高考数学总复习 12.5导数的应用课件 人教版.ppt

第五讲导数的应用 一 函数的单调性一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则函数f x 在这个区间内为 如果f x 0 则函数f x 在这个区间内为 增函数 减函数 注意 可导函数f x 在 a b 内是增 减 函数的充要条件是 对任意的x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 的任何子区间内都不恒等于零 特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时 要注意等号是否可以取到 二 函数的极值1 函数的极值一般地 设函数y f x 在x x0及其附近 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值 就说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值 就说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 2 可导函数的极值设函数y f x 在x x0处连续且f x0 0 若在点x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数的极大值 若在点x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数的极小值 有定义 都大 都小 注意 1 函数极值的定义适用于任何一个函数 每个函数均可用定义判断极值 函数可以有极值 也可以没有极值 如有极值 可能是一个 也可能是多个 每个极值都是对该极值点附近而言的 但只有可导函数才能用导数知识判断函数的极值 2 求可导函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 检验f x 在方程f x 0根的左右侧的值的符号 如果左正右负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 3 由定义可知 若函数f x 在区间 a b 内有极值 那么f x 在区间 a b 内绝不是单调函数 即在区间 a b 内的单调函数没有极值 4 极值是一个局部概念 极值的大小关系是不确定的 即极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 三 最值定理一般地 在闭区间 a b 上连续的函数f x 必有最大值与最小值 注意 1 求可导函数最大值与最小值的步骤 求y f x 在 a b 内的极值 极大值或极小值 将y f x 在各极值点的极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 函数在整个定义域中可能没有最大值或最小值 但在某个闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值 3 根据 考试大纲 的规定 有关函数最大值 最小值的实际问题 一般指的是单峰函数 也就是说在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么不与端点值比较 就可以知道这一点就是最大 小 值点 1 函数f x x 3 ex的单调递增区间是 a 2 b 0 3 c 1 4 d 2 解析 f x ex x 3 ex ex x 2 由f x 0 得x 2 f x 在 2 上是增函数 故选d 答案 d 2 设f x x ax2 bx c a 0 在x 1和x 1处均有极值 则下列点中一定在x轴上的是 a a b b a c c b c d a b c 答案 a 答案 a 4 2012桂林调研 已知函数y f x 的导数f x a x 1 x a 若y f x 在x a处取得极大值 则实数a的取值范围是 解析 当a 0时 a左侧f x 0 f x 在x a处取到极小值 当a 0时 f x 0 f x 是常数函数 f x 无极值 当 10 a右侧f x 0 f x 在x a处取到极大值 当a 1时 f x x 1 2 0 f x 在x a处取不到极值 当a 1时 a左侧f x 0 a右侧f x 0 f x 在x a处取到极小值 综上可知答案为 1 0 答案 1 0 题后总结 1 讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集 一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论 在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下 根的大小是分类的标准 2 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数 通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题 f x 与f x 的变化情况如下表 可见 f x 的极大值点和极小值点各有一个 题后总结 1 可导函数在某点取得极值的必要条件是 可导函数f x 在极值点处的导数为0 即若x0是可导函数f x 的极值点 则f x0 0 导数为0的点不一定是极值点 即f x0 0时 f x0 不一定是极值 如f x x3在x 0处的导数f 0 0 但x 0不是它的极值点 2 求极值时 一定要考虑使导数为零的点左右两边导数值的符号 若a 0 当x变化时 f x g x 的变化情况如下表 题后总结 1 函数的极 最 值与单调性密不可分 研究极 最 值 一般先研究f x 的符号 确定函数的单调性 进而确定其极 最 值 2 对于含参数的问题 要注意根据解不等式的需要确定分类讨论的标准 讨论时要做到不重不漏 活学活用 2 已知函数f x g x alnx a r 1 若曲线y f x 与曲线y g x 相交 且在交点处有相同的切线 求a的值及该切线的方程 2 设函数h x f x g x 当h x 存在最小值时 求其最小值 a 的解析式 3 对 2 中的 a 证明 当a 0 时 a 1 易错点 导数与单调性关系不清致误已知f x x3 ax2 3x 1 若f x 在 2 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 3是f x 的极值点 求f x 在 1 a 上的最小值和最大值 错因分析 求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式 受此影响 容易认为函数f x 的导数在区间 2 上大于零 忽视了函数的导数在 2 上个别的点处可以等于零 这样的点不影响函数的单调性 状元笔记 函数的导函数与其单调性之间的关系从如下三个方面理解函数的导数与其单调性之间的关系 1 在某个区间 a b 上 若f x 0 则f x 在这个区间上单调递增 若f x 0