高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3_2_3 指数函数与对数函数的关系课件 新人教b版必修11

3 2 3指数函数与对数函数的关系 第三章 3 2对数与对数函数 学习目标1 了解反函数的概念 理解互为反函数的图象间的关系 2 知道指数函数与对数函数互为反函数 明确它们的图象关于y x对称 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一反函数 下列哪些函数是一一映射 答案 答案 1 2 3 都是一一映射 4 不是一一映射 思考2 答案 反函数的概念 1 前提 函数f x 是 2 定义 把函数f x 的因变量作为新函数的 把函数f x 的自变量作为新函数的 称这两个函数互为反函数 3 记法 函数y f x 的反函数为y 梳理 一一映射 自变量 因变量 f 1 x 思考 知识点二指数函数与对数函数的关系 指数函数y 2x与对数函数y log2x互为反函数吗 它们的图象有什么关系 答案 答案是 关于y x对称 梳理 指数函数与对数函数的关系 1 关系 指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数y logax a 0 a 1 2 图象特征 指数函数y ax a 0 a 1 与对数函数y logax a 0 a 1 的图象对称 3 单调性 在区间 1 内 指数函数y 2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐 而对数函数y log2x的增长时速度逐渐变得 互为反函数 关于y x 加快 很缓慢 题型探究 例1写出下列函数的反函数 1 y lgx 解答 类型一求反函数 解y lgx x 0 的底数为10 它的反函数为指数函数y 10 x x R 解答 2 y logx 求给定解析式的函数的反函数的步骤 1 求出原函数的值域 这就是反函数的定义域 2 从y f x 中解出x 3 x y互换并注明反函数的定义域 反思与感悟 跟踪训练1求下列函数的反函数 1 y 3x 1 解答 2 y x3 1 x R 解函数y x3 1的值域为R 解答 所以反函数为y x 1 2 x 1 解答 例2已知函数y ax b a 0且a 1 的图象过点 1 4 其反函数的图象过点 2 0 求a b的值 类型二反函数的应用 解答 解 y ax b的图象过点 1 4 a b 4 又 y ax b的反函数的图象过点 2 0 点 0 2 在函数y ax b的图象上 a0 b 2 联立 得a 3 b 1 互为反函数的图象关于直线y x对称是反函数的重要性质 由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于y x对称 所以若点 a b 在函数y f x 图象上 则点 b a 必在其反函数y f 1 x 图象上 反思与感悟 跟踪训练2已知函数f x ax k的图象过点 1 3 其反函数y f 1 x 的图象过 2 0 点 则f x 的表达式为 f x 2x 1 答案 解析 解析 y f 1 x 的图象过 2 0 2 0 关于y x的对称点 0 2 一定在f x ax k上 又 1 3 也在函数f x ax k上 f x 2x 1 1 求a的值 并判断f x 的奇偶性 类型三指数函数与对数函数的综合应用 解答 解由f 0 0 得a 1 所以f x f x 即f x 为奇函数 2 求f x 的反函数 解答 解答 所以当0 k 2时 原不等式的解集为 x 1 k x 1 当k 2时 原不等式的解集为 x 1 x 1 1 明确求反函数的方法 注意在求反函数时一定要标明定义域 2 要注意应用指数函数与对数函数是一对反函数的性质 反思与感悟 跟踪训练3设方程2x x 3 0的根为a 方程log2x x 3 0的根为b 求a b的值 解答 解将方程整理得2x x 3 log2x x 3 如图可知 a是指数函数y 2x的图象与直线y x 3交点A的横坐标 b是对数函数y log2x的图象与直线y x 3交点B的横坐标 由于函数y 2x与y log2x互为反函数 所以它们的图象关于直线y x对称 由题意可得出A B两点也关于直线y x对称 于是A B两点的坐标为A a b B b a 而A B都在直线y x 3上 b a 3 A点坐标代入 或a b 3 故a b 3 当堂训练 1 函数y x 2 x R的反函数为A x 2 yB x y 2C y 2 x x RD y x 2 x R 答案 2 3 4 5 1 2 函数y x 1 的反函数是A y x2 1 1 x 0 B y x2 1 0 x 1 C y 1 x2 x 0 D y 1 x2 0 x 1 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 x 1 x 1 1 x 0 原函数的值域应与反函数的定义域相同 选项中只有C的定义域满足小于等于0 3 函数y f x 的图象经过第三 四象限 则y f 1 x 的图象经过A 第一 二象限B 第二 三象限C 第三 四象限D 第一 四象限 答案 2 3 4 5 1 解析 解析因为第三 四象限关于y x对称的象限为第三 二象限 故y f 1 x 的图象经过第二 三象限 4 若f x 1 x2 2x 3 x 1 则f 1 4 等于 答案 2 3 4 5 1 解析 解析 f x 1 x 1 2 2 x 1 f x x2 2 x 0 5 若函数y f x 的图象和函数y log3x x 0 的图象关于直线y x对称 则f x 答案 解析 解析 y f x 与y log3x x 0 的图象关于直线y x对称 f x 3x 2 3 4 5 1 3x 规律与方法 1 对数函数y logax与指数函数y ax互为反函数 它们的图象关于直线y x对称 2 反函数的性质 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对称 若函数y f x 的图象关于y x对称 说明y f x 的反函