高三数列复习讲义

1 1 复习数列复习数列 1 数列 是按照一定顺序排列而成的一列数 从函数角度看 这种顺序法则就是函数 的对应法则 因此数列可以看作是一个特殊的函数 其特殊性在于 第一 定义域是正整 数集或其子集 第二 值域是有顺序的 不能用集合符号表示 研究数列 首先研究对应法则 通项公式 an f n n N 要能合理地由数列前 n 项写出通项公式 其次研究前 n 项和公式 Sn Sn a1 a2 an 由 Sn定义 得到数列中的 重要公式 2nSS 1nS a 1nn 1 n 一般数列的 an及 Sn 除化归为等差数列及等比数列外 求 Sn还有下列基本题型 列 项相消法 错位相消法 2 等差数列 1 定义 an 为等差数列an 1 an d 常数 n N 2an an 1 an 1 n 2 n N 2 通项公式 an an n 1 d an am n m d 前 n 项和公式 2 aa n d 2 1n n naS n1 1n 3 性质 an an b 即 an是 n 的一次型函数 系数 a 为等差数列的公差 Sn an2 bn 即 Sn是 n 的不含常数项的二次函数 若 an bn 均为等差数列 则 an nn kan c k c 为常数 均为等差 k 1i k a 数列 当 m n p q 时 am an ap aq 特例 a1 an a2 an 1 a3 an 2 当 2n p q 时 2an ap aq 当 n 为奇数时 S2n 1 2n 1 an S奇 a中 S偶 a中 2 1n 2 1n 3 等比数列 1 定义 q q 为常数 an 0 an2 an 1an 1 n 2 n N n 1n a a 2 通项公式 an a1qn 1 an amqn m 前 n 项和公式 1q q1 qaa q1 q1 a 1qna S n1 n 1 1 n 3 性质 当 m n p q 时 aman apaq 特例 a1an a2an 1 a3an 2 当 2n p q 时 an2 apaq 数列 kan 成等比数列 k 1i i a 2 2 4 等差 等比数列的应用 1 基本量的思想 常设首项 公差及首项 公比为基本量 借助于消元思想及解方 程组思想等 2 灵活运用等差数列 等比数列的定义及性质 简化计算 3 若 an 为等差数列 则 为等比数列 a 0 且 a 1 n a a 若 an 为正数等比数列 则 logaan 为等差数列 a 0 且 a 1 一 一 典型例题典型例题 例 1 已知数列 an 为等差数列 公差 d 0 其中 恰为等比数列 1 k a 2 k a n k a 若 k1 1 k2 5 k3 17 求 k1 k2 kn 例 2 设数列 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 S7 7 S15 75 Tn为数 列 的前 n 项和 求 Tn n Sn 例 3 正数数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 求 1aS2 nn 1 数列 an 的通项公式 2 设 数列 bn 的前 n 项的和为 Bn 求证 Bn 1nn n aa 1 b 2 1 3 3 例 4 等差数列 an 中 前 m 项的和为77 m 为奇数 其中偶数项的和为33 且 a1 am 18 求这个数列的通项公式 例 5 设 an 是等差数列 已知 b1 b2 b3 b1b2b3 求等差数列的 n a n 2 1 b 8 21 8 1 通项 an 例 6 已知 an 是首项为 2 公比为的等比数列 Sn为它的前 n 项和 2 1 1 用 Sn表示 Sn 1 2 是否存在自然数 c 和 k 使得成立 2 cS cS k 1k 4 4 例 7 某公司全年的利润为 b 元 其中一部分作为资金发给 n 位职工 资金分配方案 如下 首先将职工按工作业绩 工作业绩均不相等 从大到小 由 1 到 n 排序 第 1 位职 工得资金元 然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工 按此方法将资金逐一发给每位职工 n b 并将最后剩余部分作为公司发展基金 1 设 ak 1 k n 为第 k 位职工所得资金额 试求 a2 a3 并用 k n 和 b 表示 ak 不必证明 2 证明 ak ak 1 k 1 2 n 1 并解释此不等式关于分配原则的实际意义 5 5 二 二 同步练习同步练习 一 一 选择题选择题 1 已知 a b a b 成等差数列 a b ab 成等比数列 且 0 logmab1 B 1 m8 D 0 m8 2 设 a 0 b 0 a x1 x2 b 成等差数列 a y1 y2 b 成等比数列 则 x1 x2与 y1 y2的大小关系是 A x1 x2 y1 y2 B x1 x2 y1 y2C x1 x2y1 y2 1 已知 Sn是 an 的前 n 项和 Sn Pn P R n N 那么数列 an A 是等比数列 B 当 P 0 时是等比数列 C 当 P 0 P 1 时是等比数列 D 不是等比数列 2 an 是等比数列 且 an 0 a2a4 2a3a5 a4a6 25 则 a3 a5等于 A 5 B 10 C 15 D 20 3 已知 a b c 成等差数列 则二次函数 y ax2 2bx c 的图象与 x 轴交点个数是 A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 4 设 m N log2m 的整数部分用 F m 表示 则 F 1 F 2 F 1024 的值是 A 8204 B 8192 C 9218 D 8021 7 若 x 的方程 x2 x a 0 和 x2 x b 0 a b 的四个根可组成首项为的等差数列 4 1 则 a b 的值为 A B C D 8 3 24 11 24 13 72 31 8 在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数和是 A 1557 B 1473 C 1470 D 1368 9 从材料工地运送电线杆到 500m 以外的公路 沿公路一侧每隔 50m 埋栽一根电线杆 已知每次最多只能运 3 根 要完成运载 20 根电线杆的任务 最佳方案是使运输车运行 A 11700m B 14700m C 14500m D 14000m 10 已知等差数列 an 中 a3 a9 公差 d0 n N 满足 n N 则 n blgblgblg an n21 an 为等差数列是 bn 为等比数列的 条件 14 长方体的三条棱成等比数列 若体积为 216cm3 则全面积的最小值是 cm2 15 若不等于 1 的三个正数 a b c 成等比数列 则 2 logba 1 logca 三 解答题 16 已知一个等比数列首项为 1 项数是偶数 其奇数项之和为 85 偶数项之和为 170 求这个数列的公比和项数 17 已知等比数列 an 的首项为 a1 0 公比 q 1 q 1 设数列 bn 的通项 bn an 1 an 2 n N 数列 an bn 的前 n 项和分别记为 An Bn 试比较 An与 Bn大小 18 数列 an 中 a1 8