高三数学一轮复习精析教案08《空间几何体》

高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 第 8 讲 空间几何体空间几何体 一 一 课标要求课标要求 1 利用实物模型 计算机软件观察大量空间图形 认识柱 锥 台 球及其简单组 合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 能识别上述的三视图所表示的立体模型 会使用材料 如 纸板 制作模型 会用斜二 侧法画出它们的直观图 3 通过观察用两种方法 平行投影与中心投影 画出的视图与直观图 了解空间图 形的不同表示形式 4 完成实习作业 如画出某些建筑的视图与直观图 在不影响图形特征的基础上 尺寸 线条等不作严格要求 二 二 命题走向命题走向 近几年来 立体几何高考命题形式比较稳定 题目难易适中 解答题常常立足于棱 柱 棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解 而选择题 填空题又经常研究空 间几何体的几何特征和体积表面积 因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结 构特征 培养好空间想能力 预测 2010 年高考对该讲的直接考察力度可能不大 但经常出一些创新型题目 具体 预测如下 1 题目多出一些选择 填空题 经常出一些考察空间想象能力的试题 解答题的 考察位置关系 夹角距离的载体使空间几何体 我们要想像的出其中的点线面间的位置 关系 2 研究立体几何问题时要重视多面体的应用 才能发现隐含条件 利用隐蔽条件 解题 三 三 要点精讲要点精讲 1 柱 锥 台 球的结构特征 1 柱 棱柱 一般的 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形 的公共边都互相平行 由这些面所围成的几何体叫做棱柱 棱柱中两个互相平行的面叫 做棱柱的底面 简称为底 其余各面叫做棱柱的侧面 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 底面是三角形 四边形 五边形 的棱柱分别叫做三棱柱 四棱柱 五棱柱 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体 叫做圆柱 旋转轴叫做圆柱的轴 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面 无论 旋转到什么位置 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱与圆柱统称为柱体 2 锥 棱锥 一般的有一个面是多边形 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 由这些 面所围成的几何体叫做棱锥 这个多边形面叫做棱锥的底面或底 有公共顶点的各个三 角形面叫做棱锥的侧面 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱 底面是三角锥 四边锥 五边锥 的棱柱分别叫做三棱锥 四棱锥 五棱锥 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆锥 旋转轴为圆锥的轴 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的 底面 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面 棱锥与圆锥统称为锥体 3 台 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥 底面和截面之间的部分叫做棱台 原棱 锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面 棱台也有侧面 侧棱 顶点 圆台 用一个平行于底面的平面去截圆锥 底面和截面之间的部分叫做圆台 原圆 锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面 圆台也有侧面 母线 轴 圆台和棱台统称为台体 4 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体 简称 为球 半圆的圆心叫做球的球心 半圆的半径叫做球的半径 半圆的直径叫做球的直径 5 组合体 由柱 锥 台 球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体 2 空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体 画出的空间几何体的图形 他具体包括 1 正视图 物体前后方向投影所得到的投影图 它能反映物体的高度和长度 2 侧视图 物体左右方向投影所得到的投影图 它能反映物体的高度和宽度 3 俯视图 物体上下方向投影所得到的投影图 它能反映物体的长度和宽度 3 空间几何体的直观图 1 斜二测画法 建立直角坐标系 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX OY 建立直角 坐标系 画出斜坐标系 在画直观图的纸上 平面上 画出对应的 O X O Y 使 450 或 1350 它们确定的平面表示水平平面 X OY 画对应图形 在已知图形平行于 X 轴的线段 在直观图中画成平行于 X 轴 且长 度保持不变 在已知图形平行于 Y 轴的线段 在直观图中画成平行于 Y 轴 且长度变 为原来的一半 擦去辅助线 图画好后 要擦去 X 轴 Y 轴及为画图添加的辅助线 虚线 2 平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的 中心投影的投影线相交于一点 四 四 典例解析典例解析 题型 1 空间几何体的构造 例 1 9 如图 已知三棱 锥的底面是直角三角形 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 直角边长分别为 3 和 4 过直角顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面 该三棱锥的主视图 是 答案 B 2 2009 湖南卷理 正方体 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D的棱上到异面直 线 AB C 1 C的距离相等的点的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 解析如图示 则 BC 中点 1 B点 D点 1 D点分别到两 异面直线的距离相等 即满足条件的点有四个 故选 C 项 3 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点 M 是 BC 的中点 点 P 是平面 ABCD 内的一 个动点 且满足 PM 2 P 到直线 A1D1的距离为 则点 P 的轨迹是 5 A 圆 B 双曲线 C 两个点 D 直线 解析 点 P 到 A1D1的距离为 则点 P 到 AD 的距离为 1 满足此条件的 P 的轨5 迹是到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线 又 满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心 半径为 2 的圆 这两种轨2PM 迹只有两个交点 故点 P 的轨迹是两个点 选项为 C 点评 该题考察空间内平面轨迹的形成过程 考察了空间想象能力 例 2 07 江苏 9 两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体 可放棱长为 1 的正方体内 使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行 且各顶点均 在正方体的面上 则这样的几何体体积的可能值 有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 无穷多个 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 解析 由于两个正四棱锥相同 所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心 有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半 影响几何体体积的只能是正四棱 锥底面正方形 ABCD 的面积 问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种 所 以选 D 点评 本题主要考查空间想象能力 以及正四棱锥的体积 正方体是大家熟悉的几 何体 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力 要学会将空间问题向平面问 题转化 题型 2 空间几何体的定义 例 3 2009 四川卷理 如图 在半径为 3 的面上有 A B C三点 90 ABCBABC 球心O到平面ABC的距离是 3 2 2 则 BC 两点的球面距离是 A 3 B C 4 3 D 2 考点定位 本小题考查球的截面圆性质 球面距 基础题 同文 9 解析 由知截面圆的半径 323 2 2 2 23 4 18 9 BCr 故 3 BOC 所以BC 两点的球 面距离为 3 3 故选择 B 解析 2 过球心O作平面ABC的垂线交平面与D ABC BABC 则D在直线 AC上 由于 3 2 2 OD 22 3 2 2 CDOCOD 所以3 2AC 由ABC 为 等腰直角三角形可得3BC 所以OBC 为等边三角形 则 B C两点的球面距离是 3 3 例 4 2009 浙江卷文 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 命题意图 此题主要考查立体几何的线面 面面的位置关系 通过对平行和垂直的 考查 充分调动了立体几何中的基本元素关系 解析 对于 A B D 均可能出现 l 而对于 C 是正确的 点评 对于空间几何体的定义要有深刻的认识 掌握它们并能判断它们的性质 题型 3 空间几何体中的想象能力 例 5 2009 北京卷理 本小题共 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角 的大小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 解法解法 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成 的角 二面角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理 论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 解法解法 2 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP BC AP 又 90BCA BC AC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC E 为 PC 的中点 13131 0 44242 DaaaEaa 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 13131 0 44242 ADaaaAEaa 14 cos 4 AD AE DAE ADAE AD与平面PAC所成的角的大小 14 arccos 4 同解法 1 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 例 6 2009 全国卷 文 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC D E 分别为 AA1 B1C 的中点 DE 平面 BCC1 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 60 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 解析 本题考查线面垂直证明线面夹角的求法 第一问可取解析 本题考查线面垂直证明线面夹角的求法 第一问可取 BC 中点中点 F 通过证明 通过证明 AF 平面平面 BCC1 再证再证 AFAF 为为 BCBC 的垂直平分线 第二问先作出线面夹角 即证四边形的垂直平分线 第二问先作出线面夹角 即证四边形 AFED 是正方形可证平面是正方形可证平面 DEF 平面平面 BDC 从而找到线面夹角求解 此题两问也可建立空间直 从而找到线面夹角求解 此题两问也可建立空间直 角坐标系利用向量法求解 角坐标系利用向量法求解 解法一 取 BC 中点 F 连接 EF 则 EF 1 2 1 B B 从而 EFDA 连接 AF 则 ADEF 为平行四边形 从而 AF DE 又 DE 平面 1 BCC 故 AF 平面 1 BCC 从而 AF BC 即 AF 为 BC 的垂直平分线 所以 AB AC 作 AG BD 垂足为 G 连接 CG 由三垂线定理知 CG BD 故 AGC 为二面角 A BD C 的平面角 由题设知 AGC 600 设 AC 2 则 AG 2 3 又 AB 2 BC 2 2 故 AF 2 由AB ADAG BD 得 2AD 22 2 2 3 AD 解得 AD 2 故 AD AF 又 AD AF 所以四边形 ADEF 为正方形 A C B A 1 B 1 C 1 D E 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 因为 BC AF BC AD AF AD A 故 BC 平面 DEF 因此平面 BCD 平面 DEF 连接 AE DF 设 AE DF H 则 EH DF EH 平面 BCD 连接 CH 则 ECH 为 1 BC与平面 BCD 所成的角 因 ADEF 为正方形 AD 2 故 EH 1 又 EC 1 1 2 BC 2 所以 ECH 300 即 1 BC与平面 BCD 所成的角为 300 解法二 以 A 为坐标原点 射线 AB 为 x 轴的正半轴 建立如 图所示的直角坐标系 A xyz 设 B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则 1 B 1 0 2c E 1 2 2 b c 于是DE 1 2 2 b 0 BC 1 b 0 由 DE 平面 1 BCC知 DE BC DE BC 0 求得 b 1 所以 AB AC 设平面 BCD 的法向量 ANx y z 则0 0 AN BCAN BD 又BC 1 1 0 BD 1 0 c 故 0 0 xy xcz 令 x 1 则 y 1 z 1 c AN 1 1 1 c 又平面ABD的法向量AC 0 1 0 由二面角CBDA 为 60 知 ACAN 60 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 所以CB1与平面BCD所成的角为 30 题型 4 斜二测画法 例 7 画正五棱柱的直观图 使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm 解析 先作底面正五边形的直观图 再沿平行于 Z 轴方向平移即可得 作法 1 画轴 画 X Y Z 轴 使 X O Y 45 或 135 X O Z 90 2 画底面 按 X 轴 Y 轴画正五边形的直观图 ABCDE 3 画侧棱 过 A B C D E 各点分别作 Z 轴的平行线 并在这些平行线上分 别截取 AA BB CC DD EE 4 成图 顺次连结 A B C D F 加以整理 去掉辅助线 改被遮 挡的部分为虚线 点评 用此方法可以依次画出棱锥 棱柱 棱台等多面体的直观图 例 8 是正 ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图 若的面CBA CBA 积为 那么 ABC 的面积为 3 解析 62 点评 该题属于斜二测画法的应用 解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素 之间的对应关系 特别底和高的对应关系 题型 5 平行投影与中心投影 例 9 1 如图 在正四面体 A BCD 中 E F G 分别是三角形 ADC ABD BCD 的中心 则 EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 A BC D EF G 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 A B C D 2 2009 宁夏海南卷理 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 每条侧棱的长都是地面边长的2倍 P 为 侧棱 SD 上的点 求证 AC SD 若 SD 平面PAC 求二面角 P AC D 的大小 在 的条件下 侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在 求 SE EC 的值 若不存在 试说明理由 解法一 连 BD 设 AC 交 BD 于 O 由题意SOAC 在正方形 ABCD 中 ACBD 所以ACSBD 平面 得ACSD 设正方形边长a 则2SDa 又 2 2 ODa 所以 0 60SOD 连OP 由 知ACSBD 平面 所以ACOP 且ACOD 所以POD 是二面角PACD 的平面角 由SDPAC 平面 知SDOP 所以 0 30POD 即二面角PACD 的大小为 0 30 在棱 SC 上存在一点 E 使 BEPAC平面 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 由 可得 2 4 PDa 故可在SP上取一点N 使PNPD 过N作PC的平 行线与SC的交点即为E 连 BN 在BDNA中知 BNPO 又由于 NEPC 故平面 BENPAC平面 得 BEPAC平面 由于21SNNP 故21SEEC 解法二 连BD 设AC交于BD于O 由题意知SOABCD 平面 以 O 为坐 标原点 OBOC OS 分别为x轴 y轴 z轴正方向 建立坐标系Oxyz 如图 设底面边长为a 则高 6 2 SOa 于是 62 0 0 0 0 22 Sa Da 2 0 0 2 Ca 2 0 0 2 OCa 26 0 22 SDaa 0OC SD 故 OCSD 从而 ACSD 由题设知 平面PAC的一个法向量 26 0 22 DSaa 平面 DAC的一个法向量 6 0 0 2 OSa 设所求二面角为 则 3 cos 2 OS DS OS DS 所求二面角的大小为 0 30 在棱SC上存在一点E使 BEPAC平面 由 知DS是平面PAC的一个法向量 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 且 2626 0 0 2222 DSaa CSaa 设 CEtCS 则 226 1 222 BEBCCEBCtCSaatat 而 1 0 3 BE DCt 即当 2 1SE EC 时 BEDS 而BE不在平面PAC内 故 BEPAC平面 例 10 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体的一个顶点 A 在平面内 其余顶点在的同侧 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到的距离分 别为 1 2 和 4 P 是正方体的其余四个顶点中的一个 则 P 到平面的距离可能是 3 4 5 6 7 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 解析 如图 B D A1到平面的距离分别为 1 2 4 则 D A1的中点到平面的距离为 3 所 以 D1到平面的距离为 6 B A1的中点到平面 的距离为 所以 B1到平面的距离为 5 则 5 2 D B 的中点到平面的距离为 所以 C 到平面 3 2 的距离为 3 C A1的中点到平面的距离为 7 2 所以 C1到平面的距离为 7 而 P 为 C C1 B1 D1中的一点 所以选 点评 该题将计算蕴涵于射影知识中 属于难得的综合题目 题型 6 三视图 例 11 1 画出下列几何体的三视图 解析 这二个几何体的三视图如下 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A1 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 2 如图 设所给的方向为物体的正前方 试画出它的三视图 单位 cm 点评 画三视图之前 应把几何体的结构弄清楚 选择一个合适的主视方向 一般 先画主视图 其次画俯视图 最后画左视图 画的时候把轮廓线要画出来 被遮住的轮 廓线要画成虚线 物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律 例 12 某物体的三视图如下 试判断该几何体的形状 解析 该几何体为一个正四棱锥分析 三视图是从三个不同的方向看同一物体得到 的三个视图 点评 主视图反映物体的主要形状特征 主要体现物体的长和高 不反映物体的宽 而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等 左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等 据此就不难得出该几何体的形状 五 五 思维总结思维总结 1 几种常凸多面体间的关系 高考学习网 中国最大高考学习网站 G 我们负责传递知识 2 一些特殊棱柱 棱锥 棱台的概念和主要性质 名称棱柱直棱柱正棱柱 图 形