湖南省株洲市高考数学研讨会资料 函数与导数考向分析.doc

2015年株洲市高三数学教学研讨会资料（4月9日）2015年湖南省高考数学“函数导数综合题”考向分析 高考中与不等式有关的大题，通常是通过构造函数后用导数工具来解决因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的思维技巧而充满思考性和挑战性，它能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题的极好素材。 高三的最后复习阶段，对于学有余力的学生来说，有针对性的对该类问题进行一些综合训练，对提高学生的解题能力有着较大的作用，也能提振学生应对高考的自信心。一、湖南省高考自主命题以来的“函数与导数综合题”简要分析： 1、从题目涉及的大的知识内容来看： （1）20042007年，函数导数综合运用； （2）20082011年，函数导数与数列、不等式的综合（09年是含绝对值的数列问题）； （3）20122014年，函数导数与不等式的综合。 2、从题目本身命制所涉及的函数类型来看： （1）20042007年，对数型函数与二次函数结合、指数型函数与分式函数结合； （2）20082011年，对数型函数与分式函数结合、三次函数、幂函数与根式型函数结合； （3）20122014年，分别涉及有指数型函数与一次函数结合、含绝对值的分式型函数、对数型函数与分式函数结合。 3、题目所涉及到的常见问题形式： （1）运用导数直接求函数的单调区间、极值与最值（含参）、判断零点个数；（2）导数几何意义的运用；（3）不等式恒成立问题与存在性问题（求参数的取值范围及最值等）；（4）数列不等式问题通过构造函数来解决。二、2015年湖南省高考数学“函数与导数综合题”考向分析：1、综合题的第一问可能出现的几种常见问题形式： （1）直接求函数的极值或最值；或根据函数的极值、最值情况求参数的值或范围；（2）直接求函数的单调区间（带参数，须讨论）、或利用函数的单调性求参数的值或范围；（3）导数几何意义的运用；（4）判断函数零点的个数、或者讨论函数零点的分布情况。2、综合题的第二问可能出现的问题形式（1）函数与不等式的综合：（1）从近几年的高考试题综合来看，最后三题常见的形式是：数列问题+解析几何问题+函数与不等式综合问题。所以，若数列问题以独立形式命制试题来考查，则最后一题所涉及的知识内容可能更多的应该是函数与不等式的综合问题。 （2）从1214年的试题来分析，最后一题涉及到的函数类型有：指数型函数、含绝对值的分式函数、对数型函数与分式函数结合；今年是否有可能出现指数、对数函数与三角函数相结合的问题形式？（去年的江苏与辽宁卷有出现）【例1】已知函数，直线与曲线切于点且与曲线切于点.（1）求、的值和直线的方程；（2）证明：.【试题考点】本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 【试题分析】第一问，由题意可知，直线与两条曲线同时相切，则得到切线的方程，从而可得到a、b的值；第二问，关键点是：只需证明，且即可；从而构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出最值，进行验证即可.【试题解析】（）， ， 曲线在点处的切线为， 曲线在点(1，g(1)处的切线为yb(x1)1b，即ybx1 依题意，有， 直线方程为（）由（）知， 设，则， 当x(，0)时，； 当x(0，)时， 在(，0)单调递减，在(0，)单调递增， 故 设， 则，当且仅当时等号成立 由上可知，且两个等号不同时成立， 因此 【例2】已知函数（为常数，） （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）求证：当时，在上是增函数； （3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求正实数的取值范围.【试题考点】本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、从而求得函数的极值、最值等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.【试题分析】（1）利用函数在处的导数为0即可求出的值；（2）利用函数的单调性与导数的关系，导函数在区间上恒大于0即可；（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.【试题解析】（1）由已知，得且， （2）当时， 当时， 又 故在上是增函数 （3）时，由（2）知，在上的最大值为 于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立. 记 则. 若，可知在区间上递减，在此区间上， 有，与恒成立相矛盾，故，这时， 在上递增，恒有，满足题设要求，即实数的取值范围为 （3）另解：时，由（2）知，在上的最大值为 于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立. 下面，用分离参数法： 恒成立 令函数 则 令 则 从而 在上单调递增， 从而 在上单调递增， 从而 在上单调递增 （洛必达法则） 而要使式子（*）恒成立，则须使， 故 【例3】己知 （1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围； （2）当时，证明函数只有一个零点； （3）若的图象与轴交于两点，中点为，求证： 【试题考点】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数零点等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.【试题分析】（1）分离参数，构造函数，转化为求函数的最值问题； （2）通过对函数单调性的判断，找到函数的最值，进而判断出函数的零点； （3）整体代入消参、变形、换元、构造新的函数，求导、判断单调性，实现目标。【试题解析】（1）依题意： 在上递增，对恒成立 即对恒成立，只需 当且仅当时取， 的取值范围为 （2）当时，其定义域是 时，当时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 当时，函数取得最大值，其值为 当时，即 函数只有一个零点。 （3）由已知得 两式相减，得： 由及，得： 令， 在上递减， ， 3、综合题的第二问可能出现的问题形式（2）函数与数列、不等式的综合：2011年以前的几年里，高考压轴试题出现得较多的是：函数+数列+不等式的综合问题，这种题型的难点是最后一问的数列不等式的证明。它通常需要构造函数（或利用题目所给出的函数）来实现。一般情况下可能还需进行一定的放缩，或者还需运用数学归纳法。【例1】已知函数(a0)的图象在点处的切线方程为. （1）用表示出、; （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明：1+(n+1)+ (n1).【试题考点】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.【试题解析】（1） （2）由（i）知， 令 则 （i）当 若是减函数，所以 即上不恒成立. （ii）当 若是增函数，所以 即时， 综上所述，所求a的取值范围为 （3）解法一：由（2）可知，当时，有 令 ，有， 且当时， 令 ，则 即 将上述n个不等式相加： 整理得： 解法二：用数学归纳法证明. 当n=1时，左边=1，右边不等式成立. 假设n=k时，不等式成立，就是 那么 由（2）可知，当时，有 令 ，有， 且当时， 令，得： 这就是说，当时，不等式也成立 综上所述，对一切，不等式均成立。【例2】设（e为自然对数的底数） （1）求p与q的关系； （2）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围； （3）证明： ； （nn，n2）.解：（1）由题意 （2）由（i）知：， 令h(x)=px22x+p.要使g(x)在（0，+）为单调函数，只需h(x)在（0，+）满足： h(x)0或h(x)0恒成立. ， g(x)在（0，+）单调递减，p=0适合题意 当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向上抛物线， 对称轴为x=（0，+）.h(x)min=p.只需p0，即p1时h(x)0，g(x) 0， g(x)在(0,+ )单调递增，p1适合题意 当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+）， 只需h(0)0，即p0时h(0)（0,+ )恒成立. g(x)0 ，g(x)在（0,+ ）单调递减，p0)， 设. 当x（0，1）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数； 当x（1，）时，k(x)0， 结论成立】3、对应练习：a、题组一【练1】已知函数.（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）当时，试比较与的大小. 试题解析：（1），a=1 f（x）=x2+x-xlnx. 由x2+x-xlnxbx2+2x， 令，可得在上递减，在上递增， 所以，即 （2） ,令，得， 设，当时， 当时，函数在单调递增 若，令，由 得，易知在时取得极小值即最小值 而当时， 必有根，必有极值，在定义域上不单调。 故（3）由（1）知在（0,1）上单调递减 时，即 而时， 0,试判断在定义域内的单调性; （2）若在上的最小值为,求a的值; （3）若在上恒成立,求a的取值范围试题解析：（1）由题意知的定义域为,且, , 故在上是单调递增函数 （2）由（1）可知, . 若,则,即在上恒成立, 此时在上为增函数, (舍去) 若,则,即在上恒成立, 此时在上为减函数, (舍去) 若令得 当时, 在上为减函数; 当时, ,在上为增函数, .综上所述, （3）.又， 令. 时, 在上是减函数. ,即在上也是减函数. ,当时, 在上恒成立【练3】设函数（1）当时，解关于的不等式 （2）求函数的最小值；（3）若使成立，求实数的取值范围 【解析】（1）；（2）；（3）（1） 当时， 或； 或； 或，即不等式的解集是；（2）， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 综上，时， 时， 时，；（3） 由题意得，函数的值域包含于函数的值域， 恒有， 是减函数， 的值域是， 时，时， 综上，即实数的取值范围是考点：1一元二次不等式；2二次函数的性质；3分类讨论的数学思想 【练4】已知函数f(x)=x2xalnx (1)当时，恒成立，求的取值范围； (2)讨论在定义域上的单调性。解：(1)恒成立， 当在，恒成立 当在， 综上所述，时在恒成立 令，则， 单调递减；单调递增 ，(2) 当即时，单调递增当即时， 时， 在 时，在【练5】已知函数,且点处取得极值（）求实数的值；（）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（）证明：【试题分析】（1）求导，利用求值； （2）分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题； （3）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.【解题思路】（1）求函数最值的步骤：求导函数；求极值；比较极值与端点值，得出最值； （2）若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立； 若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立.【试题解析】（）， 函数在点处取得极值， ，即当时， ，则得.经检验符合题意 （）, . 令, 则. 当时，随的变化情况表：1（1,2）2（2，3）30极大值 计算得：， 的取值范围为。 （）证明：令， 则， 令，则 ， 函数在递增，在上的零点最多一个 又， 存在唯一的使得， 且当时，；当时，. 即当时，；当时，. 在递减，在递增， 从而. 由得即，两边取对数得：， ， 从而证得.【练6】已知函数，（，且），函数在处的切线与轴平行.(1) 求实数的值；(2) 讨论的单调性；(3) 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）， 又由题意有： ，(2)法一： ，令，所以在定义域上单调递增，即：在定义域上单调递增，又：，所以当时，；当时，.故：在上单调递减，在上单调递增.(2)法二： 当时：若，则，所以；若，则，所以.此时，在上单调递减，在上单调递增.当时：若，则，所以；若，则，所以.此时，在上单调递减，在上单调递增.综上可知：在上单调递减，在上单调递增.(3) 法一：分析可知，要满足题意， 即要在上的最大值不小于在上的最大值. ，所以在上单调递减，在上单调递增.故.且，所以，故：. 由()可知：在上单调递减，在上单调递增.所以. 又 令， 所以在上单调递增， 故：当时，.即：当时，.所以. 因此，要有：恒成立，等价于恒成立. 令， 所以当时，恒成立， 所以在上是增函数，又， 故要恒成立，则应有：，又， 所以：所求实数的取值范围为：. ()法二：可求，不直接求，改由求的解亦可得.b、题组二【练1】设函数. （1）当时，求证：； （2）当时，求证：.解：（1）令 （2）令，累和可得前一个不等式， 利用放缩，再累和即可。【练2】已知函数 （）若有两个不同的极值点，求的取值范围； （）当时，表示函数在-1,0上的最大值，求的表达式； （）求证：，.解：（）（注意定义域）， （） （）由（）知f(x)在-1,0上有最大值g(-2)=1(x=-1), 累和再