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线性代数 矩阵的概念矩阵的基本运算矩阵的初等变换与矩阵的秩逆矩阵线性方程组解的判定 矩阵的概念 一 矩阵概念的引入二 矩阵的定义三 几种特殊的矩阵四 同型矩阵和矩阵相等 某航空公司在A B C D四城市之间开辟了若干航线 如图所示表示了四城市间的航班图 如果从A到B有航班 则用带箭头的线连接A与B 四城市间的航班图情况可用表格来表示 一 矩阵概念的引入 C 二 矩阵的定义 由个数排成的行列的数表 称为m行n列矩阵 简称mXn矩阵 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 主对角线 副对角线 例1 线性方程组 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 的解取决于系数与常数项 例2 三 几种特殊矩阵 1 当m 1时 只有一行的矩阵 称为行矩阵 或行向量 2 当n 1时 只有一列的矩阵 称为列矩阵 或列向量 3 当m n时 n阶方阵 记作 当m n 1时 可看做一个数 5 形如 形如 的矩阵称为上三角矩阵 的矩阵称为下三角矩阵 上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵 6 元素全为零的矩阵称为零矩阵 零矩阵记作或 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的 例如 四 同型矩阵与矩阵相等 1 两个矩阵的行数相等 列数相等时 称为同型矩阵 例3 设 解 矩阵的基本运算 一 矩阵的加法二 矩阵的数乘三 矩阵的乘法四 矩阵的转置 定义 一 矩阵的加法 设有两个矩阵那么矩阵与的和记作 规定为 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例如 2 矩阵加法的运算规律 1 定义 二 矩阵的数乘 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 设为矩阵 为数 例1 已知 求 解 三 矩阵的乘法 引例 某校明后两年计划建筑教学楼和宿舍楼 建筑面积及材料耗用量如表 建筑面积 单位 100平方米 材料 每100平方米耗用量 单位 吨 明后两年三种建筑材料的耗用量 单位 吨 C称为A与B的乘积 定义 并把此乘积记作 设是一个矩阵 是一个矩阵 那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 注 1 只有当左边矩阵A的列数和右边矩阵B的行数相等时 A与B才能相乘 简称为行乘列规则 2 矩阵C中第i行第j列的元素等于左矩阵A的第i行元素与右矩阵B的第j列对应元素乘积之和 3 AB仍为矩阵 它的行数等于A的行数 它的列数等于B的列数 矩阵乘法的示意图如下 第J列 mxs sxn mxn 第i行 例2 设 例3 故 解 对于线性方程组 利用矩阵表示线性方程组 它是一个m行一列的矩阵 根据矩阵相等的定义可得 所以方程组可以用矩阵的乘法来表示 方程组中系数组成的矩阵A称为系数矩阵 方程组中系数与常数组成的矩阵 称为增广矩阵 记为 例4 利用矩阵表示线性方程组 所以方程组可表示为 例5 求AB和BA 解 1 BA无意义 2 3 注 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 矩阵乘法不满足交换律 AB称B右乘A BA称B左乘A 当AB有意义时 BA不一定有意义 即使BA有意义 AB也不一定与BA相等 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 即当AB O时 不能推出A O或B O 与实数乘法相区别 再例如 故当AB AC 且A O时 不能推出B C 若A O B O且AB O时 A是B的左零因子 B是A的右零因子 零因子不唯一 单位矩阵E在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似 例6 解 若两个矩阵A与B满足AB BA 则称A与B是可交换的 由于矩阵乘法不满足交换律 所以在进行运算时 千万要注意 不能把左 右次序颠倒 因为AB BA 所以A与B可交换 例7 矩阵乘法的运算规律 其中为数 5 若A是阶矩阵 则为A的次幂 即并且 注矩阵不满足交换律 即 定义把矩阵的行换成列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例8 转置矩阵 四 矩阵的转置运算 2 转置矩阵的运算性质 例9 已知 解法1 解法2 一 消元法解线性方程组二 矩阵的初等变换及秩 矩阵的初等变换与矩阵的秩 2 4 一 消元法解线性方程组 2 4 1 上述解方程组的方法称为高斯消元法 2 把方程组看作一个整体变形 用三种变换 1 交换方程次序 2 以非零的数乘某个方程 3 一个方程的倍加到另一个方程 二 矩阵的初等变换及秩 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 1 互换两行 3 用一个数乘某一行加到另一行上 2 以数乘某一行中的所有元素 定义 同理 把换成可定义矩阵的初等列变换 阶梯型矩阵 每一行第一个非零元的列标随行标的增加而严格增加零行 若有的话 位于矩阵的最下方 定理任何一个矩阵都可以经过若干次初等行变换化为阶梯型矩阵 例 注阶梯型矩阵不唯一 但所有化成的阶梯型矩阵都具有相同个数的非零行 定义矩阵A对应的阶梯型矩阵中非零行的行数r称为矩阵的秩 记作R A 规定零矩阵的秩为0 例 逆矩阵 一 概念的引入二 逆矩阵的概念及性质三 初等矩阵四 利用初等行变化求逆矩阵 则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵 一 概念的引入 在数的运算中 当数时 有 其中为的倒数 或称的逆 在矩阵的运算中 单位阵相当于数的乘法运算中 的1 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 使得 二 逆矩阵的概念和性质 例设 说明若是可逆矩阵 则的逆矩阵是唯一的 若设和是的可逆矩阵 则有 可得 所以的逆矩阵是唯一的 即 注若方阵A B满足AB E 则A B互为逆矩阵 逆矩阵的运算性质 证明 证明 定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算 应用广泛 三 初等矩阵 交换矩阵A的第一行和第三行相当于用初等矩阵左乘矩阵A 交换矩阵A的第一列和第三列相当于用初等矩阵右乘矩阵A 定理1设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵 四 利用初等行变化求逆矩阵 定理2可逆矩阵可经过一系列初等行变换化为单位矩阵 那么用同样的初等行变换就把单位阵E变成 于是得到用初等行变换求逆阵的方法 A可逆 可见 当A经过一系列初等行变换变成单位阵E 解 解 A不可逆 线性方程组解的判定 设含有n个未知量 有m个方程式组成的方程组 其中系数 常数都是已知数 是未知量 也称为未知数 当右端常数项 不全为0时 称方程组 1 为非齐次线性方程组 当时 称为齐次线性方程组 即 由个数 组成的一个有序数组 如果将它们依次替代方程组 1 中的 后 1 中的每个方程都变成恒等式 则称这个有序数组为方程组 1 的一个解 显然由 组成的有序数组是齐次线性方程组 2 的一个解 称之为齐次线性方程组 2 的零解 而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时 称之为非零解 非齐次线性方程组 1 的矩阵表示形式为 齐次线性方程组 2 的矩阵表示形式为 例1解线性方程组 行简化阶梯型矩阵 若阶梯型矩阵满足 1 各非零行首非零元均为1 2 各非零行首非零元所在列其他元素均为0称此矩阵为行简化的阶梯型矩阵 R AB 未知量的个数 唯一解 R A 3 无解 无解 R AB R A 2 3 例2解线性方程组 矛盾方程 例3解线性方程组 解先写出增广矩阵 再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵 即 最后一个增广矩阵表示的线性方程组为 将最后一个方程乘 再将项移至等号的右端 得 将其代入第二个方程 解得 再将 代入第一个方程 解得 因此 方程组 3 的解为 其中可以任意取值 4 显然 只要未知量任意取定一个值 如 代入表示式 4 可以得到一组相应的值 从而得到方程组 3 的一个解 由于未知量的取值是任意实数 故方程组 3 的解有无穷多个 由此可知 表示式 4 表示了方程组 3 的所有解 表示式 4 中等号右端的未知量称为自由未知量 用自由未知量表示其他未知量的表示式 4 称为方程组 3 的一般解 当表示式 4 中的未知量取定一个值 如 得到方程组 3 的一个解 称之为方程组 3 的特解 注意 自由未知量的选取不是唯一的 如例3也可以将取作自由未知量 即在 中将最后一个方程乘 再将项移至等号的右端 得 将其代入第二个方程 解出后 再将 代入第一个方程 解出 最后可得方程组 3 的一般解为 其中是自由未知量 5 用消元法解线性方程组的过程中 当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后 要写出相应的方程组 然后再用回代的方法求出解 如果用矩阵将回代的过程表示出来 这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化 使其最终化成一个行简化的阶梯型矩阵 从这个行简化的矩阵中 就可以直接解出或 读出 方程组的解 将例3中的阶梯形矩阵化简为行简化阶梯型矩阵 将此方程组中含的项移到等号的右端 就得到原方程组 3 的一般解 即 其中是自由未