直线的交点坐标和距离公式.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.归纳知识整合1两条直线的交点设两条直线的方程为l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则两条直线的交点坐标就是方程组的解，(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立探究1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合2距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| 点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d探究2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等自测牛刀小试1(教材习题改编)原点到直线x2y50的距离是()A1B.C2 D.解析：选Dd.2点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为()A10 B5C8 D6解析：选A设A(a,0)，B(0，b)，则a6，b8，即A(6,0)，B(0,8)所以|AB|10.3若三条直线2x3y80，xy10和xby0相交于一点，则b()A1 BC2 D.解析：选B由得将其代入xby0，得b.4已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_解析：设直线l1的方程为xy0，则，解得1或3.即直线l1的方程为xy10或xy30.答案：xy10或xy305点(2,3)关于直线xy10的对称点是_解析：设对称点为(a，b)，则解得答案：(4，3)两条直线的交点问题例1(1)经过直线l1：xy10与直线l2：xy30的交点P，且与直线l3：2xy20垂直的直线l的方程是_(2)已知两直线l1：mx8yn0与l2：2xmy10，若l1与l2相交，则实数m，n满足的条件是_自主解答(1)法一：由方程组解得即点P(2,1)，l3l，k，直线l的方程为y1(x2)，即x2y0.法二：直线l过直线l1和l2的交点，可设直线l的方程为xy1(xy3)0，即(1)x(1)y130.l与l3垂直，2(1)(1)0，解得.直线l的方程为xy0，即x2y0.(2)因为两直线l1与l2相交，所以当m0时，l1的方程为y，l2的方程为x，两直线相交，此时m，n满足条件m0，nR；当m0时，由两直线相交所以，解得m4，此时，m，n满足条件m4，nR.答案(1)x2y0(2)m4，nR若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程解：由方程组解得 即点P(2，1)又ll3，即k2，故直线l的方程为y12(x2)，即2xy50.经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1xB1yC10和A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(这个直线系方程中不包括直线A2xB2yC20)或m(A1xB1yC1)n(A2xB2yC2)0.1设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明：(1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，则有k1k2，代入k1k220得kk2，显然不成立，与已知矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标为，而2x2y22221，即交点P(x，y)在椭圆2x2y21上距离公式的应用例2已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由自主解答(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过P点与原点O的距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线求两条平行线间距离的两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平行线间的距离公式2已知A(4，3)，B(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点P，使|PA|PB|，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a，b)A(4，3)，B(2，1)，线段AB的中点M的坐标为(3，2)而AB的斜率kAB1，线段AB的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点P(a，b)在上述直线上，ab50.又点P(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，由联立可得或所求点P的坐标为(1，4)或.对 称 问 题例3已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程自主解答(1)设A(x，y)，再由已知解得故A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.求点关于直线对称问题的基本方法(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；(2)已知点与对称点的中点在对称轴上利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题3直线y2x是ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A(4,2)，B(3,1)，求点C的坐标解：把A，B两点的坐标代入y2x知，A，B不在直线y2x上，因此y2x为ACB的平分线，设点A(4,2)关于y2x的对称点为A(a，b)，则kAA，线段AA的中点坐标为，解得A(4，2)y2x是ACB平分线所在直线的方程，A在直线BC上，直线BC的方程为，即3xy100.由解得C(2,4)1条规律与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线AxByC0(A2B20)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：BxAym0；(2)平行：AxByn0.1种思想转化思想在对称问题中的应用一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决2个注意点判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；(2)运用两平行直线间的距离公式d的前提是将两方程中的x，y的系数化为分别相等. 创新交汇新定义下的直线方程问题1直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中2解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中典例(2013上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义OP|x|y|，其中O为坐标原点对于以下结论：符合OP1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设P为直线x2y20上任意一点，则OP的最小值为1；其中正确的结论有_(填上你认为正确的所有结论的序号)解析由OP1，根据新定义得，|x|y|1，上式可化为yx1(0x1)，yx1(1x0)，yx1(1x0)，yx1(0x1)，画出图象如图所示根据图形得到四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故正确；当点P为时，OP|x|y|01，所以OP的最小值不为1，故错误；所以正确结论有.答案1本题有以下创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同2解决本题的关键有以下两点(1)根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到OP的最小值为1是假命题3在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直线ykx把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积(1)求Sf(k)的函数表达式；(2)当k为何值时，直线ykx将四边形OABC分为面积相等的两部分解：(1)如图所示，由题意得kOB.当k时，直线ykx与线段AB：2xy14相交，由解得交点为P1.因为点P1到直线OA：x3y0的距离为d，所以S|OA|d；当k4或m4 B4m3或m3 D3m4或m4.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7已知坐标平面内两点A(x，x)和B，那么这两点之间距离的最小值是_解析：d .即最小值为.答案：8与直线xy20平行，且它们的距离为2的直线方程是_解析：设与直线xy20平行的直线方程为xyc0，则2，得c2或c6，即所求直线方程为xy20或xy60.答案：xy20或xy609平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为_(将你认为所有正确的序号都填上)0123解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k0,1,2时均符合题意答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，求直线l的方程解：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.11光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.12已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点P，(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，3，解得2或.l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d|PA|(当lPA时等号成立)dmax|PA|.1记直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直时m的取值集合为M，直线xny30与直线nx4y60平行时n的取值集合为N，则MN_.解析：当直线(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直时，m满足(m2)(m2)3m(m2)0，解得m或m2，故M；直线xny30与直线nx4y60平行，当n0时，显然两直线不平行；当n0时，两直线平行的充要条件是，即n2，所以N2故MN.答案：2已知 A(3,1)、B(1,2)，若ACB的平分线在yx1上，则AC所在直线方程是_解析：设点A关于直线yx1对称的点A为(x0，y0)，则解得即A(0,4)故直线AB的方程为2xy40.由得即C(3，2)故直线AC的方程为x2y10.答案：x2y103已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：xy10，l2：xy60截得的线段长为5，求直线l的方程解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，4)，B(3，9)，截得的线段长|AB|49|5，符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y