高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4_3三角函数的图像与性质课件理北师大版

4 3三角函数的图像与性质 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 正弦函数y sinx x 0 2 的图像中 五个关键点是 0 0 1 0 2 0 余弦函数y cosx x 0 2 的图像中 五个关键点是 0 1 0 0 2 1 1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 知识梳理 1 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图像与性质 R R x x R且x k k Z 1 1 1 1 R k Z k Z 2k 2k k Z 2k 2k k Z k k Z 2k k Z 2k k Z 奇函数 偶函数 奇函数 k 0 k Z x k k Z 2 2 1 对称与周期 1 正弦曲线 余弦曲线相邻两对称中心 相邻两对称轴之间的距离是半个周期 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期 2 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期 2 奇偶性若f x Asin x A 0 则 1 f x 为偶函数的充要条件是 k k Z 2 f x 为奇函数的充要条件是 k k Z 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 y sinx在第一 第四象限是增函数 2 常数函数f x a是周期函数 它没有最小正周期 3 正切函数y tanx在定义域内是增函数 4 已知y ksinx 1 x R 则y的最大值为k 1 5 y sin x 是偶函数 6 若sinx 则x 1 函数f x cos 2x 的最小正周期是A B C 2 D 4 考点自测 答案 解析 答案 解析 3 函数y tan2x的定义域是 答案 解析 4 2016 开封模拟 已知函数f x 4sin 2x x 0 则f x 的单调递减区间是 答案 解析 答案 解析 2或 2 题型分类深度剖析 题型一三角函数的定义域和值域 例1 1 函数f x 2tan 2x 的定义域是 答案 解析 答案 解析 思维升华 1 三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图像来求解 2 三角函数值域的不同求法 利用sinx和cosx的值域直接求 把所给的三角函数式变换成y Asin x 的形式求值域 通过换元 转换成二次函数求值域 跟踪训练1 1 函数y lg sinx 的定义域为 答案 解析 答案 解析 题型二三角函数的单调性 答案 解析 故选B 答案 解析 引申探究 答案 解析 函数y cosx的单调递增区间为 2k 2k k Z 思维升华 1 已知三角函数解析式求单调区间 求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式先化简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 求形如y Asin x 或y Acos x 其中 0 的单调区间时 要视 x 为一个整体 通过解不等式求解 但如果 0 那么一定先借助诱导公式将 化为正数 防止把单调性弄错 2 已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间 然后利用集合间的关系求解 答案 解析 答案 解析 f x sin x 0 过原点 A B C D 题型三三角函数的周期性 对称性 命题点1周期性 答案 解析 y cos 2x cos2x 最小正周期为 由图像知y cosx 的最小正周期为 2 若函数f x 2tan kx 的最小正周期T满足1 T 2 则自然数k的值为 答案 解析 2或3 又k Z k 2或3 A 是奇函数且图像关于点 0 对称B 是偶函数且图像关于点 0 对称C 是奇函数且图像关于直线x 对称D 是偶函数且图像关于直线x 对称 命题点2对称性 答案 解析 命题点3对称性的应用 答案 解析 A 1B 2C 4D 8 答案 解析 6k 2 k Z 又 N min 2 思维升华 1 对于函数y Asin x 其对称轴一定经过图像的最高点或最低点 对称中心一定是函数的零点 因此在判断直线x x0或点 x0 0 是不是函数的对称轴或对称中心时 可通过检验f x0 的值进行判断 2 求三角函数周期的方法 利用周期函数的定义 利用公式 y Asin x 和y Acos x 的最小正周期为 y tan x 的最小正周期为 跟踪训练3 1 2016 北京朝阳区模拟 已知函数f x 若对任意的实数x 总有f x1 f x f x2 则 x1 x2 的最小值是A 2B 4C D 2 答案 解析 由题意可得 x1 x2 的最小值为半个周期 2 如果函数y 3cos 2x 的图像关于点 0 中心对称 那么 的最小值为 答案 解析 三角函数的性质 高频小考点5 纵观近年高考中三角函数的试题 其有关性质几乎每年必考 题目较为简单 综合性的知识多数为三角函数本章内的知识 通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破 并在高考中拿全分 考点分析 典例 1 2015 课标全国 函数f x cos x 的部分图像如图所示 则f x 的单调递减区间为 答案 解析 A 1B 3C 1或3D 3 答案 解析 又函数f x 在对称轴处取得最值 故 2 b 1 b 1或b 3 答案 解析 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 T 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若函数f x cos2x 则f x 的一个递增区间为 答案 解析 由f x cos2x知递增区间为 k k k Z 故只有B项满足 3 关于函数y tan 2x 下列说法正确的是 答案 解析 A 是奇函数B 在区间 0 上单调递减C 0 为其图像的一个对称中心D 最小正周期为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 潍坊模拟 已知函数f x 2sin x 1 x R 的图像的一条对称轴为x 其中 为常数 且 1 2 则函数f x 的最小正周期为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知函数f x 2sin 2x 若f 2 则f x 的一个单调递减区间是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所以 2 此时f x sin 2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 函数y cos2x sinx x 的最小值为 答案 解析 9 函数y cos 2x 的单调减区间为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知函数f x sin x 0 的最小正周期为 1 求当f x 为偶函数时 的值 2 f x sin 2x 当f x 为偶函数时 f x f x sin 2x sin 2x 将上式展开整理得sin2xcos 0 由已知上式对任意x R都成立 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求f x 的最小正周期 解答 所以f x 的最小正周期为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 求常数a b的值 f x b 3a b 又 5 f x 1