福建省福州市格致中学鼓山校区高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）a6或2b5c1或9d3或52已知、是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）a若，l，则lb若l上有两个点到的距离相等，则lc若l，l，则d若，则3已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）abcd4f（x）=cosxsinx在下列哪个区间上是单调递减的（）ab，0c0，d5已知函数f（x）=x+ex，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）acbabcabcbcadacb6三棱锥sabc及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱sb的长为（）a2b4cd167对任意的实数a、b，记若f（x）=maxf（x），g（x）（xr），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=f（x）的说法中，正确的是（）ay=f（x）为奇函数by=f（x）有极大值f（1）且有极小值f（0）cy=f（x）在（3，0）上为增函数dy=f（x）的最小值为2且最大值为28直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点a，b，以x轴的正方向为始边，oa为终边（o是坐标原点）的角为，ob为终边的角为，若|ab|=，那么sin（）的值是（）abcd9已知数列an的前n项和为sn，a1=1，当n2时，an+2sn1=n，则s2015的值为（）a2015b2013c1008d100710若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）a6，2b（6，2）c3，1d（3，1）11设p是椭圆+=1上一点，m、n分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x4）2+y2=1上的点，则|pm|+|pn|的最小值、最大值的分别为（）a9，12b8，11c8，12d10，1212已知定义在r上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）a（2，+）b（0，+）c（1，+）d（4，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=14以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是15曲线y=sinx（0x）与直线围成的封闭图形的面积是16已知三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，ab=2，ac=1，bac=60，则此球的表面积等于三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17已知函数f（x）=|x1|，g（x）=x2+6x5（1）若g（x）f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）f（x）的最大值18设锐角abc的三内角a，b，c的对边分别为 a，b，c，向量=， =，已知与共线（）求角a的大小；（）若a=2，且abc的面积小于3，求角b的取值范围19已知四棱锥pabcd中pa平面abcd，且pa=4pq=4，底面为直角梯形，cda=bad=90，m，n分别是pd，pb的中点（1）求证：mq平面pcb；（2）求截面mcn与底面abcd所成二面角的大小；（3）求点a到平面mcn的距离20已知正项等比数列an（nn*），首项a1=3，前n项和为sn，且s3+a3、s5+a5、s4+a4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nsn的前n项和tn21已知函数f（x）=x3ax2，其中xr，a为参数（1）记函数g（x）=f（x）+lnx，讨论函数g（x）的单调性；（2）若曲线y=f（x）与x轴正半轴有交点且交点为p，曲线在点p处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）g（x）22如图，已知直线与抛物线y2=2px（p0）交于m，n两点，点d的坐标为，odmn交mn于点d，omon，抛物线的焦点为f（1）求p的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线c，过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线c相交于点a，b，l2与曲线c相交于点d，e，求的最小值2015-2016学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）a6或2b5c1或9d3或5【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值【解答】解：由题意可得：c=1当椭圆的焦点在x轴上时，m4=1，解得m=5当椭圆的焦点在y轴上时，4m=1，解得m=3则m的值是：3或5故选：d2已知、是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）a若，l，则lb若l上有两个点到的距离相等，则lc若l，l，则d若，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断a的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断b的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断c的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断d的真假进而得到答案【解答】解：a中，若，l，则l或l，故a错误；b中，若l上有两个点到的距离相等，则l与平行或相交，故b错误；c中，若l，l，则存在直线a，使al，则a，由面面垂直的判定定理可得，故c正确；d中，若，则与可能平行也可能相交，故d错误；故选c3已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）abcd【考点】等比数列的性质【分析】根据实数m为2和8的等比中项，由等比数列的性质得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把m的值代入双曲线方程后，找出双曲线的a与b的值，根据双曲线的简单性质求出c的值，然后根据离心率的公式即可求出原双曲线的离心率【解答】解：由实数m是2，8的等比中项，得到m2=28=16，解得：m=4或m=4（不合题意，舍去），则双曲线方程中的a=1，b=2，则c=，所以双曲线的离心率e=故选：a4f（x）=cosxsinx在下列哪个区间上是单调递减的（）ab，0c0，d【考点】函数的单调性及单调区间【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos（x+），解2kx+2k+可得函数的单调递减区间，结合选项可得【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cosxsinx=（cosxsinx）=cos（x+），由2kx+2k+可得2kx2k+，kz，故函数的单调递减区间为2k，2k+，kz，当k=0时，函数的一个单调递减区间为，而选项d0，故选：d5已知函数f（x）=x+ex，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）acbabcabcbcadacb【考点】函数零点的判定定理【分析】由零点的判定定理对a，b所在的区间判定，由方程h（c）=lnc1=0解出c，从而解得【解答】解：f（1）=1+0，f（0）=10，a（1，0）；g（）=10，g（1）=10，b（，1）；h（c）=lnc1=0，c=e；cba；故选：a6三棱锥sabc及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱sb的长为（）a2b4cd16【考点】简单空间图形的三视图【分析】由已知中的三视图可得sc平面abc，底面abc为等腰三角形，sc=4，abc中ac=4，ac边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案【解答】解：由已知中的三视图可得sc平面abc，且底面abc为等腰三角形，在abc中ac=4，ac边上的高为2，故bc=4，在rtsbc中，由sc=4，可得sb=4，故选b7对任意的实数a、b，记若f（x）=maxf（x），g（x）（xr），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=f（x）的说法中，正确的是（）ay=f（x）为奇函数by=f（x）有极大值f（1）且有极小值f（0）cy=f（x）在（3，0）上为增函数dy=f（x）的最小值为2且最大值为2【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的判断【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否【解答】解：f（x）*g（x）=maxf（x），g（x），f（x）*g（x）=maxf（x），g（x）的定义域为r，f（x）*g（x）=maxf（x），g（x），画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=f（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故a不正确y=f（x）有极大值f（1）且有极小值f（0）；故b正确y=f（x）在（3，0）上不为单调函数；故c不正确y=f（x）的没有最小值和最大值，故d不正确故选b8直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点a，b，以x轴的正方向为始边，oa为终边（o是坐标原点）的角为，ob为终边的角为，若|ab|=，那么sin（）的值是（）abcd【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义【分析】由题意根据，oa=ob=1，可得aob=，从而求得sin（）=sin（）的值【解答】解：直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点a，b，以x轴的正方向为始边，oa为终边（o是坐标原点）的角为，ob为终边的角为，若，oa=ob=1，aob=，那么sin（）=sin（）=，故选：d9已知数列an的前n项和为sn，a1=1，当n2时，an+2sn1=n，则s2015的值为（）a2015b2013c1008d1007【考点】数列递推式【分析】根据an+2sn1=n得到递推关系an+1+an=1，n2，从而得到当n是奇数时，an=1，n是偶数时，an=0，即可得到结论【解答】解：当n2时，an+2sn1=n，an+1+2sn=n+1，两式相减得：an+1+2sn（an+2sn1）=n+1n，即an+1+an=1，n2，当n=2时，a2+2a1=2，解得a2=22a1=0，满足an+1+an=1，则当n是奇数时，an=1，当n是偶数时，an=0，则s2015=1008，故选：c10若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）a6，2b（6，2）c3，1d（3，1）【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可【解答】解：作出可行域如图所示，将z=ax+2y化成y=+，当13时，y=x+仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+2y仅在点a（1，0）处取得最小值，解得6a2故选：b11设p是椭圆+=1上一点，m、n分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x4）2+y2=1上的点，则|pm|+|pn|的最小值、最大值的分别为（）a9，12b8，11c8，12d10，12【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】圆外一点p到圆上所有点中距离最大值为|pc|+r，最小值为|pc|r，其中c为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点p与两圆心m，n，直线pm，pn与两圆各交于两处取得最值，最大值为|pm|+|pn|+两圆半径之和，最小值为|pm|+|pn|两圆半径之和【解答】解：两圆圆心f1（4，0），f2（4，0）恰好是椭圆+=1的焦点，|pf1|+|pf2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，（|pm|+|pn|）min=|pf1|+|pf2|2r=102=8（|pm|+|pn|）max=|pf1|+|pf2|+2r=10+2=12故选：c12已知定义在r上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足f（x）f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）ex的解集为（）a（2，+）b（0，+）c（1，+）d（4，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合【分析】构造函数g（x）=（xr），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：y=f（x+2）为偶函数，y=f（x+2）的图象关于x=0对称y=f（x）的图象关于x=2对称f（4）=f（0）又f（4）=1，f（0）=1设g（x）=（xr），则g（x）=又f（x）f（x），f（x）f（x）0g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递减f（x）exg（x）1又g（0）=1g（x）g（0）x0故选b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1【考点】椭圆的简单性质【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c=2，解得k=1故答案为：114以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】记甲组四名同学为a1，a2，a3，a4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为b1，b2，b3，b4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，由此利用列举法能求出这两名同学的植树总棵数为19的概率【解答】解：记甲组四名同学为a1，a2，a3，a4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为b1，b2，b3，b4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（a1，b1）（a1，b2）（a1，b3）（a1，b4）（a2，b1）（a2，b2）（a2，b3）（a2，b4）（a3，b1）（a3，b2）（a3，b3）（a3，b4）（a4，b1）（a4，b2）（a4，b3）（a4，b4）设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件c，则c中的结果有4个，它们是（a1，b4）（a2，b4）（a3，b2）（a4，b2），故所求概率为故答案为：15曲线y=sinx（0x）与直线围成的封闭图形的面积是【考点】正弦函数的图象【分析】先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx（0x）与直线y=围成的封闭图形的面积【解答】解：令sinx=（0x），则x，曲线y=sinx（0x）与直线y=围成的封闭图形的面积是（sinx）=（cosx）=（cos）（cos）=故答案：16已知三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，ab=2，ac=1，bac=60，则此球的表面积等于8【考点】球的体积和表面积【分析】利用三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，ab=2，ac=1，bac=60，求出aa1，再求出abc外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积【解答】解：三棱柱abca1b1c1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，ab=2，ac=1，bac=60，=aa1=2bc2=ab2+ac22abaccos60=4+12，bc=设abc外接圆的半径为r，则，r=1外接球的半径为=球的表面积等于4=8故答案为：8三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17已知函数f（x）=|x1|，g（x）=x2+6x5（1）若g（x）f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）f（x）的最大值【考点】函数的最值及其几何意义【分析】（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）f（x）的最大值在1，4上取得，求出即可【解答】解：（1）当x1时，f（x）=x1；g（x）f（x），x2+6x5x1；整理，得（x1）（x4）0，解得x1，4；当x1时，f（x）=1x；g（x）f（x），x2+6x51x，整理，得（x1）（x6）0，解得x1，6，又，x；综上，x的取值范围是1，4（2）由（1）知，g（x）f（x）的最大值在1，4上取得，g（x）f（x）=（x2+6x+5）（x1）=+，当x=时，g（x）f（x）取到最大值是18设锐角abc的三内角a，b，c的对边分别为 a，b，c，向量=， =，已知与共线（）求角a的大小；（）若a=2，且abc的面积小于3，求角b的取值范围【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形【分析】（）利用向量平行，得到关于a的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角a的大小；（）通过a=2，且abc的面积小于3，得到b的余弦值的范围，然后求角b的取值范围【解答】解：（）因为，则，即、所以，即，即、a是锐角，则，所以、（）因为a=2，则=、由已知，即、因为b是锐角，所以，即，c是锐角，所以b，故角b的取值范围是（，）19已知四棱锥pabcd中pa平面abcd，且pa=4pq=4，底面为直角梯形，cda=bad=90，m，n分别是pd，pb的中点（1）求证：mq平面pcb；（2）求截面mcn与底面abcd所成二面角的大小；（3）求点a到平面mcn的距离【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法向量法：对于（1）求证：mq平面pcb，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行对于（2）求截面mcn与底面abcd所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；对于（3）求点a到平面mcn的距离，求出平面上任一点与a连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙几何法：（1）求证mq平面pcb，用线面平行的判定定理证明即可；（2）求截面mcn与底面abcd所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值（3）求点a到平面mcn的距离，须先作出点a在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可【解答】解：法一向量法：以a为原点，以ad，ab，ap分别为x，y，z建立空间直角坐标系oxyz，由，pa=4pq=4，m，n分别是pd，pb的中点，可得：，设平面的pbc的法向量为，则有：令z=1，则，又mq平面pcb，mq平面pcb；（2）设平面的mcn的法向量为，又则有：令z=1，则，又为平面abcd的法向量，又截面mcn与底面abcd所成二面角为锐二面角，截面mcn与底面abcd所成二面角的大小为，（3），所求的距离；法二，几何法：（1）取ap的中点e，连接ed，则edcn，依题有q为ep的中点，所以mqed，所以mqcn，又mq平面pcb，cn平面pcb，mq平面pcb（2）易证：平面men底面abcd，所以截面mcn与平面men所成的二面角即为平面mcn与底面abcd所成的二面角，因为pa平面abcd，所以pa平面men，过e做efmn，垂足为f，连接qf，则由三垂线定理可知qfmn，由（1）可知m，c，n，q四点共面所以qfe为截面mcn与平面men所成的二面角的平面角，所以：，所以：；（3）因为ep的中点为q，且平面mcn与pa交于点q，所以点a到平面mcn的距离是点e到平面mcn的距离的3倍，由（2）知：mn平面qef，则平面mcnq平面qef且交线为qf，作ehqf，垂足为h，则eh平面mcnq，故eh即为点e到平面mcn的距离20已知正项等比数列an（nn*），首项a1=3，前n项和为sn，且s3+a3、s5+a5、s4+a4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nsn的前n项和tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出；（2）利用等差数列和等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出【解答】解：（1）设正项等比数列an（nn*），又a1=3，s3+a3、s5+a5、s4+a4成等差数列，2（s5+a5）=（s3+a3）+（s4+a4），即2（a1+a2+a3+a4+2a5）=（a1+a2+2a3）+（a1+a2+a3+2a4），化简得4a5=a3，化为4q2=1，解得，an（nn*）是单调数列，（2）由（1）知，设，则，两式相减得，21已知函数f（x）=x3ax2，其中xr，a为参数（1）记函数g（x）=f（x）+lnx，讨论函数g（x）的单调性；（2）若曲线y=f（x）与x轴正半轴有交点且交点为p，曲线在点p处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）g（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（2）求出f（x）点p处的切线方程y=g（x），令h（x）=f（x）g（x），根据函数的单调性求出h（x）0即可【解答】解：（1）函数g（x）的定义域是（0，+），f（x）=3x22ax，g（x）=（3x22ax）+l