第五章 方阵的特征值和特征向量.doc

2009智轩考研数学创高分红宝书系列-线性代数第五章 方阵的特征值和特征向量2008年考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵2008年考试要求1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。2. 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。3. 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。陈氏第27技 两特两化与相似正交是方阵的核心。 求两特（特征值和特征向量）或两特两化（特征值和特征向量及正交化和单位化）时，由于计算量较大，务必请读者步步为营验算。一、三基与拓展1特征值 （针对方阵） 1.1 定 义： 1.2 基本性质与结论： 特征矩阵： 特征多项式： 特征方程： , 若，则， 如的特征值为 的特征值为 设为分块矩阵，即，则的所有特征根就是的特征根。是的特征值2特征向量 2.1性 质：首先它要求是一个非零的列向量，其次它是和某个特征值对应的，不能孤立存在，但反过来，一个重根特征值却可以对应多个线性无关的特征向量，但重根特征值对应线性无关的特征向量的个数不一定与重根特征值的重数相等，但对实对称矩阵一定相等，所以，实对称矩阵有多少个特征值（包括重根的重数）就一定有多少个线性无关的特征向量。全部特征向量构成的一个基础解，解空间维度，不同特征值对应的特征向量必线性无关，同一特征值（重根）对应的特征向量不一定线性无关。2.2 基本结论 对同一是的特征向量，则也是特征向量，对于不同的 则不是特征向量（参阅【例4】）。有相同的，但特征向量不一定相同。 可对角化特征向量的个数（重根需重复计算）【例1】求的特征值和特征向量 解：矩阵的特征方程为，是的三重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为 任意三个线性无关的向量都是它的基础解系，一般取特征向量评 注这就是为什么在求形如基础解系时，用的列向量依次填补后面坐标分量的原因。【例2】设阶矩阵的元素全为1，求的特征值。解： 【例3】求的的特征值和特征向量。解：矩阵的特征方程为，是的二重特征根。此时求特征向量的齐次方程组为只有一个特征向量，可见二重特征根不一定存在2个特征向量。是的单特征根。此时求特征向量的齐次方程组为【例4】设方阵有两个特征值，对应的特征向量分别为，证明：不是的特征向量。 证明：采用反证法。设是对应特征值为的特征向量，则 与条件矛盾，故原命题成立。【例5】设方阵有两个特征值，对应的特征向量分别为，证明：线性无关的充要条件是。证明： 利用分块矩阵的初等变换，否则0与任何向量组线性相关。3相似矩阵及性质3.1 定义（充要条件） ，它是的一种等价形式。3.2 性 质具有5个相同，即 相同的行列式；反之不成立。相同的特征多项式；证明如下 ，反之不成立。相同的特征值；反之不成立。例如 如果是实对称矩阵则逆命题成立。相同的秩；反之不成立。相同的迹；反之不成立。其中，5个都是必要条件，而非充分条件，只能用来否定两个矩阵相似，而不能用来肯定两矩阵相似。要判断两个矩阵是否相似，先看他们是否与必要条件矛盾，如是则一票否决如不是，主要看它是否满秩，因为矩阵对角化一般值需要个线性无关的一般向量，对角化特征值则需要个线性无关的特征向量。评 注 如为三阶方阵，求 。解：【例6】设，则与相似的矩阵是（）解：选。分析如下： 4个矩阵的特征值都是1，1，3，下面主要看是否具有满秩，也就是是否具有3个线性无关的特征向量，由于不同的特征值对应的特征向量必线性无关，因此，只要检验属于重特征值1的线性无关向量是否有两个。故只有正确。【例7】设，相似，其中 ，求和的值。解：由由于取任意值上式成立，不妨令4、一般方阵可相似对角化的充要条件4.1 对角化矩阵的概念任何方阵，如能经过等价变换（也是一种初等变换）化为形如的矩阵，称为为可对角化矩阵。称为的相似标准形，它是唯一的。 方阵的对角化一般采用相似矩阵进行等价变换（相似变换）来达到目的，即 ，称为矩阵的相似对角化。4.2 矩阵可相似对角化的充要条件有下列四个等价命题阶方阵；阶方阵有个线性无关的特征向量；阶方阵存在个不等的特征值（即特征值只有单根，且可以为0）；对于每个重特征值根，的解空间的秩。 评 注 阶方阵有个线性无关的特征向量才可对角化的证明过程如下： （存在要求线性无关）令 （注意为特征向量组） 则 ，由于要求可逆，故阶方阵必须存在个线性无关的特征向量。【例8】讨论矩阵， 的对角化。解： 所以对3重根有3个线性无关的特征向量，故能对角化。（对于本身已经对角化的矩阵，其相似矩阵）。 所以对2重根只有1个线性无关的特征向量，故不能对角化。 5、实对称矩阵一定可以对角化5.1 实对称矩阵及其性质称为实对称矩阵全为实数实特征向量不同的对应的特征向量必定线性无关且相互正交，（对一般称矩阵则不一定正交，只是线性无关），相同的对应的特征向量个数必等于重数（对一般称矩阵则不一定有此结论），且一定线性无关但不一定正交，需要使用施密特正交化方法并单位化（两化）使它们正交归一。所以，阶实对称矩阵及其多项式一定有n个线性无关的特征向量，可无条件可对角化。5.2 实对称矩阵的正交对角化及其方法 实对称矩阵的对角化有两种形式：一是它可以和对角矩阵相似而对角化；二是它既可以和对角矩阵相似又合同，。一般的矩阵即使可以对角化，也不能与对角矩阵合同。因为如果合同，则，可见，也合同，而这时可见，只要为实对称矩阵，则也是实对称矩阵，反之亦然，所以，合同是实对称矩阵特有的一种等价关系，与实对称矩阵合同的矩阵必是实对称矩阵，它们具有相同的秩和相同的正惯性指数（对角矩阵对角元为正数的个数）它在二次型尤其是正定型中，作用巨大。另外实对称矩阵可以和非特征值主对角元的对角矩阵合同，即存在可逆矩阵，即合同变换可以使实对称矩阵对角化。当时，说明为正交矩阵，所以，我们可以使用一个正交矩阵，使实对称矩阵与对角矩阵既相似又合同，既可以解决实对称矩阵对角化问题，又同时解决了二次型的标准化问题。下面介绍对给定的实对称矩阵，如何求正交矩阵，使对角化（四步对角化定势）。（特别注意，如果仅仅是对角化，没有必要一定求一个正交矩阵，只要具备个线性无关的特征向量按列组成一个可逆矩阵即可完成对角化。）第一步，根据；第二步，对每一个特征值，根据，求出对应的特征向量，如果是单根，就对应一个特征向量，如果是重根，就一定对应个线性无关的特征向量；第三步，对重特征值对应的那组特征向量进行施密特正交化，再单位化，就得到了一个正交单位向量组；第四步，将对应的顺序按列排列，就得到所求的正交矩阵。而且有【例9】设三阶实对称矩阵的特征值是的特征向量，记。 （1）验证是的特征向量，并求得全部特征值和特征向量； （2）求矩阵。解：（1） 故是矩阵的属于特征值-2的特征向量。如果的特征值为，则 的特征值就是，故的三个特征值为又设为属于的两个线性无关的特征向量，又因为为对称矩阵，则也为对称矩阵，因此，满足与正交的必属于的特征向量，即： ，所以可取为下列线性齐次方程组的两个线性无关的解： 所以的全部特征向量为，其中是不为零的任意常数，和是不同时为零的任意常数。（2）方法一：相似变换。 方法二：正交变换。 将先正交化，得 将单位化，得 评 注 本题型一般使用第一种方法，除非题目要求使用正交变换。上题虽然第二种方法计算量较大，但可以避免求逆矩阵。读者可以自己按两种方法各计算一次，计算好时间，用实践证明那种方法更快。【例10】设阶方阵满足，证明可对角化。证明：设，则 又 设 （1）若，则，即对应有个线性无关的特征向量；，即对应有个线性无关的特征向量；共有个线性无关的特征向量，故可对角化。（2）若，则，本身就是对角矩阵。（3）若，则，本身也是对角矩阵。所以，不管那种情况，都可对角化。与相似的对角矩阵为。二、题型题法【例11】阶可逆矩阵的每行元素之和均为，求的一个特征值。解：依题意知有一个特征值 ，有一个特征值 ，故 的一个特征值。【例12】为三阶矩阵，且，求。解：推知的三个特征值：， 于是的三个特征值为：。【例13】 求解：【例14】设，其中：，且，求的特征值和特征向量。解：又， 所以：为二重根。【例15】 设矩阵 有一个，求解： 【例16】 已知是实对称矩阵的三个特征值，且对应的特征向量为，求对应于的特征向量与。解： 又 【例17】 设， ，试判断，是否相似， 如相似，求。解： 如根据直接求，计算量很大，几乎不可取。当 （中有2个主元1，第一列为全零列，故只有一个基础解，一般来说，对应全0列的向量为单位向量。） 同理： （如果是由的全体的对角阵，就直接可以求出，但本题不是，故需进一步计算。）同理：对 故存在 使 所求的矩阵 。【例18】 有三个线性无关的特征向量，是二重根，求对角化矩阵P。解： 求矩阵中的未知数有两种方法，一是根据已知条件直接利用系数行列式求出（如对相似矩阵，就利用特征行列式相等；对方程组解有无穷解，就利用系数行列式为零等等），特别适应只有一个未知数的情形；二是利用初等变换再根据矩阵秩的已知特点（如方程有解，则令增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩）求出，特别适合未知数较多的情形。依题意，【例19】设为三阶矩阵，为线性无关的三维列向量，且满足：，。求矩阵，使；求的特征值；求可逆矩阵，使得为对角矩阵。解： ， 由题条件知，矩阵可逆 得与相似，即与有相同的特征值。 ，也就是的特征值。对于 对于 令 【例20】设，求实对称矩阵，使。解：两特两化问题。单位法：为正交矩阵。【例21】设为阶实对称矩阵，为阶实可逆矩阵，是对应于特征值为的特征向量，求和属于的特征向量。解： 【例22】设为3阶矩阵，已知，一个特征值为，求的特征值。解：设的特征值为。 【例23】设是秩为的阶方阵，满足，又。证明：可逆；用的多项式表示。解： 第五章 特征值与特征向量模拟题一 填空题1 设A是n阶方阵，是A的伴随矩阵，则方阵的特征值是_，特征向量是_。2 矩阵的非零特征值是_。3 设，且A的特征值为2和1（二重），那么B的特征值为_。4 已知矩阵相似，则x=_，y=_。5 设A，B为n阶方阵，且，则AB和BA相似，这是因为存在可逆矩阵P=_，使得。二 选择题1 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。已知n维列向量是A的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（A）（B）（C）（D） 2设与是矩阵A的两个不同的特征值，是A的分别属于，的特征向量，则（A）对任意都是A的特征向量。（B）存在常数使是A的特征向量。（C）当时，不可能是A的特征向量。（D）存在唯一的一组常数，使是A的特征向量。 3设是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组的基础解系为和，则A的属于的全部特征向量是（A）和。（B）或。（C）为任意常数）。（D）为不全为零的任意常数）。 4A，B是n阶方阵，且B，则（A）A，B的特征矩阵相同。（B）A，B的特征方程相同。（C）A，B相似于同一个对角阵。 （D）存在正交矩阵T，使得。 5设与是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是（A）0。（B）0。（C）=0。（D）=0。 三解答题1设是矩阵的特征值，求：（1）t的值。（2）对应于的所有特征向量。2假设n阶矩阵A的任意一行中，n个元素的和都是a，试证是A的特征值，且是对应于的特征向量，又问此时的每行元素之和为多少？3设矩阵A与B相似，其中。 （1）求x和y的值。 （2）求可逆矩阵P，使得。4设矩阵，求B+2E的特征值与特征向量，其中为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。5判断矩阵是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P，使为对角矩阵。6设，求。7某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工，设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为，记成向量。 （1）求与的关系式并写成矩阵形式：=A； （2）验证是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3）当时，求。8设是方阵A的特征根，是A的对应于的线性无关特征向量，是A的对应于的线性无关的特征向量，证明线性无关。9设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，对应的特征值，其中是矩阵A的伴随矩阵，试求a，b，和的值。10设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方程组Ax=0的两个解。 （1）求A的特征值与特征向量； （2）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得； （3）求A及，其中E为3阶单位矩阵。11已知矩阵与对角矩阵相似，求。第五章 特征值与特征向量精模拟答案一 填空题1 B的特征值即为5，且为n重特征值；对任一n维向量都有，故B的特征向量即为为零） 其中2 4。3 2和1（二重）。4 。5 令P=A，则有。二 选择题1（B）2（C）3（D）4（B