数学操作设计型问题专题复习(苏科版九年级).doc

数学：操作设计型问题专题复习（苏科版九年级）【考点导航】操作设计型问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题的难度往往不大，但容易失分解决这类问题，需要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换.注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力如果学生没有一定的数学实践活动和丰富的数学经验，这类题是很难解决的【答题锦囊】例1 某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上以下设计过程中画图工具不限（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由图1ABC图2ABC 【思路点拨】第（1）小题只要作出ABC的外接圆（分别作AB、BC的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心，以OA长为半径画圆）即可；第（2）小题分别作出ABC的AB、BC、CA边的中线，并延长加倍中线得到平行四边形的第四个顶点；第（3）小题通过计算圆和平行四边形的面积可以得出结论。 标准解答（1）作图工具不限，只要点A、B、C在同一圆上； （2）作图工具不限，只要点A、B、C在同一平行四边形顶点上；图3 （3）r=OB=， SO=r2=16.75， 又S平行四边形=2SABC=242sin60=8 SO S平行四边形 选择建圆形花坛面积较大.例 如图4，在网格中有一个四边形图案图4(1)请你画出此图案绕点D顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点A的对应点依次为A1、A2、A3，求四边形AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论【思路点拨】本题考查旋转变换，将四边形图案绕点旋转900，1800，2700的图案后形成的新图案是一个边长为8的正方形，四边形AA1A2A3也是一个正方形.若设原图中RtABC的三边分别为a、b、c，根据面积公式可知，即AB2+BC2=AC2图5 标准解答 (1)如图5，正确画出图案(2)如图，=-4 =(3+5)2-435 =34 故四边形似AA1A2A3的面积为34 (3)结论：AB2+BC2=AC2或勾股定理的文字叙述例3 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图6甲（虚线表示折痕）除图6甲外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图6至中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲表示相同的操作） 甲 乙 图6 【思路点拨】 这是一道动手操作且其具有一定开放性的试题，首先要弄懂题意，根据能够“配对”得到四组全等的图形的要求，进行画图，如有困难，也可动手操作。标准解答例4 如图7所示，在44的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60），菱形的边长为2，是的中点，按将菱形剪成、两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；图7（2）判断所拼成的三种图形的面积（）、周长（）的大小关系（用“=”、“”或“”连接）： 面积关系是 ；周长关系是 【思路点拨】第（1）小题是一道拼图题，拼图的结果分别是直角三角形、等腰梯形、矩形，要注意根据这三种图形的定义，并且在菱形斜网格中拼图，图形的顶点均落在格点上第（2）小题是计算题，拼图不改变图形的面积，根据菱形的性质求出所拼图形的周长标准解答（1）（2） ； 例5 如图8（1），是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（点C与C重合）（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于点F，如图（2）探究：在图8（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）操作：将图8（2）中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的CDE设为PQR，如图8（3）探究：设PQR移动的时间为xs，PQR与AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）操作：固定图8（1）中CDE，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边A C与DE交于点N，设A C C=（3090），如图8（4）探究：在图8（4）中，线段CNEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请求出CNEM的值；如果有变化，请说明理由B E C（C）A（1）DDFEB C（C）A（2）F（3）QRPB C（C）A（4）MDBAE C CN图8 【思路点拨】这是一道探索性命题解题时要审清题意，注意运用图形的旋转变换，探索图形的变化规律第（）小题中BCEACD；第（）小题中PQR与AFC重叠部分的面积等于PQR的面积减去QR的面积第（）小题中EM CCCN 标准解答（1）BE=AD证明如下：ABC与DCE都是等边三角形， ACB =DCE=60，CA=CB，CE=CD，BCE =ACDBCEACDBE = AD（2）设RQ与AC交于点T，RP与AC交于点S，在QTC中，TCQ=30，RQP=60，QTC=30QTC =TCQQT=CQ=xRT=3xRTS +R=90，RST =90y=（0x3）；（3）CNEM不变证明如下：AC B=60，MC E+NCC=120CN C +NCC=120，MC E=CN C E= C，EM CCCNCNEM= CCEC=【中考预测】学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图9(1)9(4)）：图9从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行A； B； C； D.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是( )ABCD如图10，已知线段a，h作等腰ABC，使ABAC，且BCa，BC边上的高ADh. 张红的作法是：（1）作线段BCa；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是( )ahNABCMD图10A. （1）；B. （2）； C. （3）； D. （4）.如图11，小明想用皮尺测最池塘A、B间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习数学有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O，连接OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连接CD，并测得CD = a，由此他即知道A、B距离是 （ ）A； B2a ；Ca ； D3a.图11下列说法正确的有（ ）（1）如图12（a），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径；（2）如图12（b），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形；（3）如图12（c），两次使用丁字尺（所在直线垂直平分线段）可以找到圆形工件的圆心；（4）如图12（d），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从点看点时仰角的度数（a）（b）（c）（d）图12A1个；B2个； C3个；D4个.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”如图13，已知矩形ABCD，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F则AFE =( )A60 ； B67.5； C72 ； D75.ABCD图13将圆柱形纸筒沿母线剪开铺平，得到一个矩形（如图14）如果将这个纸筒沿线路剪开铺平，得到的图形是（ ）A平行四边形；B矩形； C三角形；D半圆.图14图15如图15是55的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A.2个； B.4个； C.6个； D.8个.ABCDEF图17 图16如图16，把边长为的正方形的局部进行图图的变换，拼成图，则图的面积是（）；.如图17，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于（ ） A；B；C；D. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图18（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图7.2-18（2）所示的正五边形，其中 度.（1）图18CDEBA（2）如图19，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径为 cm 20468图19如图20，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动_格图20如图21，已四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_（用“能”或“不能”填空）若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由_图21在RtABC中，ACB90，CAB30，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形图22ACB图23请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格（图23）中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图24所示的四边形ABCD 求证：四边形ABCD是菱形； 如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由图24现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图25、图25、图25）分别在图25、图25、图25中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形要求：（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合7.2-矩形（非正方形）正方形有一个角是135的三角形图25图26下面的图26是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形。把图7.2-26剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式。(1)请你通过对图（1）的剪拼，画出三种不同拼法的示意图。要求：拼成的图形是四边形；在图（1）上画剪切线（用虚线表示）；在拼出的图形上标出已知的边长。(2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程。参考答案C；C；C；B；D；B；A；A；36；能，分别取四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点E、G、F、H，连接EF、GH，交点为O将四边形OFDH不动，将四边形AEOH、CGOF分别绕点H、F旋转180度，将四边形BGOE平移，使B与D重合，即可得到一个平行四边形解：可参考的作法有：(1)作AC的中垂线交AB于D，连接CD，得等腰DAC；(2)作B的平分线交AC于D，得等腰DAB；(3)在BA上截取BDBC，连接CD，得等腰BCD；(4)在AB上截取ADAC，连结CD，得等腰ACD本题答案不惟一，以下答案供参考（1）如图答2，因为ADBC，ABDC ， 所以四边形ABCD为平行四边形分别过点B、D作BFAD，DEAB，垂足分别为点E、F则BE = CF因为DAB =BAF，