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文档简介
2012届高考数学备考立体几何复习教案 专题四:立体几何阶段质量评估(四)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分)1如右图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 的正方形,俯视图是一个直径为 的圆,那么这个几何体的全面积为( )A B C D 2下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是( )A B C D 3如图,设平面 ,垂足分别为 ,若增加一个条件,就能推出 .现有 与 所成的角相等; 与 在 内的射影在同一条直线上; .那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是( )个 个 个 个4已知直线 和平面 ,则下列命 题正确的是 ( )A B C D 5空间直角坐标系 中,点 关于平面 的对称点的坐标是( )A B C D 6给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平 行,那么这两个平面相互平行; 若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和另一个平面垂直; 若一条直线和两个互相垂直的平面中的 一个平面垂直,那么这条直线一定平行于另一个平面;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( )A和 B和 C和 D和7如图,正四棱柱 中, ,则异面直线 所成角的余弦值为( )A B C D 8如图,已知六棱锥 的底面是正六 边形, 则下列结论正确的是( ) A. B. C. 直线 D. 直线 所成的角为459正六棱锥PABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为( )(A)1:1 (B) 1 :2 (C) 2:1 (D) 3:210如图,在四面体 中,截面 是正方形,则在下列命题中,错误的为( ). . 截面 . . 异面直线 与 所成的角为 11如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 12如图, 为正方体,下面结论错误的是( )(A) 平面 (B) (C) 平面 (D)异面直线 与 所成的角为 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,总分16分)13图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 ,则此长方体的体积是 。 14已知一圆锥的底面半径与一球的半径相等,且全面积也相等,则圆锥的母线与底面所成角的大小为 (结果用反三角函数值表示) 15如图,在长方形 中, , , 为 的中点, 为线段 (端点除外)上一动点现将 沿 折起,使平面 平面 在平面 内过点 ,作 , 为垂足设 ,则 的取值范围是 16已知点O在二面角AB的棱上,点P在内,且POB45若对于内异于O的任意一点Q,都有POQ45,则二面角AB的取值范围是_三、解答题(本大题共6小题,总分74分)17如图,在长方体 ,点E在棱AB上移动,小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1,所爬的最短路程为 . (1)求证:D1EA1D; (2)求AB的长度; (3)在线段AB上是否存在点E,使得二面角。若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.18如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点. ()证明PA/平面BDE; ()求二面角BDEC的 平面角的余弦值; ()在棱PB上是否存在点F,使PB平面DEF?证明你的结论. 19 如图所示的长方体 中,底面 是边长为 的正方形, 为 与 的交点, ,是线段 的中点。()求证: 平面 ;()求二面角 的大小。20如图,已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1, ,M是CC 1的中点,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足 (I)证明: (II)当 取何值时,直线PN与平面ABC所成的角 最大?并求该角最大值的正切值; (II)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45,试确定点P的位置。21(本小题满分12分) 如图,四面体 中, 是 的中点, 和 均 为等边三角形, (I)求证: 平面 ; ()求二面角 的余弦值; ()求 点到平面 的距离22如图,在 中, ,斜边 可以通过 以直线 为轴旋转得到,且二面角 是直二面角动点 在斜边 上(I)求证:平面 平面 ;(II)当 为 的中点时,求异面直线 与 所成角的大小;(III)求 与平面 所成角的最大值参考答案一、选择题1. 【解析】选A. 。2. 【解析】选D.三个都相同,正视图和侧视图相同,三个视图均不同,正视图和侧视图相同。3.C4. 【解析】选B.对A, ,对C画出图形可知,对D, 缺少条件。5.C6.D7.D8. D9. 【解析】选C .由于G是PB的中点,故PGAC的体积等于BGAC的体积在底面正六边形ABCDER中BHABtan30 AB而BD AB故DH2BH于是VDGAC2VBGAC2VPGAC10. 【解析】选 .由 , , 可得 ,故 正确;由 可得 截面 ,故 正确; 异面直线 与 所成的角等于 与 所成的角,故 正确;综上 是错误的.11. 【解析】选D.连 与 交于O点,再连BO,则 为BC1与平面BB1D1D所成的角., , .12. 【解析】选D显然异面直线 与 所成的角为 。二、填空题13. 【解析】向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是 ,设长方体的高为x,则 ,所以 ,所以长方体的体积为3。答案:314. 15. 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时, ,随着F点到C点时,因 平面 ,即有 ,对于 ,又 ,因此有 ,则有 ,因此 的取值范围是 . 答案: 16. 【解析】若二面角AB的大小为锐角,则过点P向平面 作垂线,设垂足为H.过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH,则 就是所求二面角的平面角. 根据题意得 ,由于对于内异于O的任意一点Q,都有POQ45, ,设PO= ,则 又POB45,OC=PC= ,PCPH而在 中应有PC PH ,显然矛盾,故二面角AB的大小不可能为锐角。即二面角 的范围是 。若二面角AB的大小为直角或钝角,则由于PO B45,结合图形容易判断对于内异于O的任意一点Q,都有POQ45。即二面角 的范围是 。答案: 三、解答题17. 【解析】(1)证明:连结AD1,由长方体的性质可知:AE平面AD1,AD1是ED1在平面AD1内的射影。又AD=AA1=1, AD1A1D D1EA1D1(三垂线定理) (2) 设AB=x, 点C1可能有两种途径,如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为 (3)假设存在,平面DEC的法向量 , 设平面D1EC的法向量 ,则 由题意得: 解得 (舍去) 18. 【解析】()以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0),设 是平面BDE的一个法向量,则由 ()由()知 是平面BDE的一个法向量,又 是平面DEC的一个法向量. 设二面角BDEC的平面角为 ,由图可知 故二面角BDEC的余弦值为 () 假设棱PB上存 在点F,使PB平面DEF,设 ,则 ,由 即在棱PB上存在点F, PB,使得PB平面DEF19. 【解析】()建立如图所示的空间直角坐标系连接 ,则点 、 , 又点 , , ,且 与 不共线, 又 平面 , 平面 , 平面 () , , 平面 , 为平面 的法向量 , , 为平面 的法向量 , 与 的夹角为 ,即二面角 的大小为 20. 解:(I)如图,以AB,AC,AA1分别为 轴,建立空间直角坐标系 则 2分从而 所以 3分 (II)平面ABC的一个法向量为 则 () 5分而 由()式,当 6分 (III)平面ABC的一个法向量为 设平面PMN的一个法向量为 由(I)得 由 7分解得 9分 平面PMN与平面ABC所成的二面角为45, 解得 11分故点P在B1A1的延长线上,且 12分21. 解法一:(I)证明:连结 , 为等边三角形, 为 的中点, , 和 为等边三角形, 为 的中点, , 。 在 中, , ,即 , 面 ()过 作 于 连结 , 平面 , 在平面 上的射影为 为二面角 的平角。 在 中, 二面角 的余弦值为 ()解:设点 到平面 的距离为 , , 在 中, , 而 点 到平面 的距离为 解法二:(I)同解法一 ()解:以 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 平面 , 平面 的法向量 设平面 的法向量 , 由 设 与 夹角为 ,则 二面角 的余弦值为 ()解:设平面 的法向量为 又 设 与 夹角为 , 则 设 到平面 的距离为 , 到平面 的距离为 22. 【解析】解法一:(I)由题意, , ,是二面角 的平面角,又 二面角 是直二面角,又 ,平面 ,又 平面 平面 平面 (II)作 ,垂足为 ,连结 (如图),则 ,是异面直线 与 所成的
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