高中基本不等式练习.docx

高中基本不等式练习51若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 （ ）A8 B12 C16 D20【答案】C【解析】试题分析：因为，直线始终平分圆的周长，所以圆心（-4，-1）在直线上，从而，4a+b=1，所以，故选C。考点：本题主要考查直线与圆的位置关系，均值定理的应用。点评：小综合题，本解法通过“1”的代换，创造了应用均值定理的条件。应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。2已知正数，满足，则的最小值为( )A1BCD【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于正数，满足，而可知=，可知当过点时函数z=2x+y最大，此时最小，且为，故选C.考点：均值不等式点评：解决的关键是根据不等式的表示的平面区域，来结合均值不等式来求解，属于基础题。3若a1, 则 的最小值是 ( )A2 B.4 C.1 D.3【答案】D【解析】试题分析：根据题意，一正二定三相等可知，a1, 则 ,当且仅当a-1=1,a=2取得等号，故答案为D.考点：均值不等式点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题。4若正实数满足，则A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值【答案】C【解析】试题分析：因为正实数满足，所以所以有最小值4，所以A不正确；而，所以有最大值，所以B不正确；，所以C正确；所以D不正确.考点：本小题主要考查基本不等式及其变形的应用.点评：应用基本不等式时，要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.5若正数满足，则的最小值是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为，正数满足，所以，=，的最小值是5，故选D。考点：本题主要考查均值定理的应用。点评：简单题，应用均值定理，应注意“一正，二定，三相等”，缺一不可，并注意创造应用定理的条件。6若，则函数的最小值为（ ）A. B. C. D.非上述情况【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于，则函数，故答案为B考点：均值不等式点评：解决该试题的关键是根据已知的变量为正数，利用均值不等式的思想求解最值，属于基础题。7若且满足，则的最小值是（ ）A. B. C.7 D.6【答案】C【解析】试题分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值解：由x+3y-2=0得x=2-3y，代入3x+27y+1=32-3y+27y+1=+27y+1，0，27y0，+27y+17，当=27y时，即y=，x=1时等号成立，故3x+27y+1的最小值为7，故选C考点：基本不等式点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件8下列各式中，最小值等于的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：解：A不正确，例如 x，y的符号相反时，式子的最小值不可能等于2 B不正确，=+2，但等号不可能成立，故最小值不是2 C不正确，当tan0时，它的最小值显然不是2 D正确，2x+2-x=2x+2，当且仅当 x=0时，等号成立，故选D考点：基本不等式点评：考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法9已知，则的最小值是 ( )A B C D【答案】C【解析】试题分析：由于，那么对于，当b=2a时等号成立，故选C.考点：均值不等式点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值的运用，属于基础题。10若，且，则下列不等式中，恒成立的是 ()A B C D 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于选项A中，由于，且，说明a,b同号，则满足，成立。对于B，由于，只有a,b都是正数时成立，故不一定成立。，对于C，由于当a=-b时等号成立，故错误,对于D，由于，a,b只有正数的时候成立，故错误，选A.考点：不等式性质运用点评：解决的关键是利用不等式的性质以及均值不等式来比较大小，属于基础题。11如果，那么的最小值是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于，那么可知，当a=1时等号成立，故答案为3.考点：均值不等式的运用点评：主要是考查了运用均值不等式来求解函数的最值的运用属于基础题。12若且满足，则的最小值是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析： ，当且仅当即时，等号成立，故选D考点：本题考查了基本不等式的运用点评：某些代数式需要经过一定的变形处理后方可利用均值不等式加以求解，所以要掌握均值不等式的变形形式13已知是不相等的正数，且，则的取值范围是A B C D 【答案】B【解析】试题分析：是不相等的正数，且，由于是不相等的正数，且即可知，解二次不等式可知，取值范围，选B.考点：均值不等式点评：解决关键是根据不等式的性质，结合重要不等式，进行求解范围，属于基础题。14已知则的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于那么可知 ，可知答案为C.考点：均值不等式的运用点评：解决的关键是根据均值不等式中和为定值，积有最大值，来得到，属于基础题。15若对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界,若，则的上确界是( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由，则,当且仅当b=2a取得等号，故可知，因此答案选A.考点：新定义点评：本题重点考查新定义，考查基本不等式的运用，解题的关键是利用基本不等式求出 的最小值16若且，则的最小值是（ ）A.B. 1C. 4D. 8【答案】C【解析】试题分析：又因为，所以，当且仅当时取等号.考点：本小题主要考查基本不等式和“1”的整体代换的应用.点评：应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.17若正数满足,则的最小值是（ ）A6 B5 C D【答案】B【解析】试题分析：因为 所以， 所以当且仅当 ，即 取等号.考点：基本不等式点评：本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑.18已知,且,则的最小值为（ ） A B C D【答案】C【解析】试题分析：,且,所以故的最小值为考点：基本不等式点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题19函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中mn0，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】试题分析：由题意可得函数的图像恒过定点A（1，1），又点A在直线mx+ny-2=0=0上，m+n=2，=，当且仅当，时取“=”可得m=n=1，所以的最小值为2，故选B考点：本题考查了基本不等式的应用点评：基本不等式是求解二元最值问题的常用方法，本题用到了“1”的代换及函数图象过定点问题，解题过程中用到了转化的思想，是一道基础题20若关于的不等式对一切恒成立，则 【答案】【解析】试题分析：设恒成立，时，时 考点：不等式点评：本题中的不等式恒成立问题转化为求函数最值的问题，结合对勾函数的性质可知函数的最值21已知，则的最小值为 【答案】9【解析】试题分析：根据题意，由于，则=（2m+n）=5+ ,当且仅当m=2n 取得等号，故可知最小值为9.考点：均值不等式点评：解决的关键是根据不等式的性质来求解最值，属于中档题。22已知下列不等式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5），其中所有正确的不等式的序号是 【答案】（2）（4）（5）【解析】试题分析：a0时，不成立，（1）不正确；，其中“=”在成立，所以（2）正确；，显然不成立，（3）不正确；令，则可化为，4，由“对号函数”的性质，此不等式成立，故（4）正确；由基本不等式可以证明，故（5）正确，综上知，答案为（2）（4）（5）。考点：本题主要考查基本不等式，不等式的性质。点评：简单题，涉及小题较多，应用知识内容主要是基本不等式，“对号函数”的单调性。23若对任意， 恒成立，则a的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：因为，对任意， 恒成立，所以的最大值。而，所以，故a的取值范围是。考点：本题主要考查均值定理的应用。点评：中档题，涉及表达式恒成立问题，往往转化成求函数的最值。本题利用均值定理求得了函数的最大值。24设，则函数的最大值是_【答案】【解析】试题分析：根据题设，则函数，故可知等号成立的条件是,故答案为。考点：均值不等式点评：解决该试题的关键是根据已知的变量为正数，利用均值不等式的思想求解最值，属于基础题。25已知正数、满足，则的最小值是 【答案】【解析】试题分析：解：x0，y0，xy( )2，又x+y=xy，x+y()2，（x+y）24（x+y），x+y4故答案为：4考点：基本不等式点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题26在矩形中，现截去一个角，使分别落在边上，且的周长为8，设，,则用表示的表达式为 【答案】y=(0x2).【解析】试题分析：根据题意，由于在矩形中，现截去一个角，使分别落在边上，而的周长为8=x+y+那么根据已知的 ，可知得到面积的表达式，进而得到y=(0x2).。考点：函数解析式的求解点评：主要是考查了运用边长和三角形的知识来表示解析式，属于基础题。27若正实数满足,且. 则当取最大值时的值为 .【答案】【解析】试题分析：因为正实数满足,所以，=3-，而，故2，其中“=”成立的条件为，解得，的值为。考点：本题主要考查均值定理的应用。点评：中档题，应用均值定理，“一正，二定，三相等”缺一不可。解答本题的关键，是通过转化，创造应用均值定理的条件。28已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 【答案】（-4，2）【解析】试题分析：，x+2y=（x+2y）（）=4+，又x+2ym2+2m恒成立，m2+2m8，求得-4m2考点：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用点评：此类问题常常利用恒成立问题转化为最值问题，主要考查了学生分析问题和解决问题的能力29设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_【答案】【解析】试题分析：4x2y2xy1变形为解不等式可知2xy的最大值考点：不等式性质求最值点评：利用不等式求最值时主要的关系式有30若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_【答案】9【解析】试题分析：由题意，x1是f(x)12x22ax2b的一个零点，所以122a2b0，即ab6(a0，b0)，因此当且仅当ab3时等号成立考点：本题考查了极值的性质及基本不等式的运用点评：应用基本不等式求最值需注意三个要素：一正、二正、三相等，属基础题31设若的最小值_.【答案】【解析】试题分析：因为所以，即的最小值为4.考点：本题主要考查等比中项的计算公式，均值定理的应用。点评：简单题，应用均值定理要注意“一正、二定、三相等”，缺一不可。32设，若恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】12【解析】试题分析：当且仅当时等号成立，最小值为12，要满足最大为12考点：均值不等式求最值点评：将不等式恒成立转化为求函数最值，可利用均值不等式求最值，还可构造新函数通过导数求最值33函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中,则的最小值为 .【答案】8【解析】试题分析：根据题意，由于函数的图象恒过定点A，即为x=-2,y=-1,故A（-2，-1），因为点A在直线，则可知2m+n-1=0,则由于，可知m,n都是正数，则结合均值不等式可知 ，当且仅当n=2m时成立，故可知最小值为8，答案为8.考点：指数函数性质以及不等式求解最值点评：解决关键是确定出定点，然后结合不等式的思想来求解最值，属于中档题。34设，则的最大值是_。【答案】1【解析】试题分析：根据题意，由于，那么将点（a,b），可知点在椭圆的内部，则所求的将是点（a,b）与（3，0）两点的斜率的范围。则可知只有相切的时候可知最大值的斜率，设直线方程为y=k(x-3),与椭圆联立可知，判别式为零，得到k=1，即可知的最大值是1.故答案为1.考点：均值不等式的最值点评：解决的关键是根据已知的关系式化简变形得到所求函数式，这样做比较难，要从几何意义上解将更快。35已知正数、满足则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于已知中正数、满足，满足一正，二定，然后将所求解的表示为,当且仅当b=2a时取得等号，故答案为考点：均值不等式的运用点评：解决的关键是利用均值不等式，一正二定三相等来得到最值。属于基础题。36已知若的最大值为8，则k=_【答案】【解析】试题分析：由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值，如下图，联立方程组y=x,2x+y+k=0,得到考点：线性规划的运用点评：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值37设正实数满足，则的最小值为 【答案】 【解析】试题分析：因为，所以= ，当且仅当且时，取最小值7.考点：本题主要考查均值定理的应用。点评：中档题，运用均值定理求最值，要注意“一正、二定、三相等”缺一不可，本解法的优点是，通过改造的结构形式，创造了应用均值定理的条件，使问题得解。38已知直线，平分圆的周长，则取最小值时，双曲线的离心率为 。【答案】【解析】试题分析：因为直线平分圆的周长，所以直线过圆心（1,2），所以，又因为，所以此时，所以双曲线的离心率为.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系，基本不等式，离心率的求解.点评：应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件缺一不可.39已知，且，则的最小值是 . 【答案】【解析】试题分析：根据题意可知，已知，且，则，然后根据结合导数的思想求解最小值为，故答案为。考点：均值不等式的运用。点评：解决的关键是将所求的表达式化为一个函数，运用函数的思想，或者是不等式的思想求解得到最值， 属于基础题。40如图所示：用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ，假设墙有足够长() 若篱笆的总长为，则这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大？() 若菜园的面积为，则这个矩形的长，宽各为多少时，篱笆的总长最短？【答案】() 矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大 () 矩形的长为、宽为时，可使篱笆的总长最短【解析】试题分析：设这个矩形的长为，宽为，篱笆的长为，面积为 () 由题知，由于，即，当且仅当时等号成立由故这个矩形的长为，宽为时，菜园的面积最大() 条件知，.,当且仅当时等号成立由 故这个矩形的长为、宽为时，可使篱笆的总长最短考点：均值不等式求最值点评：利用均值不等式求最值时要注意其满足的三个条件：一，都是正数，二，积为定值时和取得最值，和为定值时积为定值，三，等号成立的条件看是否满足41已知函数.() 求的最小值及相应的值；() 解关于的不等式：.【答案】() 当时, () (1)当时,解集为；(2)当时,解集为【解析】试题分析：() 故等号成立条件：故当时,() (1)当时,解集为；(2)当时,解集为考点：函数最值及解不等式点评：第一问求函数最值还可借助于函数导数工具进行求解：求导数，导数为零求的极值点，计算极值及区间边界值求得最值，第二问求解带有参数的不等式要分情况讨论42已知，且、是正数，求证：.【答案】用基本不等式证明【解析】 试题分析：左边= .考点：不等式点评：本题考查应用基本不等式证明不等式，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键43为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量万件与投入技术改革费用万元（）满足（为常数）如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2013年生产该产品的固定收入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（）试确定的值，并将2013年该产品的利润万元表示为技术改革费用万元的函数（利润=销售金额生产成本技术改革费用）；（）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（）y（）该企业2013年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大【解析】试题分析：（）由题意知，当时，所以，所以， Y（），当且仅当，即时，上式取等号，所以，该企业2013年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大考点：本题主要考查函数模型，均值定理的应用。点评：典型题，对于实际应用问题，在认真审题的基础上，构建函数模型，应用导数或均值定理确定函数的最值。此类问题是高考常考题型，应予格外关注。应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。44设，且，证明不等式：【答案】利用基本不等式证明即可【解析】试题分析：因为，且，所以，当且仅当时等号成立.考点：本小题主要考查不等式的证明和基本不等式的应用.点评：解决本小题的关键是正确应用基本不等式，应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，还要注意“1”的整体代换.45（本题满分10分）（）设，求证：；（）设，求证：三数，中至少有一个不小于2.【答案】（）利用分析法证明即可，（）利用反证法证明【解析】试题分析：（）证法一：要证：即证：即证：即证：由基本不等式，这显然成立，故原不等式得证 5证法二：要证：即证：由基本不等式，可得上式成立，故原不等式得证. 5（）三数，都小于2，因为（）+（）+（）=，所以矛盾，故假设不成立即原命题成立考点：本题考查了不等式的证明点评：应用分析法，一方面要注意寻找使结论成立的充分条件，另一方面要有目的性，逐步逼近已知条件或必然结论46已知:，(1)求证:； (2)求的最小值. 【答案】(1) ，所以，所以，从而有2+ ，即:，所以原不等式成立 (2)8【解析】试题分析：(1)证明:因为所以，所以 所以，从而有2