m 时 5 2 m 1 2m 1 2 2m 5 2 1 16 5 1 14 当 m 时 3 2 m 1 2m 1 2 2m 3 2 1 16 3 5 26 5 解 关于 x 的一元二次方程 a c x2 bx 0 有两个相等的实数 a c 4 根 b2 4 a c b2 a2 c2 0 a c 4 即 b2 c2 a2 此三角形是直角三角形 专训四 1 C 2 三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 分类讨论 方程根的定义 3 解 ABC 是直角三角形 理由如下 原方程可化为 b c x2 2ax cm bm 0 4ma2 4m c b c b m 4m a2 b2 c2 m 0 且原方程有两个相等的实数根 a2 b2 c2 0 即 a2 b2 c2 ABC 是直角三角形 4 解 将 x b 代入原方程 整理得 4b2 19b 12 0 解之得 b1 4 b2 当 b 4 时 a 3 c 5 32 42 52 即 a2 b2 c2 ABC 3 4 为直角三角形 C 90 S ABC ab 3 4 6 当 b 时 1 2 1 2 3 4 a 1 0 不合题意舍去 因此 ABC 的面积为 6 3 4 5 B 6 解 1 ABC 是等腰三角形 理由如下 把 x 1 代入原方程 得 a c 2b a c 0 所以 a b 故 ABC 是等腰三角形 2 ABC 是直角三角形 理由如下 方程有两个相等的实数根 则 2b 2 4 a c a c 0 所以 b2 a2 c2 0 所以 a2 b2 c2 故 ABC 是直角三 角形 3 如果 ABC 是等边三角形 则 a b c 所以方程可化为 2ax2 2ax 0 所以 2ax x 1 0 所以方程的解为 x1 0 x2 1 专训五 1 解 方法一 设第二次采购玩具 x 件 则第一次采购玩具 x 10 件 由题意得 0 5 100 x 10 150 x 整理得 x2 110 x 3 000 0 解得 x1 50 x2 60 经检验 x1 50 x2 60 都是原方程的解 当 x 50 时 第二次采购每件玩具的批发价为 150 50 3 元 高于玩具的 售价 不合题意 舍去 当 x 60 时 第二次采购每件玩具的批发价为 150 60 2 5 元 低于玩具 的售价 符合题意 因此第二次采购玩具 60 件 方法二 设第一次采购玩具 x 件 则第二次采购玩具 x 10 件 由题意得 0 5 100 x 150 x 10 整理得 x2 90 x 2 000 0 解得 x1 40 x2 50 经检验 x1 40 x2 50 都是原方程的解 第一次采购 40 件时 第二次采购 40 10 50 件 所以第二次采购每件玩 具的批发价为 150 50 3 元 不合题意 舍去 第一次采购 50 件时 第二次采购 5