均值不等式的应用.doc

二项式定理（教学实录） 赤峰二中 孙广仁一、教学目标（略）二、 教学过程 1、 复习引入 师： 4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？（用多媒体给出题。） 学生讨论后用多媒体给出答案：取法及取法种数都不取白球（全取红球）：；取一个白球（1白3红）：；取2个白球（2白2红）：；取3个白球（3白1红）：；取4个白球（无红球）：. 师：取法种数再次验证组合数性质：. 顺便问一问，组合数的另一个性质是什么？生：师：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开，展开式中有哪些项？各项系数是什么？生：都不取；取1个；取2个；取3个；取4个，各项系数分别是， .师：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同. “取球”问题具体一点，的乘法抽象一点（板书）. 2、 点明课题师：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式（.师阅读屏幕上的式子并提出问题） 3、 猜想二项式定理师：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律. 、 系数的规律师：下面是，各项的系数，试观察分析其规律. 屏幕打出： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1生甲：每行的两端相等，都是1.生乙：与首末等距离的两项也相等，中间一项或两项最大.师： 上下两行有什么关系？生丙：下一行的第二个数等于上行第一、二个数的和，第三个数等于上行第二、三个数的和师： 对. 下一行除1次外的每个数都等于它肩上两个数的和. 根据这两条规律，大家能写出，的系数吗？生： 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1屏幕打出： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1师： 上面这个表称杨辉三角，它是宋朝数学家杨辉的杰作. 杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它比欧洲人称为帕斯卡三角要早四百多年. 当幂指数较小时，应用杨辉三角非常简便. 但当较大时，它就表现一定的局限性. 如时，要依赖展开式的各项系数. 而且展开式的系数，也不好用类似的数字表达. 要解决这个问题，同学们从展开式的系数得到什么启示吗？:生说字幕显示： ， ，师： 你能猜想展开式的系数吗？生说字幕显示： ， 、 关于字母及其幂指数的规律师： 同学们通过观察展开式，能否发现、的结构规律？生： 的指数由4逐一减少到0；而的指数内0逐一增加到4. 每一项、的指数和都是4，即，.师： 据此，请说出的展开式.字幕显示：师： 那么在的展开式中，大家能猜想出、的指数规律吗？生：、的指数规律的指数，从逐一减少到0，且等于组合数的下标上标；的指数，从0逐一增加到，且等于组合数的上标. 每一项的指数与的指数之和等于.师： 牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”请大家大胆地猜想二项式定理. 生：猜想：. 4、 证明二项式定理师： 大胆猜想，科学求证. 下面我们用数学归纳法证明二项式定理. 屏幕显示：证明：（1）略 （2）假设当时等式成立，即 则当时 师： 我们在变换之前，应该先明确证明目标：字幕显示：师： 对，这是我们要证明的目标. 对照这个目标，需要作多项式的乘法. 下面请同学们进行乘法运算. 乘完后，看有什么情况？如何处理才能一步一步向证明目标靠拢？（待学生运算结束后）师： 大家发现有什么情况？生： ，各有两项，各有一项.师： 对，如何处理同类项？生： 合并同类项.屏幕显示： 师： 请同学们观察合并的系数与证明目标中的系数有什么关系？生：相等，字幕显示：，师： 上面诸等式成立的依据是什么？生： 组合数性质师：应用组合数性质：以及，则得到 （以下证明略） 5、 对公式的再认识师、生共同总结叙述：1.通项公式： 2.规律：（1）项数：项 （2）二项式系数：，即，与首末等距离的两项的二项式系数相等. （3）、的指数之和等于k+1。6、 公式的初步应用【学生练习】1. 写出的展开式（解略）2. 写出的展开式（略）3. 写出的展开式（略）4. 求展开式中的第3项解：5. 求展开式中的第3项解：师： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？生： 公式中的、不能互换. 师： 对. 求整个展开式，、可以互换，但求某一项时，、不能互换.师： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？生： 15，2160. 两者不同.师： 是的. “二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别.三、 小结师说屏幕显示：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理. 2.数学思想和方法