2017年哈三中高三第二次模拟考试试卷及答案--理科数学.doc

2017年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知复数，则A.z的模为2B.z的虚部为-1C.z的实部为1D.z的共轭复数为1+i2. 已知集合，则集合的子集个数为A.8B.7C.6D.43. 对于平面和不重合的两条直线m、n，下列选项中正确的是A.如果，m、n共面，那么B.如果，n与相交，那么m、n是异面直线C.如果，m、n是异面直线，那么D.如果，那么4. 已知随机变量服从正态分布，则A.0.16B.0.32C.0.68D.0.845. 在区间中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆相交发生的概率为A.B.C.D.6. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为5、2，则输出的n=A.2B.3C.4D.57. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.10B.20C.40D.608. 已知，则A.B.C.D.9. 德国著名数学家狄克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，提前为狄克雷函数，则关于函数有以下四个命题：；函数是偶函数；对于任意一个非零有理数T，对任意恒成立；存在三个点，使得为等边三角形。其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.110. “关于x的方程有两个正根”是“方程的曲线是椭圆”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，抛物线的准线交双曲线左支于A，B两点，且，其中O为原点，则双曲线的离心率为A.2B.C.D.12. 已知函数，若图像上分别存在点M，N。使得M，N关于直线y=x对称，则实数k的取值范围为A.B.C.D.2017年哈尔滨高第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第卷（非选择题 ，共90分）二、填空题（共4小题，每小分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13. 已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则展开式的常数项为_14. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知c=2，若，则a+b的取值范围是_15. 已知，则16. 已知函数的定义域为R，若存在常数k，使得对所有实数x均成立，则称函数为“期望函数”，给出下列函数：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设是数列的前n项和，已知.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和.18. （本小题满分12分）近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题。空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；大于300为严重污染。环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下.（）利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；（按这个月总共30天计算）（）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（）将频率现为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD底面为正方形，已知平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点（不含端点），点N在线段BD上，且PM=DN.（）求证：直线平面PCD；（）若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知圆O：与x轴交于A、B两点，点M为圆O上异于A、B的任意一点，圆O在点M处的切线与圆O在点A、B处的切线分别交于点C、D，直线AD和BC交鱼点P，设P点的轨迹为曲线E.（）求曲线E的方程；（）由线E与y轴正半轴交点为H，则曲线E是否存在直角顶点为H的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）定义：设为（a，b）上的可导函数，若为增函数，则称为（a，b）上的凸函数.（）判断函数与是否为凸函数；（）设为（a，b）上的凸函数，求证：若，则，恒有成立；（）设，求证：.2017年哈尔滨高第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）16：BDAABC712：BAADCB13.2401415.16.17.解：（）当时，由，得，（1分）两式相减，得（3分）当n=1时，则.数列是以3为首项，3为公比的等比数列（5分）（6分）（）由（1）得错位相减得18. 解：（）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为（2）3/5（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为的所有可能取值为0，1，2，3.0123P故的分布列为：显然19.延长AN，交CD于点G，由相似知，；（）由于，以DA，DC，DP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A（1，0，0），则B（1，1，0）C（0，1，0），P（0，0，1），则，平面AMN的法向量为.则向量与的夹角为，则，则PB与平面AMN夹角的余弦值为.20. （）设 ，则M处的切线为，则，（6分）则，则.（）由于直线GH不与坐标轴平行或垂直，可设，则，得，则于恒成立，设两个根为，则，同理，由GH=HK知：，得：（1）k0时，得得：k=1或（2）k0时，得得：k=-1或综上，共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为：；（2）两条直角边所在直线方程为：（3）两条直角边所在直线方程为：（12分）21.