北师大版选修45 数学归纳法应用 教案.doc

1、 会用数学归纳法证明一些简单问题；2、 会用数学归纳法证明贝努力不等式，了解贝努力不等式的应用条件。知识梳理答案 等式问题证明不等式贝努利不等式典型例题类型一 归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n 时命题成立)，推出n 1时，命题成立例2 用数学归纳法证明 对于nn，.【规范解答】(1)当n1时，左边，右边，所以等式成立(2)假设n 时等式成立，即，当n 1时，所以当n 1时，等式也成立由(1)(2)可知对于任意的自然数n，等式都成立再练一题1数列的前n项的和记为sn.(1)求出s1，s2，s3的值；(2)猜想出sn的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想【解】(1)s1，s2，s3.(2)猜想 sn.(3)证明 当n1时s1a1，右边.等式成立假设当n 时，s ，则当n 1时，s 1s a 1，即当n 1时，等式成立，sn.类型二 不等式证明中的强化命题如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)c一类不等式时，从 到 1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用g(n)c，且g(n)c，把命题结论强化，即把c换成g(n)由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明例2 证明不等式1(n2，nn)【解析】可先证明1(n2)，(*)对(*)运用数学归纳法证明 (1)当n2时，(*)显然成立(2)设n 时，不等式(*)成立，即1.当n 1时，1111.故当n 1时，不等式(*)成立根据(1)和(2)知，对nn且n2，不等式(*)成立，故原不等式成立再练一题2设0a1，定义a11a，an1a，求证 对一切正整数nn，有1an.【证明】(1)当n1时，a11，a11a，显然命题成立(2)假设n ( n)时，命题成立，即1a .当n 1时，由递推公式，知a 1a(1a)a1.同理，a 1a1a.故当n 1时，命题也成立，即1a 1.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1an.类型三 从特殊到一般的数学思想方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法例3 已知数列bn是等差数列，且b11，b1b2b10145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项anloga(其中a0，且a1)，sn是数列an的前n项和试比较sn与logabn1的大小，并证明你的结论【规范解答】(1)设数列bn的公差为d.由题意得解得故bn13(n1)3n2.(2)由bn3n2知，snloga(11)logalogaloga.又logabn1loga，因此要比较sn与logabn1的大小，可先比较(11)与的大小取n1，有(11)；取n2，有(11).由此推测(11).若式成立，则由对数函数性质可判定 当a1时，snlogabn1；当0a1时，snlogabn1.下面用数学归纳法证明式成立 a当n1时，已验证式成立b假设当n ( 1， n)时式成立，即(11).那么，当n 1时，(11)1(3 2)30，(3 2).因而(11).当n 1时式成立由a，b知式对任意正整数n都成立由此证得 当a1时，snlogabn1；当0a1时，snlogabn1.再练一题3在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论； (2)证明 .【解】(1)由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明 当n1时，由上可得结论成立假设当n 时，结论成立，即a ( 1)，b ( 1)2.那么当n 1时，a 12b a 2( 1)2 ( 1)( 1)( 2)，b 1( 2)2，所以当n 1时，结论也成立由可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)证明 n1时，2(n1)n.故0，nn，n2.(1)证明 函数fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明【解】(1)证明 fn(x)fn(x)21xx2xn2，则fn(1)n10，fn1220，故fn(x)在内单调递增，所以fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是fn(x)的零点，所以fn(xn)0，即20，故xnx.(2)法一 由题设，gn(x).设h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，h(x)12xnxn1.若0xxn12xn1nxn1xn1xn1xn10.若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)当n2时，f2(x)g2(x)(1x)20，所以f2(x)g2(x)成立假设n ( 2)时，不等式成立，即f (x)g (x)那么，当n 1时，f 1(x)f (x)x 10)，则h (x) ( 1)x ( 1)x 1 ( 1)x 1(x1)所以当0x1时，h (x)1时，h (x)0，h (x)在(1，)上递增所以h (x)h (1)0，从而g 1(x).故f 1(x)g 1(x)，即n 1时不等式也成立由和知，对一切n2的整数，都有fn(x)0(2 n)，当x1时，a b ，所以fn(x)gn(x)当x1时，m (x)nxn1( 1)x 2( 1)x 2(xn 11)而2 n，所以 10，n 11.若0x1，xn 11，m (x)1，xn 11，m (x)0，