2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版).doc

2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z=1+i，则的值等于（）AiBiC1D12设全集U=0，1，2，A=x|x2+ax+b=0，若UA=0，1，则实数a的值为（）A2B2C4D43阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入的n=3，则输出的结果为（）A6B7C8D94Sn是等比数列an的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列an的公比q等于（）AB2C2D5已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（）Ax2=1Bx2=1C =1D =16设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（）AB2C4D57现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A2B3C4D58已知命题p：y=sin（x）在（0，）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq9在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（）ABCD10过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F且倾斜角为45的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（）A8B8C12D1611已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20的球面上，则a的值等于（）A3B2C3D312已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x33x2+3x（0x2）上，点Q在直线y=3x14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知ABC为等边三角形，在方向上的投影为2， =3，则=_14（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为_15已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是_16若数列an满足+=，且对任意的nN*，存在mN*，使得不等式anam恒成立，则m的值是_三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）（）求ABC；（）若A=，D为ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值18某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（）试估计该校学生在校月消费的平均数；（）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为，求的分布列及数学期望（）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？19如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，PA=3，AD=4，AC=2，ADC=60，E为线段PC上一点，且=（）求证：CDAE；（）若平面PAB平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求的值20已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M记点M的轨迹为曲线过x轴上的定点Q（m，0）（m2）的直线l交曲线于A，B两点（）求曲线的方程；（）设点A关于x轴的对称点为A，证明：直线AB恒过一个定点S，且|OS|OQ|=421已知函数f（x）=+（a1）x+lnx（）若a1，求函数f（x）的单调区间；（）若a1，求证：（2a1）f（x）3ea3四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，已知A和B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与A相切，B半径为2，AE=3（）求弦CD的长；（）B与线段AB相交于点F，延长CF与A相交于点G，求CG的长选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）若点A，B为曲线C上的两点，且OAOB，求|OA|OB|的最小值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|xa|（a0）（）当a=1时，求不等式f（x）x的解集；（）当x时，不等式f（x）+t2+2t+30对任意tR恒成立，求实数a的取值范围2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z=1+i，则的值等于（）AiBiC1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把z=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：数z=1+i，=，故选：A2设全集U=0，1，2，A=x|x2+ax+b=0，若UA=0，1，则实数a的值为（）A2B2C4D4【考点】补集及其运算【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2，进行求解即可【解答】解：UA=0，1，A=2，即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2，则=2，即a=4，故选：D3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入的n=3，则输出的结果为（）A6B7C8D9【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值，满足条件时退出循环，输出相应的i的值，模拟程序的运行过程，可得答案；【解答】解：模拟执行程序，可得n=3，i=0不满足条件n是偶数，n=10，i=1不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=5，i=2不满足条件n=1，执行循环体，不满足条件n是偶数，n=16，i=3不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=8，i=4不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=4，i=5不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=2，i=6不满足条件n=1，执行循环体，满足条件n是偶数，n=1，i=7满足条件n=1，退出循环，输出i的值为7故选：B，4Sn是等比数列an的前n项和，若S2，S4，S3成等差数列，则数列an的公比q等于（）AB2C2D【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出【解答】解：S2，S4，S3成等差数列，2S4=S3+S2，2a1（1+q+q2+q3）=a1（2+2q+q2），化为：1+2q=0，解得q=故选：D5已知双曲线的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则该双曲线的方程可以是（）Ax2=1Bx2=1C =1D =1【考点】双曲线的简单性质【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2，离心率的值，建立方程关系求出a，b的值即可得到结论【解答】解：设双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=，取bxay=0，所以焦点到渐近线的距离d=2，离心率e=，c=，则c2=a2+b2，即3a2=a2+4，即2a2=4，则a2=2，则该双曲线的方程可以是=1，故选：C6设x，y满足条件且z=x+y+a（a为常数）的最小值为4，则实数a的值为（）AB2C4D5【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y+a为y=x+za，由图可知，当直线y=x+za过点A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2+0+a=4，即a=2故选：B7现有A，B两个箱子，A箱装有红球和白球共6，B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个现甲从A箱中任取2个球，乙从B箱中任取1个球若取出的3个球恰有两球颜色相同，则甲获胜，否则乙获胜为了保证公平性，A箱中的红球个数应为（）A2B3C4D5【考点】概率的意义【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球；从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球；从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，这个事件的概率是【解答】解：设A箱中有x个红球，则有（6x）个白球，从6个球任取2个共有C62=15种，取出的3个球中有两个颜色相同包括：从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球，其概率为2，从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球，其概率为（+），从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球，期概率为（+），故2+（+）+（+）=，解得x=5，故答案为：58已知命题p：y=sin（x）在（0，）上是减函数；命题q：“a=”是“直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件则下列命题为真命题的是（）ApqBpqCpqDpq【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假【解答】解：0x，x，y=sin（x）在（0，）上是增函数，命题p是假命题；若a=，则f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），对称轴x+=k+，x=k+，是充分条件，若直线x=为曲线f（x）=sinx+acosx的一条对称轴，则f（x）=f（+x） 当x=即f（0）=f（）f（0）=a=f（）=+，解得a=，故命题q是真命题；则命题pq是真命题，故选：C9在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，0，0），（2，1，1），（0，1，1）若画该四面体三视图时，正视图以zOy平面为投影面，则得到的侧视图是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】由题意，利用空间直角坐标系，借助于正方体在坐标系中画出几何体，再画出它的侧视图【解答】解：由题意，画出直角坐标系，在坐标系中各点对应位置如图所示；以平面zOy为投影面，得到的侧视图如图所示：故选：C10过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F且倾斜角为45的直线交C于A，B两点，若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，则p的值为（）A8B8C12D16【考点】抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点，设出直线AB的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=2px的焦点F为（，0），设直线AB的方程为y0=x，即为y=x，代入抛物线的方程，可得x23px+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，x1x2=，y1+y2=2p由抛物线的定义可得，|AB|=x1+x2+p=4p以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16，4p2=（8）2+p2，p=8故选：A11已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20的球面上，则a的值等于（）A3B2C3D3【考点】球内接多面体【分析】由题意画出几何体的图形，推出四面体的外接球的球心的位置，利用球的半径建立方程，即可求出a的值【解答】解：表面积为20的球的半径为画出几何体的图形，BC=a，BC的中点为O，连接AO，DO，则AOBC，DOBC，BC平面AOD，取AD的中点E，则OEAD，球的球心在AD的中点E与O的连线上，设球心为G，OA=OD=，AD=2，OE=设球的半径为R，GE=x，则R2=5=3+x2=+（x）2，x=，a=3故选：C12已知点A（1，1），点P在曲线f（x）=x33x2+3x（0x2）上，点Q在直线y=3x14上，M为线段PQ的中点，则|AM|的最小值为（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出f（x）的导数，令导数为3，求得切线的方程，以及中点M所在直线的方程，运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离，即可得到最小值【解答】解：f（x）=x33x2+3x的导数为f（x）=3x26x+3，令f（x）=3，解得x=0或2，可得与直线y=3x14平行，且与y=f（x）图象相切的直线为y=3x或y=3x4，可得中点M所在直线的方程为y=3x7或y=3x9，由图象可得A到直线y=3x7的距离为=，A到直线y=3x9的距离为=即有|AM|的最小值为，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知ABC为等边三角形，在方向上的投影为2， =3，则=4【考点】平面向量数量积的运算【分析】先由，在方向上的投影为2，求出三角形的边长为4，再根据=（）即可求出答案【解答】解：ABC为等边三角形，在方向上的投影为2，|=2，AB=AC=BC=4，=（）=（）=|2=4244=4，故答案为：414（1+2x）（x+）5展开式中x的系数为40【考点】二项式系数的性质【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，分别由m的展开式可得【解答】解：展开式的x项来源于第一个括号的1和m=（x+）5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=（x+）5展开式的常数项的乘积，又m=（x+）5的通项为Tk+1=x5k（）k=2kx52k，令52k=1可得k=2，故m展开式中含x的项为40x，令52k=0可得k=Z，故m展开式中无常数项，原式展开式中x的系数为40，故答案为：4015已知函数f（x）=若函数g（x）=f（x）x恰有两个零点，则实数a的取值范围是【考点】函数的图象；函数零点的判定定理【分析】画出函数f（x）=的图象，若函数g（x）=f（x）x恰有两个零点，则函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点，数形结合可得答案【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：当x0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，即函数g（x）=f（x）x恰有一个零点，故x0时，函数g（x）=f（x）x也恰有一个零点，即x0时，函数f（x）的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点，故a0，y=x与y=x2+a相切，解得：a=，故实数a的取值范围是：，故答案为：16若数列an满足+=，且对任意的nN*，存在mN*，使得不等式anam恒成立，则m的值是5【考点】数列与不等式的综合【分析】通过作差可知数列an的通项公式，计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规律，进而即得结论【解答】解：+=，当n2时， +=，两式相减得： =，an=（2n1）（n2），又=不满足上式，an=，a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，且易知从第六项开始数列递减，m=5，故答案为：5三、解答题：本大题共5小题，满分60分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）（）求ABC；（）若A=，D为ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC0，可求tanB=1，结合范围B（0，），即可求得B的值（）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22212cosD=54cosD，由已知及（）可知，利用三角形面积公式可求SABC，SBDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值【解答】（本题满分为12分）解：（）在ABC中，a=b（sinC+cosC），sinA=sinB（sinC+cosC），sin（BC）=sinB（sinC+cosC），sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，cosBsinC=sinBsinC，又C（0，），故sinC0，cosB=sinB，即tanB=1 又B（0，）， （）在BCD中，DB=2，DC=1，BC2=12+22212cosD=54cosD 又，由（）可知，ABC为等腰直角三角形，又， 当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为18某职业学校有2000名学生，校服务部为了解学生在校的月消费情况，随机调查了100名学生，并将统计结果绘成直方图如图：（）试估计该校学生在校月消费的平均数；（）根据校服务部以往的经验，每个学生在校的月消费金额x（元）和服务部可获得利润y（元），满足关系式：根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：（）对于任意一个学生，校服务部可获得的利润记为，求的分布列及数学期望（）若校服务部计划每月预留月利润的，用于资助在校月消费低于400元的学生，那么受资助的学生每人每月可获得多少元？【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数（）（）月消费值落入区间200，400）、400，800）、800，1200的频率分别为0.05、0.80、0.15，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和E（ii）先求出服务部的月利润，再求出受助学生人数，由此能求出每个受助学生每月可获得多少元【解答】解：（）由频率分布直方图得学生月消费的平均数：=680（）（）月消费值落入区间200，400）、400，800）、800，1200的频率分别为0.05、0.80、0.15，P（=20）=0.05，P（=40）=0.80，P（=80）=0.15，的分布列为： 20 40 80 P 0.05 0.80 0.15E=200.05+400.80+800.15=45（ii）服务部的月利润为452000=90000（元），受助学生人数为20000.05=100，每个受助学生每月可获得90000100=200（元）19如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，PA=3，AD=4，AC=2，ADC=60，E为线段PC上一点，且=（）求证：CDAE；（）若平面PAB平面PAD，直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为，求的值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）由PA平面ABCD得出PACD，在ACD中使用正弦定理可得ACD=90，故而CD平面PAC，于是CDAE；（II）由面面垂直可得ABAD，以A为原点建立空间直角坐标系，求出和平面PBC的法向量，则|cos|=，列方程解出即可【解答】证明：（）在ADC中，AD=4，ADC=60，由正弦定理得：，即，解得sinACD=1，ACD=90，即DCACPA平面ABCD，CD平面ABCD，DCPA又ACPA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，CD平面PACAE平面PAC，CDAE（）PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，PAAB，PAADBAD即为二面角BPAD的平面角平面PAB平面PAD，BAD=90以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则， =（，3，3）. =（0，0，3）=（，3，3），=（，3，33）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令，得=（，0，1）设直线AE与平面PBC所成的角为，则，或20已知点F（1，0），点P在圆E：（x+1）2+y2=16上，线段PF的垂直平分线交PE于点M记点M的轨迹为曲线过x轴上的定点Q（m，0）（m2）的直线l交曲线于A，B两点（）求曲线的方程；（）设点A关于x轴的对称点为A，证明：直线AB恒过一个定点S，且|OS|OQ|=4【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【分析】（I）利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出（）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上设直线l的方程为y=k（xm），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为S（s，0）则A（x1，y1），直线方程与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x28k2mx+4k2m212=0，利用根与系数的关系，及其A，B，S三点共线，进而得出【解答】解：（）由题意可知，|MP|=|MF|，|ME|+|MF|=4，|ME|+|MF|EF|，点M的轨迹是以点F（1，0）和E（1，0）为焦点，2a=4的椭圆，曲线的方程为（）由椭圆的对称性可得，定点S必在x轴上设直线l的方程为y=k（xm），A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为S（s，0）则A（x1，y1），=（x1s，y1），=（x2s，y2），由得，（3+4k2）x28k2mx+4k2m212=0，0，即（4m2）k2+30，当k0时，由A，B，S三点共线，可得（x1s）y2+（x2s）y1=0，即k（x1s）（x2m）+k（x2s）（x1m）=0，2x1x2（s+m）（x1+x2）+2sm=0，即，k=0时，直线AB与x轴重合，过点综上述，直线AB恒过一个定点，且=421已知函数f（x）=+（a1）x+lnx（）若a1，求函数f（x）的单调区间；（）若a1，求证：（2a1）f（x）3ea3【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求导，令f（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；（）a1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a1，因此（2a1）f（x）（2a1）（a1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，=3，可知g（a）3，ea30，即可证明（2a1）f（x）3ea3【解答】解：（）f（x）=+（a1）x+lnx，x0则f（x）=ax+（a1）+=，令f（x）=0，解得x1=1，x2=，当1，解得1a0，1a0，f（x）0的解集为（0，1），（，+），f（x）0的解集为（1，），函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（，+），函数f（x）的单调递减区间为（1，）；当1，解得a0，a0，f（x）0的解集为（0，1），f（x）0的解集为（1，+）；当a0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+）；综上可知：1a0，函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（，+），函数f（x）的单调递减区间为（1，）；a0，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），函数f（x）的单调递减区间为（1，+）；（）证明：a1，故由（）可知函数f（x）的单调递增区间为（0，1）单调递减区间为（1，+），f（x）在x=1时取最大值，并且也是最大值，即f（x）max=a1，又2a10，（2a1）f（x）（2a1）（a1），设g（a）=，g（a）=，g（a）的单调增区间为（2，），单调减区间为（，+），g（a）g（）=，23，=3，g（a）3，ea30，（2a1）f（x）3ea3四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，已知A和B的公共弦CD与AB相交于点E，CB与A相切，B半径为2，AE=3（）求弦CD的长；（）B与线段AB相交于点F，延长CF与A相交于点G，求CG的长【