高中数学 第2章 数列整合提升课件 苏教版必修5.ppt

专题一 专题二 等差数列与等比数列的综合应用1 证明等差数列 等比数列例1已知数列 an 是等比数列 sn是其前n项的和 a1 a7 a4成等差数列 求证 2s3 s6 s12 s6成等比数列 思路分析 由已知条件求出公比q 然后算出2s3 s6 s12 s6 再利用定义证明它们成等比数列 证明 设等比数列 an 的公比为q a1 a7 a4成等差数列 a1 a4 2a7 即a1 1 q3 2a1q6 a1 0 2q6 q3 1 0 专题一 专题二 专题一 专题二 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 bn 是等比数列 3 若cn an bn 求证 cn 1 cn 1 解 由已知点an在y2 x2 1上 知an 1 an 1 则数列 an 是一个以2为首项 以1为公差的等差数列 即an a1 n 1 d 2 n 1 n 1 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 2 等差 比 数列综合题例2已知 an 是公比为q的等比数列 且a1 a3 a2成等差数列 1 求q的值 2 设 bn 是以2为首项 q为公差的等差数列 其前n项和为sn 当n 2时 比较sn与bn的大小 并说明理由 思路分析 要比较大小 可作差 然后看差大于0 等于0 小于0 专题一 专题二 规纳总结对于等差 比 数列综合题 应在熟悉基础知识 基本题型和基本方法的前提下加强训练 逐步提高自己综合应用知识的能力 发展自己的分析问题和解决问题的能力 专题一 专题二 迁移训练2等差数列 an 的公差不为零 首项a1 1 a2是a1和a5的等比中项 则数列的前10项之和是 答案 100解析 设数列 an 的公差为d 前n项和为sn a2是a1和a5的等比中项 1 d 2 1 1 4d d 0 解得 d 2 又 a1 1 s10 100 专题一 专题二 专题一 专题二 例3数列 an 的前n项和记为sn a1 1 an 1 2sn 1 n 1 1 求数列 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3成等比数列 求tn 思路分析 1 已知sn求an 必须分类讨论 2 等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 的条件为公差d 0 解 1 由an 1 2sn 1 可得an 2sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2an an 1 3an n 2 又 a2 2s1 1 3 a2 3a1 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 即an 3n 1 专题一 专题二 2 设 bn 的公差为d 由t3 15得b1 b2 b3 15 于是b2 5 故可设b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3 2 解得 d1 2 d2 10 等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 d 0 从而d 10 b1 15 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 3 应用题例4沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召 对西部地区乙企业进行扶持技术改造 乙企业的经营现状是每月收入为45万元 但因设备老化 从下个月开始需支付设备维修费 第一个月为3万元 以后逐月递增2万元 甲公司决定投资400万元扶持改造乙企业 据测算 改造后乙企业第一个月收入为16万元 在以后的4个月中 每月收入都比上个月增长50 而后各月收入都稳定在第5个月水平上 若设备改造时间可忽略不计 那么从下个月开始至少经过多少个月 改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益 专题一 专题二 专题一 专题二 n 5时 bn an 81n 594 43n n2 n2 38n 594 令n2 38n 594 0 即 n 19 2 955 从而n 19 30 9 n 11 9 n n n 12 故至少经过12个月 改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总效益 专题一 专题二 迁移训练5某企业自2013年1月1日正式投产 环保监测部门从该企业投产之日起对它向某湖区排放污水进行了4个月的跟踪检测 检测的数据如下表 并预测 如果不加以治理 该企业每月向湖区排放污水的量将成等比数列 1 如果不加以治理 求从2013年1月起 m个月后 该企业总计向某湖区排放了多少立方米的污水 2 为保护环境 当地政府和企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备 预计7月份的污水排放量比6月份减少4万立方米 以后每月的污水排放量均比上月减少4万立方米 当企业停止排放污水后 再以每月16万立方米的速度处理湖区中的污水 请问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万立方米 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 数列求和一般数列的求和问题的常用方法有 1 转化为等差 比 数列 数列求和最常用的方法 2 分项求和法 这也是转化变形的一个重要手段 3 错位相减法 若 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前n项和 4 裂项相消法 主要应用于通项公式是分式的数列 5 倒序求和法 主要应用于由函数构造的数列 6 利用已知求和公式 专题一 专题二 下面 对其中常用的三种方法举例说明 1 分项求和法例5将n2个数排成n行n列的一个数阵 a11a12a13 a1na21a22a23 a2na31a32a33 a3n an1an2an3 ann已知a11 2 a13 a61 1 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列 每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列 其中m为正实数 1 求第i行第j列的数aij 2 求这n2个数的和 专题一 专题二 规纳总结数阵 数表是数列的推广 解决数阵问题的方法是把数阵看成很多个数列 主要是看成等差数列或等比数列 专题一 专题二 迁移训练6求和12 22 32 42 52 62 992 1002 解 sn 12 22 32 42 52 62 992 1002 1 2 3 4 5 6 99 100 迁移训练7等比数列 an 的首项为a 公比为q sn为前n项和 求s1 s2 sn 解 当q 1时 专题一 专题二 专题一 专题二 特别提示 应用等比数列求和公式时 必须注意公比q与1的关系 错位相减时 式的首项和 式的最后一项要特别注意 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 3 裂项相消法例7已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第二项 第五项 第十四项分别是一个等比数列的第二项 第三项 第四项 1 求数列 an 的通项公式 解 1 由题意 得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理 得2a1d d2 a1 1 解得 d 2 d 0舍去 an 2n 1 n n 专题一 专题二 专题一 专题二 拓展延伸对于分式数列的求和要优先想到裂项相消法 裂项可考虑一般项ai 先把ai裂成两项的差 然后i依次取1 2 3 n 专题一 专题二 迁移训练9已知数列 an 满足a1 1 对任意n n 有a1 3a2 5a3 2n 1 an pn p为常数 1 求p的值及数列 an 的通项