高中数学 4.1.1圆的标准方程课件 新人教A版必修2.ppt

自学导引 1 掌握圆的标准方程及其特点 会根据圆心的位置和半径写出圆的标准方程 2 能根据某些具体条件 运用待定系数法确定圆的方程 3 初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题 课前热身 1 设圆的圆心是C a b 半径为r 则圆的标准方程是 当圆的圆心在坐标原点时 圆的半径为r 则圆的标准方程是 2 设点P到圆心的距离为d 圆的半径为r 点P在圆外 点P在圆上 点P在圆内 x a 2 y b 2 r2 x2 y2 r2 d r d r d r 名师讲解 1 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有点在圆内 圆上 圆外 其判断方法是由两点间的距离公式 求出该点到圆心的距离 再与圆的半径比较大小即可 设点P x0 y0 到圆C x a 2 y b 2 r2的圆心C的距离为d 则所以当d r 即当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点P在圆C的外部 当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点P在圆C的内部 当 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点P在圆C上 反之也成立 2 求圆的标准方程的常用方法 1 几何法利用圆的几何性质 直接求出圆心和半径 代入圆的标准方程得结果 2 待定系数法由三个独立条件得到三个方程 解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数 从而确定圆的标准方程 它是求圆的方程最常用的方法 一般步骤是 先设方程 再列式 后求解 典例剖析 题型一求圆的标准方程例1 求满足下列条件的圆的标准方程 1 圆心在原点 半径为3 2 圆心在点 2 1 半径为 3 经过点P 5 1 圆心在点 8 3 分析 1 2 直接写圆的方程 3 可根据两点间的距离公式求半径 再写出圆的标准方程 解 1 圆心 0 0 半径为3 圆的方程为x2 y2 9 2 圆心 2 1 半径 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 5 3 方法1 圆的半径又圆心为 8 3 圆的方程为 x 8 2 y 3 2 25 方法2 圆心为 8 3 故可设圆的方程为 x 8 2 y 3 2 r2 点P 5 1 在圆上 5 8 2 1 3 2 r2 r2 25 所求圆的方程为 x 8 2 y 3 2 25 规律技巧 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中 有三个参数a b r 只要求出a b r 这时圆的方程被确定 因此 确定圆的方程 需要三个独立条件 其中圆心 a b 是定位条件 半径r是定形条件 变式训练1 指出下列圆的圆心和半径 1 x2 y2 3 2 x 1 2 y2 9 3 x 1 2 y 2 2 1 答案 1 圆心 0 0 2 圆心 1 0 r 3 3 圆心 1 2 r 1 题型二用待定系数法求圆的方程例2 求圆心在直线2x y 3 0上 且过点 5 2 和点 3 2 的圆的方程 分析 因为条件与圆心有直接关系 因此设圆的标准方程即可解决问题 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法2 圆过A 5 2 B 3 2 两点 圆心一定在线段AB的垂直平分线上 规律技巧 确定圆的方程需要三个独立条件 选标准 定参数 是解题的基本方法 其中 选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式 进而确定其中三个参数 变式训练2 求圆心在x轴上 半径为5 且过点A 2 3 的圆的标准方程 解 设圆心在x轴上 半径为5的圆的方程为 x a 2 y2 52 点A在圆上 2 a 2 3 2 25 a 2或a 6 故所求圆的方程为 x 2 2 y2 25或 x 6 2 y2 25 题型三点和圆的位置关系例3 已知圆心C 3 4 半径r 5 求此圆的标准方程 并判断点A 0 0 B 1 3 在圆上 圆外还是圆内 解法1 所求圆的方程为 x 3 2 y 4 2 25 点A 0 0 与圆心C 3 4 的距离d 5 而r 5 d r 点A在圆上 点B 1 3 与圆心C 3 4 的距离 点B在圆内 解法2 所求圆的方程为 x 3 2 y 4 2 25 将点A 0 0 B 1 3 分别代入圆的方程 得 0 3 2 0 4 2 25 1 3 2 3 4 2 5 25 点A在圆上 点B在圆内 规律技巧 判断点与圆的位置关系 通常用两种方法 一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定 当d r时 点在圆外 当d r时 点在圆上 当dr2 则点P在圆外 若 x x0 2 y y0 2 r2 则点P在圆上 若 x x0 2 y y0 2 r2 则点P在圆内 变式训练3 已知点A 1 2 在圆C x a 2 y a 2 2a2的内部 求a的取值范围 解 点A 1 2 在圆的内部 1 a 2 2 a 2 a的取值范围是 易错探究例4 已知某圆圆心在x轴上 半径为5 且截y轴所得线段长为8 求该圆的标准方程 错解 TP俗67 tif Y 如图 由题设知 AB 8 AC 5 在Rt AOC中 C点坐标 3 0 所求圆的方程为 x 3 2 y2 25 错因分析 借助图形解决数学问题 只能是定性地分析 而不能定量研究 要定量研究问题 就应考虑到几何图形的各种情况 本题出错就是由于考虑问题不全面所致 由于只画了圆心在x轴正半轴的图形 从而漏掉了圆心在x轴负半轴的情况 正解 由题意知 所求圆的方程可设为 x a 2 y2 25 圆截y轴所得线段长为8 圆过点A 0 4 代入圆的方程得a2 16 25 a 3 故所求圆的方程为 x 3 2 y2 25或 x 3 2 y2 25 技能演练 基础强化1 点P m 5 与圆x2 y2 24的位置关系是 A 在圆外B 在圆内C 在圆上D 不确定解析 把P m 5 代入x2 y2 24 得m2 25 24 点P在圆外 答案 A 2 点与圆x2 y2 1的位置关系是 A 在圆内B 在圆外C 在圆上D 与t的值有关 OP 1 点P在圆上 答案 C 3 若一圆的标准方程为 x 1 2 y 5 2 3 则此圆的圆心和半径分别是 A 1 5 B 1 5 C 1 5 3D 1 5 3答案 B 4 已知点A 1 1 B 1 1 则以线段AB为直径的圆的方程为 A x2 y2 2B x2 y2 C x2 y2 1D x2 y2 4解析 AB的中点为圆心 0 0 半径 圆的方程为x2 y2 2 答案 A 5 方程表示的曲线是 A 一条射线B 一个圆C 两条射线D 半个圆解析 由得x2 y2 9 y 0 方程表示半个圆 答案 D 6 若P 2 1 为圆 x 1 2 y2 25的弦AB的中点 则直线AB的方程为 A x y 3 0B 2x y 3 0C x y 1 0D 2x y 5 0解析 已知圆的圆心为C 1 0 易知PC AB kPC kAB 1 依点斜式知AB的方程为x y 3 0 答案 A 7 圆C x 2 2 y 1 2 r2 r 0 的圆心C到直线4x 3y 12 0的距离是 解析 圆心C 2 1 代入点到直线的距离公式 得 8 求经过点A 1 4 B 3 2 且圆心在y轴上的圆的方程 解 圆心在y轴上 可设圆心坐标为 0 b 则圆的方程为 x2 y b 2 r2 圆经过A B两点 圆的方程是x2 y 1 2 10 能力提升 9 一圆在x y轴上分别截得弦长为4和14 且圆心在直线2x 3y 0上 求此圆方程 解 设圆的圆心为 a b 圆的半径为r 则圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 圆在x轴 y轴上截得的弦长分别为4和14 则有又 圆心在直线2x 3y 0上 2a 3b 0 适合题意的圆的方程为 x 9 2 y 6 2 85或 x 9 2 y 6 2 85 10 若点P x y 在圆 x 2 2 y2 3上 1 求的最小值 2 求的最大值 解 1 式子的几何意义是圆上的点P x y 与定点 0 2 的距离 因为圆心 2 0 到定点 0 2 的距离是又圆半径为所以的最小值为 2 利用的几何意义 因为的几何意义是圆 x 2 2 y2 3上的点与原点连线的斜率 如右图所示 易求得的最大值为 品味高考 11 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的方程是 A x2 y 2 2 1B x2 y 2 2 1C x 1 2 y 3 2 1D x2 y 3 2 1解析 依题意知圆心 0 b 圆的方程为x2 y b 2 1 把点 1 2 代入 得b 2 x2 y 2 2 1为所求