三角函数的简单应用

欢迎大家走进数学课堂 西安市东方中学程小江2019年5月16日 北师大版高中数学必修四第一章 数学与音乐 音乐赏析 音乐赏析 1 9三角函数的简单应用 三角函数模型的应用示例 1 物理情景 简单简谐运动 星体的环绕运动2 地理情景 气温变化规律 月圆与月缺3 心理 生理现象 情绪的波动 智力变化状况 体力变化状况4 日常生活现象 涨潮与退潮 股票变化 正弦型函数 振幅 初相 x 0时的相位 相位 一 实例讲解分析 水车问题 1 2 0 3 1 2 2 7 1 2 91 8 71 8 51 8 31 8 11 8 t h m t s 11 8 31 8 51 8 71 8 91 8 1 2 2 7 0 3 例1 下图是某简谐运动的图象 试根据图象回答下列问题 1 这个简谐运动的振幅 周期与频率各是多少 2 从O点算起 到曲线上的哪一点 表示完成了一次往复运动 如从A点算起呢 3 写出这个简谐运动的函数表达式 D E 二 学生探究展示 例2 如果某地夏天从8 14时用电量变化曲线近似满足函数y Asin x b 如图所示 1 求这一天的最大用电量和最小用电量 2 写出这段曲线的函数解析式 解 1 观察图象知这一题中的最大用电量为50万度 最小用电量为30万度 2 观察图象可知 半个周期为 规律技巧 确定函数关系式y Asin x 就是确定其中的参数A 等 从图象的特征上找答案 A主要由最值确定 是由周期确定 周期T通过特殊点观察图象求得 如相邻的最大值 最小值相差半个周期 又由图象上的点求得 确定值时 要注意它的不惟一性 一般求 中最小的 例3 思路点拨 交流电压与时间的关系呈现周期性变化 t 0时即为初始电压 求周期和最值可直接运用三角函数性质 解 例4 受日月引力 海水会发生涨落 在通常情况下 船在涨潮时驶进航道 靠近船坞 卸货后落潮时返回海洋 某港口水的深度y m 是时间t 0 t 24 单位 h 的函数 记作y f t 下面是该港口在某季节每天水深的数据 经长期观察 y f t 曲线可以近似地看做函数y Asin t k的图象 1 根据以上数据 求出函数y f t 的近似表达式 2 一般情况下 船舶航行时 船底离海底的距离为5m或5m以上认为是安全的 船舶停靠时 船底只需不碰海底即可 某船吃水深度 船底离水面距离 为6 5m 如果该船在同一天内安全进出港 问它至多能在港内停留多长时间 忽略进出港所需的时间 分析 可先根据给出的数据在坐标系中作出散点图 再结合几点关键数据求出解析式 最后解决实际问题 解 1 根据数据画出散点图 如下图 则周期T 12 振幅A 3 k 10 y 3sint 10 0 t 24 12k 1 t 12k 5 k Z 在同一天内取k 0或1 则 1 t 5或13 t 17 所以该船最早能在凌晨1时进港 最晚下午17时出港 在港口最多停留16小时 规律技巧 许多实际问题可以根据以前的记录数据寻找模拟函数 然后就可以利用函数来解决一些问题 1 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型 可以用来研究很多问题 我们可以通过建立三角函数模型来解决实际问题 如天气预报 地震预测 等等 2 建立三角函数模型的一般步聚 搜集数据 利用计算机作出相应的散点图 进行函数拟合得出函数模型 利用函数模型解决实际问题 小结 3 三角函数应用题解答过程 审读题意 设角建立三角式 进行三角变换 解决实际问题 注意题目所给的辅助图形 选择适当的角 灵活运用所学公式 注意特殊角 作业 1 自己尝试利用数学知识为自习创作一小段音乐 并与同学分享和交流 体会数学建模的基本思路和步骤 2 习题1 9A组1 2 3题 备用练习 已知电流与时间关系