附录一 韶关学院校内数学建模竞赛题.doc

韶关学院第一届数学建模竞赛题 （ 大专组 ）一、水厂设立、两镇相距公里，镇位于一直线形河岸边，镇距离河岸公里.两镇计划在此河边处合建一个水厂取水.已知从水厂到镇和镇水管铺设费用分别为和.试确定水厂的位置，使水管铺设总费用最少.并求出其最少费用.二、 截割方案有一批米长的合金钢材.现要截割成长为厘米和厘米两种规格.试确定截割方案（即一根米长的钢材截几根厘米和几根厘米的材料），使钢材利用率最高.并求出最高利用率.三、 投资决策某公司正筹划投资生产产品或产品，根据以往情况和市场预测显示： 投资产品需要费用万元，投资产品需要费用万元； 若市场销路好，产品年利润可达万元，产品年利润可达万元；若市场销路坏，产品年亏损万元，产品年亏损万元； 未来十年内销路好的频率为.，销路坏的频率为.公司决定在、两产品中选择一种投资，请你为公司决策：确定投资的产品，使投资回报率（即投资利润与投资金额之比）最大.并求出两产品的投资回报率.四、 生产安排某工厂生产甲、乙两种产品，生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：品种原材料（千克）能源消耗（百元）劳动力（人）利润（千元）甲乙现有库存原材料1400千克；能源消耗总额不超过2400百元；全厂劳动力满员为2000人，试安排生产任务（生产甲、乙产品各多少件）,使获得利润最大，并求出最大利润.五、 最优联网某乡的乡政府与它的几个村、进行信息联网，已测得各村及乡政府间的联网费用如下表（单位：千元）SABCDEFS786345A72_2B8253.6_4C6_55_D3_3.6535.6E4_34F524_5.64“一”表示两村不能直接联网.请设计一个最优联网方案，使各村之间与乡政府都能连通，而联网费用又最小（图示联网方案），并求出最小联网费用.六、 最佳存款中国人民银行经过几次下调存款利率，目前银行整存整取的年利率如下表：存期一年期二年期三年期五年期年利率%2.25%2.43%2.70%2.88%现有一位刚升入初一的学生，家长欲为其存一万元，以供6年后上大学使用。若此期间利率不变，请为其设计一种存款方案，使6年后所获收益最大.并求出最大收益.第一届校内数模竞赛（大专组）参考答案一水厂设立如图，设，则AC的费用为400x，的费用为，此问题的数学模型为 min S = 400x + 模型的求解： ，令 = 0 ，得到驻点 x8.8 由实际意义或求二阶导数可说明驻点x是最小值点，最小费用为 ( 答略). 二截割方案 设1米长的钢材截27厘米的根,15厘米的根.则此问题的数学模型为: 模型的求解: 方法1: 在区域内确定出与直线最近的格点；方法2: 由穷举.方法3: 用数学软件.求解结果: .最高利用率： .三投资决策 投资生产A、B两产品的利润分别为 （万元）（万元）投资回报率分别为 .故应对A产品进行投资, 投资回报率将最大.四生产安排 设安排生产甲产品件，乙产品件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为 模型的求解：方法一：图解法.可行域为：由直线组成的凸五边形区域.直线在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当过的交点时，S取最大值. 由 解得：（千元）(答略)方法二：用Lindo软件或Maple软件求解. 五.最优联网 以村（包括乡政府）为顶点，可直接联网的两村则连边，联网费用作为边上的权，得到一个赋权连通图G如下： 由破圈法或避圈法求得G的最优树T（上图波浪线），最优联网方案为SD、DC、DE、DB、BA、AF或SD、BC、DE、DB、BA、AF 最小联网费用为 六、最佳存款设存款分n次进行，每次的存期分别为,这里1n6，存期集合为S1,2,3,5. 存期为时，对应度年利率为当=1时，=0.0225；当=2时，=0.0243；当=3时，=0.0270；当=5时，=0.0288；设将一万元分n次进行，每次存期分别为,所得的收益为.则此问题当数学模型为s.t. . 1n6 ，易知函数的值与,的顺序无关.不妨设.则（,）的所有取值为（1，1，1，1，1，1），（1，1，1，1，2）,（1，1，2，2），（1，1，1，3），（1，2，3），（1，5），（2，2，2），（3，3）现计算的值如下： 故最佳存款方案为：先存一年期再存一个五年期，所得的最大收益为11697.4元.韶关学院第一届数学建模竞赛题A题、水产的养殖与捕捞 人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比.而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加.但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去.现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。用x（t）表示养殖场中第t月的虾量（单位：斤），用y(t)表示第t月的月养殖费（单位：）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据： 这种虾的自然死亡率为; 环境容许的最大虾量为10（斤）； 在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增加速度与月养殖费y(t)成正比，其比例系数是x(t)的函数；当x(t)达到N时，此函数为0；当x(t)为0时，此函数为常数）； 虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量x(t)成正比，比例系数为E.这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为； 小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元.1、 若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为.试制定捕捞策略（确定E），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？2、 若某人承包此养殖场5年，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为,又取E0.08.试制定养殖策略（确定a）,使5年的总利润最大.如果初始虾量为10斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？3、 若某人承包此养殖场5年，每月按强度E0.1捕捞，试制定养殖场策略（确定养殖费y(t)）,使年的总利润最大.题、产品的零件安装设计 一种产品由个零件安装而成，这个零件分别用表示，一个零件只能由一个工人来安装，一个熟练工人安装需要时间为（单位：分钟）.此产品的个零件正等待工人来安装.若这个零件由一个工人来安装，试给出一个安装次序，使各零件安装完的时间（包括等待安装时间）之和最少，并给出其最优性的证明.在一个工人安装时，若零件紧接着零件安装完后进行安装，需要准备时间满足试设计一个安装次序，使这个工人完成此产品安装任务的时间最少，并算出最少时间.若某些零件必须另一些零件安装后才能进行安装，各零件需先前安装的零件如下表：先前安装的零件先前安装的零件不考虑准备时间即 .（） 当此产品的零件由两个工人来安装时，完成任务的最少时间是多少？并为此两工人设计出安装方案.（） 如果工人足够多，完成产品的零件安装任务的最少时间将如何？（） 当此产品的零件仍由一个工人来安装，设计一个满足要求的安装次序，使各零件安装完的时间（包括等待安装时间）之和最少.（）韶关学院第一届数学建模竞赛题(本科组)A题 水产的养殖与捕捞一、 模型假设、养殖场不与其它水域发生关系，是一个独立的生态群体； 、虾群是一个独立的种群，不与其它生物发生竞争；或者虽有竞争，但其影响限于虾的自然死亡率之内； 3、虾的捕捞采用固定努力量捕捞，每月的捕捞强度系数E是常量； 4、虾的销售不成问题，即打捞的虾都能卖出，且价格不变. 销售成本费用忽略不计； 、在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增长速度与月养殖费y(t)成正比. 其比例系数是x(t)的线性减函数：P(x(t)=A Bx(t).二、基本模型 1、自然死亡规律： =x(t) 2、捕捞模型 ： =Ex(t) 3、由假使5知：P(x(t)=ABx(t)，又由题设条件：当x(t)=N时，P(x(t)=0；当x(t)=0时,P(x(t)=.解得: A=,B=. 从而P(x(t)=(1). 4、在捕捞和自然死亡的情况下,养殖场虾量随时间变化的数学模型为： =(1)y(t)(+E)x(t) 5、关于虾的平均价格 设虾的价格是一随机变量,由题设知：的取值为5、7、10. 其出现的概率分别为： P(=5)=0.2,P(=7)=0.5,P(=10)=0.3， 则的数学期望(平均值)为： E=50.2+70.5+100.3=7.5. 即虾平均每斤的批发价格为7.5元. 记为p三. 关于每月虾量相等的最大利润捕捞策略 1、每月虾量相等的养殖场虾量每月的虾量相等=0.由基本模型4知：=0(1)y(t)(+E)x(t)=0.又由题设条件:：y(t)=ax(t). 得 =0 a(1)x(+E)x=0. x=N ，x=0 (舍去) . 、数学模型（一） 每月利润价格捕捞量成本月养殖费. 每月虾量相等的最大利润捕捞模型为： 、模型的求解 令 ，得驻点为 由实际意义知： E是最大值点.、结果 . 捕捞强度为每月养殖场最大虾量 最大月利润）.四.承包五年捕捞强度E=0.08(1/月)的养殖策略及开始捕捞时间1. 此时的数学模型(二)为:maxR(a)(pE-E-a)X(t)dt s.t. a(1)X(t)(+E)X(t) 2.上述微分方程的解为x(t) 3.求解方法将上述x(t)代入目标函数R(a)中，并利用积分公式： 对R(a)的解析式关于a求导，并令，再确定R(a)的最值.（求解过程用Maple软件进行）. 4.结果P=7.5 , =0.1 , =0.05 , =1 , N= , E=0.08得 a 0.3006239887（元/月.斤） 养殖场虾量水平为5313.91（斤）;5年的最大利润为82398.93829（元）.5. 当x(0)=10时，获利最大的开始捕捞时间 x (t)= 将N=10, =1, a=0.2774, =0.05, x(t)=5313.19 代入上式，解得 t11.3677 (月) 341（天） 即当初始虾量为10斤时，获利最大的开始捕捞的月份为11.4月. 五 承包5年捕捞强度E=0.1 (1/月) 的一般养殖策略1. 数学模型（三）maxR(y(t)= 0.74x(t)-y(t)dts.t. =(1)y(t)0.15x(t) 2.用变分法求解上述泛函极值：令 H(t, x, y)=0.74x (t) y (t) + u (t)(1) y (t) 0.15 x (t) 则由欧拉方程得 解得x (t) 5497.75, y (t) 1831.67 故当某人承包养殖场5年,每月按强度E=0.1(1/月)捕捞时,每月投入1831.67元的养殖费,5年的总利润将最大. B题 产品的零件安装设计 模型假设: 所有零件安装都由熟练工人进行,且安装过程中不发生意外. 说明:本题中有关的问题,题目己作了明确的假设,以上假设不是主要的.一. 问题一.1. 安装次序将t,t,t15按从小到大排序为:t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t,t.得到其下标的一个排列=(3,4,12,7,13,1,8,6,5,9,10,14,15,11,2)各零件安装完的时间（包括等待安装时间）之和最少的安装次序为: A- A- A- A- A- A- A- A- A- A- A- A- A-A- A,其中A与A可以交换次序. 安装最少时间为：S=15 t+14 t+13 t+12 t+11 t+10 t+9 t+8 t+7 t+6 t+5 t+4 t+3 t+2 t+ t2. 最优性当证明 对于零件的任意一个安装次序，则各零件安装完的时间（包括等待时间）之和为： 若，使.则在S中将与对调，而其它不变，得到：. 即. 这说明在时间排序中只要tt，就可作一次对换，得到比S更小的时间和S. 又由于任意排列()经过若干次对换总可变为排列，故.二、 问题二.1、 数学模型 以15个零件为顶点. 任意两个顶点都连边，每条边都赋权. 得到一个赋权完全图. 此最优安装次序就是在中求一条权和最小的Hamilton路. 2、 模型求解 中共有105条边，每条边的权：.而权为0的边有A1A14, A2A13, A3A12 , A4A11, A5A10, A6A9, A7A8 ; 权为的边有 ： A1A15,A2A14,A3A13,A4A12,A5A11,A6A10,A7A9 . 故中最小权Hamilton 路为:3结果 最少时间安装次序为A15, A1, A14, A2, A13, A3, A12, A4, A11, A5, A10, A6, A9, A7, A8 最少时间为 三,问题三. 以个零件A1, A2, , A15为顶点, i安装为完后再安装Aj , 则连一条有向边 ，得到一个有向图D . (并设两个假想点S 、 T)().由最长路算法,得到有向图中到的最长有向路为: =t2+t 6+t1+t4+t7+t8+t9+t13+t12+t14+t15 =123(分钟)而t3t2 , t5t7+t8 , t10t9+t13. 两个工人安装的最少时间是123分钟, 安装方案为:第一个工人连续安装:, ，,3,12, A14,A15；第二个工人安装:A3,A5,A10,A11.当第一个工人安装A4后,连续进行A3,A5,A10,A11的安装. 两个工人的工作时间分别为:123分钟和48分钟.().最少时间仍为123分钟. ().由一个工人安装,使各零件安装完的时间( 包括等待时间)之和最少的安装次序为: A3, A2, A6, A1, A4, A7, A8, A9, A13, A5, A10, A12, A14, A15, A11 韶关学院第二届数学建模竞赛题 一 融雪时间一个顶角为900的锥体状雪堆，其体积融化的速率与锥面面积S成正比，其比例系数为.假设雪在融化过程中始终保持锥状.已知高为的雪堆在开始融化的1小时内，融化了其体积的.试求雪堆全部融化需要的时间.二. 狼追兔子一只兔子躲进了10个环形分布洞的某一个中，狼在第一个洞中没有找到兔子，就隔一个洞，到第三个洞去找，也没有找到，就间隔两个洞，到第六个洞去找，以后每次多一个洞去找兔子这样下去，如果狼一直找不到兔子.请问兔子可能躲在哪个洞中？给出算法步骤，并编程求出结果.三 投产选择某工厂准备在甲、乙、丙三种产品中选择两种投产，它们都需经过A、B、C三道工序加工 有关数据如下表：产品甲产品乙产品丙生产能力（小时）工序A（小时/件）3213500工序B（小时/件）1124000工序C（小时/件）1315000成本（元/件）508070售价（元/件）300320400甲、乙、丙三种产品投产时，固定费用分别是2000元、2500元和3000元.试建立此问题的数学模型，确定投产方案，使获利润最大四 矿区选址V1(3000T)下图为一个矿区图(其中边上的数字表示两点的距离，单位：千米).此地区有7个矿，分别在V1，V2，V7处.这7个矿每天的矿产量分别为：V1=3000（吨），V2=2000（吨），V3=7000（吨），V4=1000（吨），V5=5000（吨），V6=1000（吨），V7=4000（吨）.现要从V1，V2，V7中选一个地点，来建一个选矿厂.问应该选哪一个地方，才能使各矿生产的矿石运往选矿厂的费用最小？（假设矿石每吨每千米的运费相同）五 省时路线图（1）、图（2）是一城市街道示意图.某人要从A点行驶到B点，每条街道旁边的数字表示经过这条街道所需的时间（单位：分钟）.另外，每次右转弯需要1分钟，左转弯需要2分钟.试建立一个数学模型，给出求省时路线的算法，并求出图（1）的省时路线及其时间. 六零件加工有编号为A，B，C，D，E，F，G的七个零件安排在同一台机床上加工.设各零件的加工时间依次为14，6，24，12，6，18，12（分钟）.该机床一次只能加工一个零件，每个零件加工完毕即可运走投入下一工序.(1).试安排一个加工次序，使各零件的加工和等待时间之和最小，并说明理由；(2).若零件F、G必须先于零件B加工，零件A、B 、D必须先于零件C加工，零件G必须先于零件D加工，零件C必须先于零件E加工.试找出使各零件的加工和等待时间之总和最小的加工次序.第二届数模竞赛题参考答案一、 融雪时间如图.假设雪在融化过程中始终为顶角为900的圆锥体.其高为，底面半径为.（、均为时间t的函数）.于是.在时刻时，圆锥体积、锥面面积分别为： -（1）由假设条件，体积变化的微分方程模型为：45o （2）r再由（1）得：解得： 又由已知条件 .而 , 故。雪堆全部融化 得 （小时）二、 狼追兔子 本题用筛选法求解.先建立一个数组来表示编号为1-10的十个洞，然后模仿狼的搜索过程对已查过的洞（相应的数组元素）打上记号，表示已查过（即筛去）.因为洞只有10个，所以当间隔的洞的个数超过10个，比如说间隔11个洞，则与间隔1个洞的效果是一样的.因此在模仿中，一旦间隔为11，不妨重新从1开始.特别是当再次出现狼搜索了第一个洞，准备间隔一个洞（实际上可能是11或21等）去搜索第3个洞时，说明模仿可以结束.因为洞的个数是有限的，这种情况肯定会出现.算法可以描述如下：（1） 建立一个数组cave,且其值都为0，表示未搜索过；（2） p=1,q=1,p是洞指针，q是间隔的洞数；（3） 置cave(p)=1，表明第p个洞已查过，筛去；（4） p累加1，q累加1.洞的间隔数加1，p指向下一个要查的洞；（5） 使p为p-1除以10的余数再加上1，q为q除以10的余数；（6） 若p不是1或q不是1，则转到（3），否则转到（7）；（7） 从cave(1)cave(10)中找出没有打个记号的洞的序号。相应的PASCAL程序如下：program wolf; const maxlen=10; var i,p,q:integer; cave:array 1.maxlen of integer; begin for i:=1 to maxlen do cavei:=0; p:=1;q:=1; repeat cavep:=1; q:=q+1;p:=p+q; p:=(p-1) mod 10 +1; q:=q mod 10; until (p=1) and (q=1); writeln; write(NO:); for i:=1 to maxlen do if cavei=0 then write (i:5); end.运行结果为：No: 2 4 7 9三、 投产选择设甲、乙、丙的产量分别为（单位：件）.可行性方案有3个.（1） 投产甲、乙的整数线性规划模型为解得：（2） 投产甲、丙的整数线性规划模型为解得：（3） 投产乙、丙的整数线性规划模型为解得： 故选择乙和丙产品投产获利最大，最大利润为729500（元）.四、 矿区选址算法如下：（1） 用邻接矩阵表示矿区图；（2） 用Folyd算法求出任意两个矿之间的最短路；（3） 求出分别以各矿为选矿时所花费的运输力量ei;（4） 求出ei中最小的i值，即为选矿厂应建立的位置.PASCAL程序如下：program center; const maxn=80; var n:integer; w:array1.maxn,1.maxn of real; e:array1.maxn of real; v:array1.maxn of real; f:text; procedure read_graph; var str:string; i,j:integer; begin write(Graph file=); readln(str); assign(f,str); reset(f); readln(f,n); for i:=1 to n do for j:=1 to n do begin read(f,wi,j); if (wi,j=0) and (ij) then wi,j:=maxint; end; close(f); end; procedure Floyd; var i,j,k:integer; begin for k:=1 to n do for i:=1 to n do for j:=1 to n do if wi,k+wk,jwi,j then wi,j:=wi,k+wk,j ; end; procedure choose; var best:real; i,j,best_i:integer; begin v1:=3000;v2:=2000;v3:=7000;v4:=1000;v5:=5000;v6:=1000;v7:=4000; for i:=1 to n do begin ei:=0; for j:=1 to n do ei:=ei+wi,j*vj; end; for i:=1 to n do writeln(e,i,=,ei); writeln; best:=1e+38; for i:=1 to n do if ei, 21, 1, 3, 4, 5, 22, =, 28, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 23, =, 40, 1, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 24, =, 17, 1, 3, 6, 5, 25, =, 18, 1, 3, 6, 7, 26, =, 30, 1, 3, 6, 9, 8, 7, 27, =, 30, 1, 9, 6, 3, 4, 5, 28, =, 16, 1, 9, 6, 5, 29, =, 17, 1, 9, 6, 7, 210, =, 23, 1, 9, 8, 7, 211, =, 44, 1, 9, 8, 7, 6, 3, 4, 5, 212, =, 30, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 2=最短路线mim_length = 168, =, 16, 1, 9, 6, 5, 2 A_, I_, F_, E_, B_当考虑转弯条件时，由 A 到 B 的各路线和最短路线：1, =, 22, 1, 3, 4, 5, 22, =, 34, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 23, =, 46, 1, 3, 4, 5, 6, 9, 8, 7, 24, =, 21, 1, 3, 6, 5, 25, =, 21, 1, 3, 6, 7, 26, =, 36, 1, 3, 6, 9, 8, 7, 27, =, 36, 1, 9, 6, 3, 4, 5, 28, =, 19, 1, 9, 6, 5, 29, =, 22, 1, 9, 6, 7, 210, =, 25, 1, 9, 8, 7, 211, =, 50, 1, 9, 8, 7, 6, 3, 4, 5, 212, =, 36, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 2=mim_length = 198, =, 19, 1, 9, 6, 5, 2 A_, I_, F_, E_, B_图2 的运算结果当不考虑转弯条件时，由 A 到 B 的最短路线：路线数目：184最短路线mim_length = 2388, =, 23, 1, 3, 7, 11, 12, 16, 2 A_, C_, G_, K_, L_, P_, B_当考虑转弯条件时，由 A 到 B 的最短路线：mim_length = 2988, =, 29, 1, 3, 7, 11, 12, 16, 2 A_, C_, G_, K_, L_, P_, B_120, =, 29, 1, 6, 7, 8, 12, 16, 2 A_, F_, G_, H_, L_, P_, B_六、 零件加工（1） 令则加工和等待时间的总和为其中 为安排左第位加工的零件的加工时间.总和最小加工顺序是： 其中（2） 由所给条件，得规划图为由最长有向路算法：最长有向路再对点A，B，F进行添加，调整.耗时最小的加工次序为其最少的耗时为韶关学院第三届数学建模竞赛题一. 刹车距离一辆汽车在司机猛踩刹车制动后6秒钟内停下，在这一刹车过程中，每一秒的速度值被记录了下来.如下表:刹车踩下后的时间（秒）0123456速度（米/秒）30211510630试建立汽车刹车踩下后运行距离的数学模型，并估算出刹车踩下后汽车最少滑过的距离和最多滑过的距离.二. 打桩深度 某建筑工程打地基时需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力大小与桩被打进地下的深度成正比，其比例系数为k(k0)，已知汽锤击打桩三次后,可将桩打进地下米.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r 0 故 =91 ， 此时两个箱子的体积之和为 又由 及 x + y = ， 得 函数在 上的最大值为 202384 202384故两个箱子的边长分别为厘米和厘米时，其体积之和最大.四. 彩电生产解：设安排生产甲型彩电件,乙型彩电件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为： max S=3x +2y s.t. 这是一个整线性规划问题 解法一: 用图解法进行求解可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2y120 及x=5,y=10组成的凸四边形区域. 直线：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时, S取最大值. 由 解得 . 3100.解法二：用Lindo软件 、 Maple软件 求解.五. 冰雪融化解: 如图. 已知雪堆侧面方程为:， 当时, .可知此雪堆为一圆锥体,且底面半径与高度始终相等.在时刻时，圆锥体积、锥面面积分别为： -（1）由假设条件，体积变化的微分方程模型为： （2）再由（1）、(2)得： 即 解得： 又雪堆全部融化 , 得 （小时）六校址选择解: V=, V=若备选校址能覆盖小区,则与之间连一条边,于是得到一个二部图将顶点的度从小到大排列为：从开始，取，而.再看,能覆盖的校址有.若取，则，而覆盖的点为. 若取，则有.而覆盖的点至少要两个.故的最小覆盖为（即为最小个数的建校地址）.韶关学院第四届数学建模竞赛题一、相遇地点某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试建立一个数学模型，说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？二、最高税收某公司销售一种产品，每件售价a元.销售价受销售量的影响，每多售出1件产品销售价应下调的百分数为.生产这种产品的成本单价为b元.每多生产1件这种产品，其成本的增加率为.生产这批产品，公司投入的固定资金为c元.问国家应如何确定对该公司单位产品的税金，才能使这项税收额最高.三、下雪时间一场大雪从上午某时刻开始下落，一直持续到下午，且降雪速度稳定.某人从中午12点开始，不回头地清扫落在街道路面上的雪，他的铲雪速度和清扫面的宽度均不变.到下午2点他清扫了两条街道，到下午4点他又扫了一条街道.试建立一个数学模型，确定开始下雪的时间.四、进食方案下表为在1千克的食品和1千克的食品中所含的维生素、的单位数目.每个人每星期建议最少要摄取12单位维生素，10单位维生素和8单位维生素.已知食品的价格是8港币/千克，食品Q的价格是7港币/千克.若某人要从食品和中摄取每星期建议所需的维生素，求一个最便宜的进食方案及所对应的最低价钱.维生素食品622食品242五、滑行距离某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在接触地面的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9吨的飞机，着陆时的水平速度为700千米/小时.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比，其比例系数.试计算飞机从着陆点起滑行的最长距离.六、稿件安排某编辑部收到由个人所寄来的一些问题，编辑们发现每个人寄来4个不同的问题，每个问题恰好由2个人同时寄来.(1) 问编辑部共收到了多少个不同的问题;(2) 现编辑部准备用两期期刊来刊出这些问题，编辑部应如何安排较为合理.第四届数模竞赛题参考答案一、相遇地点我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从乙地到甲地的路函数为,并设甲地到乙地的距离为(0).由题意知：,令,则有，由于,都是时间t的连续函数,因此也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,使,即.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为，.此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.二、最高税收设该公司生产这种产品件,国家确定对该公司单位产品的税收为元,则总税金为.而公司获利（单位：元）：易知当时,取最大值.此时,国家应收该项税金总额：当时,即国家应对这种产品的单位税金定为时,税金总额最高.三.、下雪时间假设下雪时间为,降雪速度为常量s(米/小时),铲雪速度为R(米3/小时),每条街道的长度相同,设为定值L(米).清扫面宽度为w(米).则t时刻地面上雪的厚度为,清雪时行进速度为这样,在时刻此人清扫路的长度为：.由于从12点到14点,两个小时扫了两条街,到16点又扫了一条街,所以 ; .比较两式,得 解得：. 故下雪时间为上午点.四、进食方案假设所需食品的重量是千克,所需要食品的重量是千克,总成本为港币,并且假设人体吸收食品、中的所有维生素、,则进食方案的数学模型为： s.t. （1）在直角坐标系中绘出直线,及,用阴影部分表示满足约束条件的不等式组的解的区域,见图1.（2）要求的最小值,则直线在轴（或轴）上的截距应取最小.由图1中可以看出,当直线经过处时,取得最小值,所对应的值为（港币）.故每星期能提供所需维生素的一个最便宜的进食方法是：进食1千克的食品和3千克的食品,所对应的最低价钱是29港币.-4-20246810-4-22468图1五、滑行距离飞机在地面运动所受的力,这里是飞机的滑行速度.飞机滑行的加速度,于是设飞机在时刻的滑行距离为,则 .从而 由条件：得 .当时, 故飞机从着陆点起滑行的最长距离约为1.05千米.六、稿件安排(1)以个人为顶点,若两个人寄来同一问题,则对应的顶点连一条边.于是得到一个图,而,收到的问题数 . 由握手引理知