Excel回归分析结果的详细阐释.doc

Excel回归分析结果的详细阐释利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列（图1）为例给予详细的说明。图1 连续10年的最大积雪深度与灌溉面积（19711980）回归结果摘要（Summary Output）如下（图2）：图2 利用数据分析工具得到的回归结果第一部分：回归统计表这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下（表1）：表1 回归统计表逐行说明如下：Multiple对应的数据是相关系数(correlation coefficient)，即R=0.989416。R Square对应的数值为测定系数(determination coefficient)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有R2=0.9894162=0.978944。Adjusted对应的是校正测定系数(adjusted determination coefficient)，计算公式为式中n为样本数，m为变量数，R2为测定系数。对于本例，n=10，m=1，R2=0.978944，代入上式得标准误差（standard error）对应的即所谓标准误差，计算公式为这里SSe为剩余平方和，可以从下面的方差分析表中读出，即有SSe=16.10676，代入上式可得最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10。第二部分，方差分析表方差分析部分包括自由度、误差平方和、均方差、F值、P值等（表2）。表2 方差分析表（ANOVA）逐列、分行说明如下：第一列df对应的是自由度（degree of freedom），第一行是回归自由度dfr，等于变量数目，即dfr=m；第二行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减1，即有dfe=n-m-1；第三行为总自由度dft，等于样本数目减1，即有dft=n-1。对于本例，m=1，n=10，因此，dfr=1，dfe=n-m-1=8，dft=n-1=9。第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。第一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。第二行为剩余平方和（也称残差平方和）或称剩余变差SSe，即有它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y的标准误差即由SSe给出。第三行为总平方和或称总变差SSt，即有它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证748.8542+16.10676=764.961，即有而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有显然这个数值越大，拟合的效果也就越好。第四列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr，即有第二行为剩余均方差MSe，即有显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归，F值的计算公式为式中R2=0.978944，dfe=10-1-1=8，因此第五列Significance F对应的是在显著性水平下的F临界值，其实等于P值，即弃真概率。所谓“弃真概率”即模型为假的概率，显然1-P便是模型为真的概率。可见，P值越小越好。对于本例，P=0.00000005420.0001，故置信度达到99.99%以上。第三部分，回归参数表回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3）。表3 回归参数表第一列Coefficients对应的模型的回归系数，包括截距a=2.356437929和斜率b=1.812921065，由此可以建立回归模型或第二列为回归系数的标准误差（用或表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。例如L. Benguigui等人在When and where is a city fractal?一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用0.04作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t检验中。第三列t Stat对应的是统计量t值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。t值是回归系数与其标准误差的比值，即有，根据表3中的数据容易算出：，对于一元线性回归，t值可用相关系数或测定系数计算，公式如下将R=0.989416、n=10、m=1代入上式得到对于一元线性回归，F值与t值都与相关系数R等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但是，对于多元线性回归，t检验就不可缺省了。第四列P value对应的是参数的P值（双侧）。当P0.05时，可以认为模型在=0.05的水平上显著，或者置信度达到95%；当P0.01时，可以认为模型在=0.01的水平上显著，或者置信度达到99%；当P0.001时，可以认为模型在=0.001的水平上显著，或者置信度达到99.9%。对于本例，P=0.00000005420.0001，故可认为在=0.0001的水平上显著，或者置信度达到99.99%。P值检验与t值检验是等价的，但P值不用查表，显然要方便得多。最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。可以看出，在=0.05的显著水平上，截距的变化上限和下限为-1.85865和6.57153，即有斜率的变化极限则为1.59615和2.02969，即有第四部分，残差输出结果这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。残差输出中包括观测值序号（第一列，用i表示），因变量的预测值（第二列，用表示），残差（residuals，第三列，用ei表示）以及标准残差（表4）。表4 残差输出结果预测值是用回归模型计算的结果，式中xi即原始数据的中的自变量。从图1可见，x1=15.2，代入上式，得其余依此类推。残差ei的计算公式为从图1可见，y1=28.6，代入上式，得到其余依此类推。标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average和标准差命令stdev容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为1.337774。利用求平均值命令standardize(残差的单元格范围，均值，标准差)立即算出表4中的结果。当然，也可以利用数据标准化公式逐一计算。将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有利用Excel的求平方和命令sumsq容易验证上述结果。以最大积雪深度xi为自变量，以残差ei为因变量，作散点图，可得残差图（图3）。残差点列的分布越是没有趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。用最大积雪深度xi为自变量，用灌溉面积yi及其预测值为因变量，作散点图，可得线性拟合图（图4）。图3 残差图图4 线性拟合图第五部分，概率输出结果在选项输出中，还有一个概率输出（Probability Output）表（表5）。第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）选中图1中的第三列（C列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮，立即得到表5中的第二列数值。当然，也可以沿着主菜单的“数据(D)排序(S)”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。用表5中的数据作散点图，可以得到Excel所谓的正态概率图（图5）。表5 概率输出表图5 正态概率图【几点说明】第一， 多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m1，F值和t值等统计量与R值也不再等价,因而不能直接从相关系数计算出来。第二， 利用