期权估价2.doc

第九章期权估价【考情分析】本章属于重点章。从历年的考试情况看，本章的主要考点包括期权的基本概念、期权估价的方法及实物期权，考试中如果涉及主观题，其落脚点通常都在教材例题上。本章考试各种题型都可能涉及。【本章大纲要求】：理解期权的基本概念和估价方法，能够运用其对简单的金融期权和投资项目期权进行分析评价。本章历年考试题型、分值、考点分布题型2010年2009年考点单选题1分期权投资策略多选题判断题1分期权价值的影响因素计算题8分风险中性原理、套期保值原理综合题合计1分9分【思维导图】 第一节期权的基本概念【知识点1】期权的概念与分类一、期权的概念概念期权是指一种合约，该合约赋予持有人在某一特定日期或该日之前的任何时间以固定价格购进或售出一种资产的权利。【提示】相关概念：标的资产、到期日、执行价格期权的标的资产是选择购买或出售的资产。双方约定期权到期的那一天称为“到期日”。在那一天之后，期权失效。双方依照合约规定，购进或出售标的资产的行为称为“执行”。在合约中规定的购进或出售标的资产的固定价格，称为“执行价格”。二、期权的分类分类标志类别含义期权的执行时间欧式期权如果期权只能在到期日执行，称为欧式期权；美式期权如果期权可以在到期日或到期日之前的任何时候执行，则称为“美式期权”。买方的权利看涨期权看涨期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格购买标的资产的权利。其授予权利的特征是“购买”。看跌期权看跌期权是指期权赋予持有人在到期日或到期日之前，以固定价格出售标的资产的权利。其授予权利的特征是“出售”。【快速掌握技巧】持有看涨期权未来购买资产（买涨不买跌）越涨越有利持有看跌期权未来出售资产越跌越有利【例单选题】美式看涨期权允许持有者（）。A.在到期日或到期日前卖出标的资产B.在到期日或到期日前购买标的资产C.在到期日卖出标的资产D.以上均不对正确答案B答案解析美式期权是指可以在到期日或到期日之前的任何时间执行的期权。看涨期权是购买标的资产的权利。因此，美式看涨期权允许持有者在到期日或到期日前购买标的资产。【知识点2】期权的到期日价值与净损益期权的到期日价值，是指到期执行时期权可以获得的净收入，它依赖于标的股票的到期日价格和执行价格。期权分为看涨期权和看跌期权，每类期权又有买入和卖出两种。一、买入看涨期权（多头看涨期权）买入看涨期权，获得在到期日或之前按照执行价格购买某种资产的权利。【提示】（1）到期日价值:最小值为0，最大值为“无穷大”。（2）净损益：最小值为“期权价格”，最大值为“无穷大”。这里净损益的最小值即为“最大的净损失”；净损益的最大值即为“最大的净收益”。二、卖出看涨期权 （空头看涨期权）看涨期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。【提示】（1）到期日价值：最小值为“负无穷大”；最大值为0，（2）净损益：最小值为“负无穷大”；最大值“期权价格”。【实例】理论上，看涨期权卖方的亏损风险是无限的，一般作为卖方需要有很强的风险管理能力与相当的资金实力。中航油2004年年末在石油价格迅速攀升时，出售大量看涨期权，导致亏损5.5亿元。三、买入看跌期权（多头看跌期权）看跌期权买方，拥有以执行价格出售股票的权利。【提示】（1）到期日价值：最小值为0；最大为“执行价格”（此时股票价格为0）。（2）净损益：最小值为“期权价格”，最大值为“执行价格期权价格”。四、卖出看跌期权看跌期权的出售者，收取期权费，成为或有负债的持有人，负债的金额不确定。【提示】（1）到期日价值：最小值为”执行价格”（此时股票价格为0）；最大值为0。（2）净损益：最小值为“执行价格期权价格”；最大值为“期权价格”。【本知识点总结】1.就到期日价值和净损益而言，双方是零和博弈，一方所得就是另一方所失。因此，买入看涨期权一方的到期日价值和净损益，与卖出看涨期权一方的到期日价值和净损益绝对值相等，但符号相反。到期日价值净损益买入看涨期权 Max（股票市价执行价格，0） 到期日价值期权价格卖出看涨期权 Max（股票市价执行价格，0） 到期日价值期权价格买入看跌期权 Max（执行价格股票市价，0） 到期日价值期权价格卖出看跌期权 Max（执行价格股票市价，0） 到期日价值期权价格【注】（1）买入期权，无论看涨期权还是看跌期权，其最大的净损失均为期权价格。“破财消灾”（避免灾难性的后果）（2）卖出期权，无论看涨期权还是看跌期权，其最大净收益均为期权价格。拿人钱财，为人消灾（承担灾难性的后果）【例多选题】下列公式中，正确的是（）。A.多头看涨期权到期日价值Max（股票市价执行价格，0）B.空头看涨期权净损益空头看涨期权到期日价值期权价格C.空头看跌期权到期日价值Max（执行价格股票市价，0）D.空头看跌期权净损益空头看跌期权到期日价值期权价格正确答案ABC答案解析由于：空头看跌期权净损益空头看跌期权到期日价值期权价格，因此，选项D错误。 2.期权到期日价值简化计算图【例单选题】看跌期权出售者收取期权费5元，售出1股执行价格为100元。1年后到期的ABC公司股票的看跌期权，如果1年后该股票的市场价格为120元，则该出售该看跌期权的净损益为（）元。A.20B.20C.5 D.15正确答案C答案解析由于1年后该股票的价格高于执行价格，看跌期权购买者会放弃行权，因此，看跌期权出售者的净损益就是他所收取的期权费5元。或者：空头看跌期权到期日价值Max（执行价格股票市价，0）0空头看跌期权净损益空头看跌期权到期日价值期权价格055（元） 【延伸思考】假设1年后该股票的市场价格为80元，则出售该看跌期权的净损益为多少？净损益20515（元）。【例计算题】某投资者购买了1 000份执行价格35元/股的某公司股票看跌期权合约，期权费为3元/股，试计算股票市价分别为30元/股和40元/股时该投资者的净损益。正确答案 （1）当股票市价为30元时：每份期权到期日价值Max（执行价格股票市价，0）Max（3530，0）5（元）每份期权净损益到期日价值期权价格532（元）净损益21 0002 000（元）（2）当股票市价为40元时：每份期权到期日价值Max（执行价格股票市价，0）Max（3540，0）0（元）每份期权净损益033（元）净损益31 0003 000（元） 【知识点3】期权的投资策略一、保护性看跌期权股票加看跌期权组合。做法：购买一份股票，同时购买1份该股票的看跌期权。 （1）组合净收入和净损益的计算组合净收入组合净损益股价执行价格执行价格执行价股票投资买价期权购买价格（此为最低组合净损益）股价执行价格股票售价股票售价股票投资买价期权购买价格（2）特点保护性看跌期权，锁定了最低净收入和最低净损益，但是，同时净损益的预期也因此降低了（比如股票买价100元，执行价格110元，期权价格5元，当股价为120元时，股票净损益12010020元，组合投资时，组合净损益20515元）。降低风险的同时也降低了收益。最低净收入执行价格最低净损益最低净收入（执行价格）股票买价期权购买价格【例计算分析题】F股票的当前市价为50元，市场上有以该股票为标的物的期权交易，有关资料如下：（1）F股票的到期时间为半年的看跌期权，执行价格为52元，期权价格5元。（2）F股票半年后市价的预测情况如下：股价变动幅度50%20%20%50%概率0.20.30.30.2投资者甲以当前市价购入1股F股票，同时购入F股票的1股看跌期权。要求：（1）判断甲采取的是哪种投资策略（2）计算该投资组合的预期收益。正确答案（1）甲采取的是保护性看跌期权。（2）投资组合预期收益计算如下：股价变动幅度50%20%20%50%概率0.20.30.30.2股票净收入50（150%）2550（120%）4050（120%）6050（150%）75期权净收入52252752401200组合净收入52526075初始股票买价50505050期权购买价格5555组合净损益33520组合预期收益（3）0.2（3）0.350.3200.24（元） 二、抛补看涨期权股票加空头看涨期权组合。做法：购买一股股票，同时出售该股票一股股票的看涨期权（承担到期出售股票的潜在义务）。【提示】（1）组合净收入和组合净损益的计算组合净收入组合净损益股价执行价格股票售价股票售价股票买价期权（出售）价格股价执行价格执行价格执行价格股票买价期权（出售）价格（2）特点抛补看涨期权组合缩小了未来的不确定性。如果股价上升，锁定了收入和净收益，净收入最多是执行价格，由于不需要补进股票也就锁定了净损益。如果股价下跌，净损失比单纯购买股票要小一些，减少的数额相当于期权价格。最大净收入X最大净收益XS0P【提示】出售抛补的看涨期权是机构投资者常用的投资策略。如果基金管理人计划在未来以100元的价格出售股票，以便套现分红。他现在就可以抛补看涨期权，赚取期权费。如果股价上升，他虽然失去了100元以上部分的额外收入，但是仍可以按计划取得100元现金。如果股价下跌，还可以减少损失（相当于期权费收入），因此成为一个有吸引力的策略。三、对敲对敲策略分为多头对敲和空头对敲。我们以多头对敲为例来说明这种投资策略。多头对敲是同时买进一只股票的看涨期权和看跌期权，它们的执行价格和到期日都相同。（1）组合净收入净损益计算组合净收入组合净损益股价执行价格执行价格股票售价执行价格股票售价两种期权（购买）价格股价执行价格股票售价执行价格股票售价执行价格两种期权（购买）价格（2）适用情况与特点预计市场价格将会发生剧烈变动，但是不知道升高还是降低。股价偏离执行价格的差额 期权购买成本，才有净收益。最坏结果：股价没有变动，白白损失看涨期权和看跌期权的购买成本。【补充】空头对敲的情况【结论】空头对敲组合策略可以锁定最高净收入和最高净损益，其最高收益是期权收取的期权费。【例单选题】某公司股票看涨期权和看跌期权的执行价格均为55元，期权均为欧式期权，期限1年，目前该股票的价格是44元，期权费（期权价格）为5元。在到期日该股票的价格是34元。则同时购进1股看跌期权与1股看涨期权组合的到期日净损益为（）元。A.1 B.6C.11D.5正确答案C答案解析购进看跌期权到期日净损益16元（5534）5，购进看涨期权到期日净损益5元（05），则投资组合净损益11元（165）。 【例单选题】（2010考题）下列关于期权投资策略的表述中，正确的是（）。A.保护性看跌期权可以锁定最低净收入和最低净损益，但不改变净损益的预期值B.抛补看涨期权可以锁定最低净收入和最低净损益，是机构投资者常用的投资策略C.多头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益，其最坏的结果是损失期权的购买成本D.空头对敲组合策略可以锁定最低净收入和最低净损益，其最低收益是期权收取的期权费正确答案C答案解析对于多头对敲组合策略而言，当股价等于执行价格时，净收入最低（等于0）、净损益最低（等于“期权购买成本”）。 【三种策略的掌握】1.保护性看跌期权2.抛补看涨期权3.多头对敲【知识点4】期权的内在价值和时间溢价期权价值由两个基本的部分构成：内在价值和时间溢价。期权价值内在价值时间溢价1.期权的内在价值期权的内在价值，是指期权立即执行产生的经济价值。内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。【提示】期权的内在价值就是期权当前处于实值时的价值，若期权当前处于虚值，则其内在价值为0。条件公式看涨期权现行价格执行价格内在价值现行价格执行价格现行价格执行价格内在价值0看跌期权现行价格执行价格内在价值执行价格现行价格现行价格执行价格内在价值0【提示】（1）内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。由于现行价格是变化的，因此，内在价值也是变化的。（2）内在价值的最小值为0.（3）内在价值不同于到期日价值。期权的到期日价值取决于“到期日”标的股票市价与执行价格的高低。如果现在已经到期，则内在价值与到期日价值相同。2.期权的状态期权状态期权名称基本涵义看涨期权看跌期权备注实值状态（溢价状态）实值期权执行期权能给投资人带来正回报标的资产现行市价执行价格资产现行市价执行价格有可能被执行，但也不一定被执行虚值状态（折价状态）虚值期权执行期权将给持有人带来负回报标的资产的现行市价执行价格不会被执行平价状态平价期权执行期权给持有人带来的回报为0标的资产的现行市价执行价格资产的现行市价执行价格不会被执行【思考一】实值期权、平价期权和虚值期权的内在价值为多少？实值期权的内在价值大于0，平价期权和虚值期权的内在价值等于0。【思考二】如果期权内在价值为0，期权价值也为0吗？如果没有到期，还有时间溢价，期权价值不会为0。3.期权的时间溢价期权的时间溢价，是指期权价值超过内在价值的部分。时间溢价期权价值内在价值在其他条件不变的情况下，离到期时间越远，价值波动的可能性越大，期权的时间溢价越大。如果已经到了到期时间，期权的价值（价格）就只剩下内在价值（时间溢价为0）了。【注意】时间溢价有时也称为“期权的时间价值”，但它和“货币的时间价值”是不同的概念。时间溢价是“波动的价值”，时间越长，股价出现波动的可能性越大，时间溢价越大。而货币的时间价值是时间的“延续价值”，时间延续得越长，货币的时间价值越大。【例单选题】某未到期的看跌期权，其标的资产现行市价为40元，执行价格为50元，则该期权处于（）。A.实值状态B.虚值状态C.平值状态D.不确定状态正确答案A答案解析对于看跌期权来说，资产现行市价低于执行价格时，称期权处于“实值状态”（或溢价状态）或称此时的期权为“实值期权”（溢价期权）。 【例单选题】如果已知某未到期期权的价值为5元，内在价值为4元，则该期权的时间溢价为（）元。A.0B.9C.1D.1正确答案C答案解析期权价值内在价值时间溢价，由此可知，时间溢价期权价值内在价值541元。 【知识点5】影响期权价值的因素【注意】在竞争市场中，金融资产的价格等于其价值，否则就会出现套利机会。套利活动反过来会促使价格与价值趋于一致，这称为“资产定价的无套利原理”。所以，有时对金融资产的价格和价值不作区分。一个变量增加（其他变量不变）对期权价格的影响变量欧式看涨期权欧式看跌期权美式看涨期权美式看跌期权股票的市价执行价格 到期期限不一定不一定股价波动率无风险利率红利【注】到期期限长的欧式期权其价格不一定高。比如某公司到期期限为3个月和1年的两种看欧式涨期权期权。如果企业宣布6个月后支付大额现金股利（支付股利股价会下跌），则会对1年期的期权产生较大的不利影响。极端情形公司6个月后清算，则3个月期限的看涨期权有价值，而1年期的期权价值为0.【看涨期权价值的边界范围】【思考】1.股票价格为0，为什么期权的价值也为0？2.为什么ABD为期权的最低价值线？期权价值的下限为其内在价值，只要期权没有到期，期权的价格就会高于其内在价值。3.为什么AE是期权价值的上限？期权价值的上限为其股价。看涨期权到日期价值MAX（市场价格执行价格，0）。执行价格为0，到期日价值最大，为市场价格。期权价值上限为市场价格，但不会等于市场价格。因为执行价格不可能为0.4.为什么当股价足够高时，期权价值线与最低价值线的上升部分平行？在这种情况下，期权的执行几乎是肯定的，而且股票价值升高，期权的价值也会等值同步增加。【例单选题】下列关于美式看涨期权的说法，不正确的是（）。A.当股价足够高时期权价值可能会等于股票价格B.当股价为0时，期权的价值也为0C.只要期权没有到期，期权的价格就会高于其内在价值D.期权价值的下限为其内在价值正确答案A 【例多选题】在其他因素不变的情况下，当下列变量中（）增加时，看涨期权价值会增加。A.股票市价B.执行价格C.股价波动率D.红利正确答案AC答案解析如果看涨期权在将来某一时间执行，其收入为股票市价与执行价格的差额。如果其他因素不变，股票市价上升，看涨期权的价值也上升；执行价格上升，看涨期权价值下降。因此，选项A正确，选项B错误。对于看涨期权持有者来说，股价上升可以获利，股价下降时最大损失以期权费为限，两者不会抵消，因此，股价的波动率增加会使看涨期权的价值增加，选项C正确。在除息日之后，红利的发放引起股票价格降低，看涨期权价格降低，因此，选项D错误。 【例多选题】（2007年改编）假设影响期权价值的其他因素不变，下列说法中正确的是（）。A.股票价格上升时以该股票为标的资产的欧式看跌期权价值下降B.股票价格上升时以该股票为标的资产的欧式看跌期权价值上升C.股票价格下降时以该股票为标的资产的美式看跌期权价值上升D.股票价格下降时以该股票为标的资产的美式看跌期权价值下降正确答案AC答案解析假设影响期权价值的其他因素不变，则股票价格与看跌期权（包括欧式和美式）的价值反向变化。 第二节期权价值评估的方法【知识点1】期权估价原理一、复制原理复制原理的基本思想是：构造一个股票和借款的适当组合，使得无论股价如何变动，投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。【例】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。6个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。1.确定6个月后可能的股票价格S0表示当前股票价格，Su表示上升后的股价，Sd表示下降后的股价，u为股价上行乘数，d为股价下行乘数。2.确定看涨期权的到期日价值【公式推导】构造一个股票和借款的适当组合，设借款数额为B，股票的数量为H。CuHSuB（1r）（1）CdHSdB（1r）（2）（1）（2）得：由（2）得：看涨期权的价值该投资组合成本购买股票的支出借款这里投资组合的成本，就是投资者构造该组合的现金付出。【说明】在股价下行时看涨期权不被执行的情况下，借款（到期日下行股价套期保值比率）/（1无风险利率） 复制组合原理计算期权价值的基本步骤（针对看涨期权）（1）确定可能的到期日股票价格上行股价Su股票现价S上行乘数u下行股价Sd股票现价S下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值股价上行时期权到期日价值Cu上行股价执行价格股价下行时期权到期日价值Cd0（3）计算套期保值比率套期保值比率期权价值变化/股价变化（CUCd）/（SUSd）（4）计算投资组合成本（期权价值）购买股票支出套期保值率股票现价HS0借款数额价格下行时股票收入的现值（到期日下行股价套期保值比率）/（1r） HSd/（1r）期权价值投资组合成本购买股票支出借款【例计算题】假设甲公司股票现在的市价为10元，有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为12元，到期时间是9个月。9个月后股价有两种可能：上升25%或者降低20%，无风险利率为每年6%。现在打算购进适量的股票以及借入必要的款项建立一个投资组合，使得该组合9个月后的价值与购进该看涨期权相等。要求：（结果均保留两位小数）（1）确定可能的到期日股票价格；（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值；（3）计算套期保值率； （4）计算购进股票的数量和借款数额；（5）根据上述计算结果计算期权价值。正确答案（1）上行股价10（125%）12.5（元）下行股价10（120%）8（元）（2）股价上行时期权到期日价值上行股价执行价格12.5120.5（元）股价下行时期权到期日价值0（3）套期保值比率期权价值变化/股价变化（0.50）/（12.58）0.11（4）购进股票的数量套期保值比率0.11（股）借款数额（到期日下行股价套期保值率）/（16%9/12）（80.11）/（14.5%）0.84（元）（5）期权价值购买股票支出借款100.110.840.26（元） 二、风险中性原理所谓风险中性原理是指：假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。风险中性的投资者不需要额外的收益补偿其承担的风险。在风险中性的世界里，将期望值用无风险利率折现，可以获得现金流量的现值。在这种情况下，期望报酬率应符合下列公式：期望报酬率无风险利率（上行概率上行时收益率）（下行概率下行时收益率）假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率，因此：期望报酬率无风险利率（上行概率股价上升百分比）（下行概率股价下降百分比）【注】由于这里的股价下降百分比表示的是收益率，所以必须用“负值”表示。假设上行概率为P，则下行概率为1P，于是有：rP（u1）（1P）（d1）解之得：有了概率之后，即可计算期权到期日价值的期望值，然后，使用无风险利率折现，就可以求出期权的现值。 风险中性原理计算期权价值的基本步骤（假设股票不派发红利）：1.确定可能的到期日股票价格2.根据执行价格计算确定到期日期权价值3.计算上行概率和下行概率【方法一】期望报酬率（上行概率股价上升百分比）（下行概率股价下降百分比）=无风险利率【方法二】4.计算期权价值期权价值（上行概率上行时的到期日价值下行概率下行时的到期日价值）/（1r） 【例】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。6个月后股价有两种可能：上升33.33%，或者降低25%。无风险利率为每年4%。假设该股票不派发红利。要求：根据风险中性原理计算该看涨期权的价值。正确答案（1）确定可能的到期日股票价格Su50（133.33%）66.66（元）Sd50（125%）37.5（元）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值CuMax（66.6652.08，0）14.58（元）CdMax（37.552.08，0）0（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率2%上行概率33.33%（1上行概率）（25%）上行概率0.4629下行概率10.46290.5371【提示】（4）计算期权价值6个月后的期权价值期望值0.462914.580.537106.75（元）期权价值C06.75/（12%）6.62（元） 【分析】期权定价以套利理论为基础。期权价值6.62元等价投资组合：购买0.5股股票，借入18.38元。（1）如果期权的价格高于6.62元对策：卖出1股看涨期权；购入0.5股股票，借入18.38元肯定盈利（2）如果期权价格低于6.62元对策：买入1股看涨期权；卖空0.5股股票，同时借出18.38元。肯定盈利结论：只要期权定价不是6.62元，市场上就会出现一台“造钱机器”。套利活动会促使期权只能定价为6.62元。【例计算分析题】（2009旧制度）D公司是一家上市公司，其股票于2009年8月1日的收盘价为每股40元。有一种以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为42元，到期时间是3个月。3个月以内公司不会派发股利，3个月以后股价有2种变动的可能：上升到46元或者下降到30元。3个月到期的国库券利率为4%（年名义利率）（注:报价利率）。要求：（1）利用风险中性原理，计算D公司股价的上行概率和下行概率，以及看涨期权的价值。（2）如果该看涨期权的现行价格为2.5元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。正确答案（1）股价上升百分比（4640）/40100%15%股价下降百分比（3040）/30100%-25%Cu46424（元）Cd0期望报酬率4%/4上行概率15%（1上行概率）（-25%）上行概率0.65下行概率1上行概率0.35看涨期权价值（40.6500.35）/（11%）2.57（元）【提示】概率也可直接按照公式计算：（2）套期保值比率（40）/（4630）0.25借款300.25/（11%）7.43（元）由于期权价格（2.5元）低于期权价值（2.57元），可以卖空0.25股股票，借出款项7.43元，同时买入1股看涨期权。【获利情况计算】卖出0.25股股票，借出款项7.43元，此时获得0.25407.432.57（元）；买入1股看涨期权，支付2.5元期权费用获利2.572.50.07（元）。 【知识点2】二叉树期权定价模型一、单期二叉树模型 关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。以风险中性原理为例：根据前面推导的结果：式中：Co期权价格；Cu股价上升时期权到期日价值Cd股价下行时期权到期日价值；r无风险利率u股价上行乘数；d股价下行乘数【提示】二叉树模型建立在复制原理和风险中性原理基础之上的，比较而言，风险中性原理比较简单，应用风险中性原理时，可以直接应用这里的上行概率计算公式计算上行概率，然后计算期权价值。二、两期二叉树模型如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。计算出Cu、Cd后，再根据单期定价模型计算出Co。【例】假设ABC公司的股票现在的市价为50元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为52.08元。到期时间是6个月。无风险利率为每年4%。把6个月的时间分为2期，每期3个月。每期股价有两种可能：上升22.56%，或下降18.4%。【提示】本例前面为6个月一期时，无风险利率2%，本题三个月一期时，无风险利率1%。并没有考虑报价利率和有效年利率的问题。正确答案第一步，计算Cu、Cd的价值【采用复制组合定价】套期保值比率期权价值变化/股价变化（23.020）/（75.1050）0.9171购买股票支出套期保值比率股票现价0.917161.2856.20借款数额（到期日下行股价套期保值比率）/（1利率）500.9171/1.0145.40Cu56.245.410.80元由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd0【采用风险中性定价】1%上行概率22.56%（1上行概率）（18.4%）上行概率0.47363期权价值6个月后的期望值23.020.47363（10.47363）010.9030Cu10.9030/1.0110.80（元）由于Cud、Cdd均为0，因此，Cd0【采用两期二叉树模型】第二步，根据Cu、Cd计算Co的价值。【采用复制组合定价】套期保值比率10.80/（61.2840.80）0.5273购买股票支出0.52735026.365借款数额（40.80.5273）/1.0121.3008Co26.36521.30085.06（元）【采用风险中性原理】【采用两期二叉树模型】 三、多期二叉树模型原理从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进乘数确定期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：其中：e自然常数，约等于2.7183标的资产连续复利收益率的标准差t以年表示的时间长度【例】已知某期权标的股票收益率的标准差0.4068，该期权的到期时间为6个月。要求计算上行乘数和下行乘数。如果将6个月划分为2期，计算上行乘数和下行乘数。时间间隔为1/4年，则u1.2256，即上升22.56%；d0.816，即下降18.4%做题程序：（1）根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式）（2）建立股票价格二叉树模型（3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。构建顺序由后向前，逐级推进。复制组合定价或者风险中性定价。（4）确定期权的现值【例】已知：股票价格So50元，执行价格52.08元，年无风险利率4%，股价波动率（标准差）0.4068.到期时间6个月，划分期数为6期。正确答案1.确定每期股价变动乘数u1.1246d0.8892【注意】计算中注意t必须为年数，这里由于每期为1个月，所以t1/12年。2.建立股票价格二叉树【填表规律】以当前股价50为基础，先按照下行乘数计算对角线的数字；对角线数字确定之后，各行该数字右边的其他数字均按照上行乘数计算。3.按照股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值二叉树。（1）确定第6期的各种情况下的期权价值7个数字中有三个大于执行价格，可以据此计算出三个期权价值（49.07101.1552.08；27.979.9852.08；11.1663.2452.08），后四个数字小于执行价格，期权价值为0。买入期权价格38.0449.0727.9011.160000（2）确定第5期的期权价值（风险中性原理）上行百分比u11.1246112.46%下行百分比1d10.889211.08%4%/12上行概率12.46%（1上行概率）（11.08%）上行概率0.4848下行概率10.48480.5152【提示】概率的计算也可以采用下式：上行概率下行概率10.48480.5152接下来，根据第6期的期权价值数字和上行下行概率计算第5期的期权价值数字。例如，第5期的第一个期权价值数字计算如下：其他数字计算同前。买入期权价格5.308.5213.2619.8428.2438.0449.072.304.117.1612.0519.2127.900.611.262.615.3911.160000000000【提示】运用风险中性原理的关键是计算概率。概率的计算有两种方法：（1）直接按照风险中性原理计算期望报酬率（上行概率上行时收益率）（下行概率下行时收益率）假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率，因此：期望报酬率（上行概率股价上升百分比）（下行概率股价下降百分比）（2）按照公式计算【知识点3】布莱克斯科尔斯期权定价模型（BS模型）一、布莱克斯科尔斯期权定价模型假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有者证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。二、布莱克斯科尔斯期权定价模型布莱克斯科尔斯期权定价模型，包括三个公式：其中：C0看涨期权的当前价值S0标的股票的当前价格N（d）标准正态分布中离差小于d的概率查附表六（正态分布下的累计概率）X期权的执行价格e自然对数的底数，e2.7183rc连续复利的年度的无风险利率t期权到期日前的时间（年）ln（S0/X） S0/X的自然对数2连续复利的以年计的股票回报率的方差（sigma）【总结】（1）期权价值的五个影响因素：S0、X、r、t（注意多选）。（2）做题的程序:d1 ；d2N（d1）；N（d2）C【例计算分析题】2010年8月15日，甲公司股票价格为每股20元，以甲公司股票为标的的代号为甲20的看涨期权的收盘价格为每股1.5元，甲20表示此项看涨期权的行权价格为每股20元。截至2010年8月15日，看涨期权还有3个月到期。甲公司股票回报率的标准差为0.4，资本市场的无风险利率为年利率12%。要求：（1）使用布莱克斯科尔斯模型计算该项期权的价值（d1和d2的计算结果取两位小数，其他结果取四位小数）。（2）如果你是一位投资经理并相信布莱克斯科尔斯模型计算出的期权价值的可靠性，简要说明如何作出投资决策。正确答案（1）0.25d20.250.250.20.05查附表六可以得出：N（d1）N（0.25）0.5987N（d2）N（0.05）0.5199C0200.5987200.97040.519911.97200.97040.519911.9710.091.88（元）（2）由于看涨期权的价格为1.5元，价值为1.88元，即价格低于价值，所以投资经理应该投资该期权。 附表六 正态分布下的累积概率N（d）（即变量取值小于其均值与d个标准差之和的概率）公式掌握方法三、模型参数估计布莱克斯科尔斯期权定价模型有5个参数。即：标的资产的现行价格S0、看涨期权的执行价格X、连续复利的无风险年利率rc、以年计算的期权有效期t和连续复利计算的标的资产年收益率的标准差。其中，现行股票价格和执行价格容易取得。至到期日的剩余年限计算，一般按自然日（一年365天或为简便使用360天）计算，也比较容易确定。比较难估计的是无风险利率和股票收益率的方差。1.无风险收益率估计（1）选择与期权到期日相同的国库券利率，如果没有时间相同的，应选择时间最接近的国库券利率。（2）国库券的利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），并且是按照连续复利计算的。【例】假设t0.5年，F105元，P100元，则：布莱克斯科尔斯期权估价模型要求无风险利率和股票收益率使用连续复利。在使用计算机运算时通常没有什么困难，但是手工计算则比较麻烦。为了简便，手工计算时往往使用年复利作为近似值。使用年复利时，也有两种选择：（1）按有效年利率折算例如，年复利率为4%，则等价的半年复利率应当是。（2）按报价利率折算例如，报价利率为4%，则半年有效复利率为4%22%。2.收益率标准差的估计股票收益率的标准差可以使用历史收益率来估计。其中：Rt指收益率的连续复利值。计算连续复利标准差的公式与年复利相同，但是连续复利的收益率公式与年复利不同。年复利的股票收益率：连续复利的股票收益率：（注意t1）【例单选题】甲股票预计第一年的股价为8元，第一年的股利为0.8元，第二年的股价为10元，第二年的股利为1元，则按照连续复利计算的第二年的股票收益率为（）。A.37.5%B.31.85%C.10.44% D.30%正确答案B答案解析第二年的年复利股票收益率（1081）/837.5%。按照连续复利计算的第二年的股票收益率ln（101）/8ln1.375，查表可知，ln1.370.3148，ln1.380.3221，所以，ln1.375（0.31480.3221）/20.3184531.85%。（本题也可以通过计算器直接计算得到结果） 四、看跌期权估价对于欧式期权，假定看涨期权和看跌期权有相同的执行价格和到期日，则下述等式成立：看涨期权价格看跌期权价格标的资产的价格执行价格的现值这种关系，被称为看涨期权看跌期权平价定理，利用该等式中的4个数据中的3个，就可以求出另外一个。【例】两种期权的执行价格均为30元，6个月到期，6个月的无风险利率为4%，股票的现行价格为35元，看涨期权的价格为9.20元，则看跌期权的价格为：正确答案9.20看跌期权价格3530/1.04看跌期权价格3（元） 【注意】（1）折现率的问题在复制原理、风险中性原理以及平价定理中，涉及到折现时，