阅读与思考用求差法比较大小

比较法证不等式 1 作差比较法 1 作差比较法的理论依据a b 0 a b 0 a b 0 2 作差比较法解题的一般步骤 作差 变形整理 判定符号 得出结论 其中变形整理是解题的关键 变形整理的目的是为了能够直接判定 常用的手段有 因式分解 配方 通分 分子或分母有理化等 a b a b a b 差的符号 与1大小关系 例1 设 ABC的三边长分别是a b c 求证 4 ab bc ac a b c 2 思路点拨 作差法证明 注意条件 在同一个三角形中 任意两边之和大于第三边 的应用 证明 a b c是 ABC的三边长 a 0 b 0 c 0 且b c a 0 c a b 0 a b c 0 4 ab bc ac a b c 2 2 ab bc ac a2 b2 c2 b c a a c a b b a b c c 0 4 ab bc ac a b c 2 1 作差比较法中 变形具有承上启下的作用 变形的目的在于判断差的符号 而不用考虑差能否化简或值是多少 2 变形所用的方法要具体情况具体分析 可以配方 可以因式分解 可以运用一切有效的恒等变形的方法 3 因式分解是常用的变形手段 为了便于判断 差式 的符号 常将 差式 变形为一个常数 或几个因式积的形式 当所得的 差式 是某字母的二次三项式时 常用配方法判断符号 有时会遇到结果符号不能确定 这时候要对差式进行分类讨论 1 求证 a2 b2 2 a b 1 证明 a2 b2 2 a b 1 a 1 2 b 1 2 0 a2 b2 2 a b 1 2 已知a b R n N 求证 a b an bn 2 an 1 bn 1 证明 a b an bn 2 an 1 bn 1 an 1 abn ban bn 1 2an 1 2bn 1 a bn an b an bn a b bn an 1 若a b 0时 bn ana 0时 bn an 0 a b0时 bn an a b 0 综上 1 2 3 可知 对于a b R n N 都有 a b an bn 2 an 1 bn 1 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时 常采用作商比较法 用作商比较法时 如果需要在不等式两边同乘某个数 要注意该数的正负 且最后结果与1比较 4 如果a b都是正数 且a b 求证a6 b6 a4b2 a2b4 方法二 a6 b6 a4b2 a2b4 a4 a2 b2 b4 b2 a2 a2 b2 a4 b4 a2 b2 2 a2 b2 a b a2 b2 2 0 a2 b2 0 a2 b2 2 a2 b2 0 a6 b6 a4b2 a2b4 例3 甲 乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点 甲有一半时间以速度m行走 另一半以速度n行走 乙有一半路程以速度m行走 另一半路程以速度n行走 如果m n 问甲 乙二人谁先到达指定地点 思路点拨 先用m n表示甲 乙两人走完全程所用时间 再进行比较 应用不等式解决实际问题时 关键是如何把等量关系 不等量关系转化为不等式的问题来解决 也即建立数学模型是解应用题的关键 最后利用不等式的知识来解 在实际应用不等关系问题时 常用比较法来判断数的大小关系 若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断 5 某人乘出租车从A地到B地 有两种方案 第一种方案 乘起步价为10元 每千米1 2元的出租车 第二种方案 乘起步价为8元 每千米1 4元的出租车 按出租车管理条例 在起步价内 不同型号的出租车行驶的路程是相等的 则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适 解 设A地到B地距离为m千米 起步价内行驶的路程为a千米 显然当m a时 选起步价为8元的出租车比较便宜 当m a时 设m a x x 0 乘坐起步价为10元的出租车费用为P x 元 乘坐起步价为8元的出租车费用为Q x 元 则P x 10 1 2x Q x 8 1 4x P x