“设而不求”与整体思想在解几中的应用.doc

“设而不求”与整体思想在解几中的应用福建省南安一中（邮编：362300） 陈建设解析几何中的圆锥曲线是高考的重点、难点和热点，而其中的计算是困难的。如何避免求交点，从而简化计算，也就成了处理这类问题的难点与关键。下面介绍一种策略设而不求，这实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。一、设而不求，方程相减得所求直线方程。例1：已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x-1)2+（y-1)2=1，求二圆公共弦所在直线方程。分析：容易想到联立两个方程求得二圆的交点坐标，并利用“两点式”求出直线方程。可是明显计算量过大。事实上，考虑设二圆交点为A（x1,y1），B（x2,y2），则A点同时满足圆C1和圆C2的方程，即x12+y12=1且 (x1-1)2+（y1-1)2=1，所以x12+y12 (x1-1)2+（y1-1)2=1-1=0，即得x1+y1-1=0，所以A点满足方程x+y-1=0为一个直线方程，同理，点B亦满足这个直线方程。综上可知，点A与点B均在直线x+y-1=0上，故而二圆公共弦即交点连线所在直线方程就是x+y-1=0。上述分析似乎很烦，但若明白其理，本题的解题过程可以简化为：解：设C1和C2的交点为A（x1,y1）,B（x2,y2），则A（x1,y1）,B（x2,y2）同时满足x2+y2- (x-1)2+（y-1)2=0，即x+y-1=0，lAB：x+y-1=0就是所求。 言简意赅，只是思考的过程多了。诚然，对于例1的这种解法并不新鲜，但若对这种“设交点而不求交点，但利用它解题”的设而不求的策略进行推广，便可以使几类型的题目的解题思路“豁然开朗”。推论1：对于曲线C1：f1(x,y)=0, C2：f2(x,y)=0，若C1和C2交于两点A、B,且f1(x,y)- f2(x,y)=0为直线方程，则曲线C1和C2的公共弦所在直线方程为f1(x,y)- f2(x,y)=0。（证明类似例1的分析，略。）例2：抛物线C1：y2=ax与它关于点 (1,1)对称的抛物线C2有两个不同的交点，若过这两个交点的直线倾斜角为45，求实数a。解：设与抛物线y2=ax关于P（1，1）对称的抛物线上任一点为M(x,y),则M关于P的对称点（2-x,2-y）在y2=ax上，（2-y）2=a（2-x）即（y -2）2=为曲线C2的方程；设C1和C2交于A,B两点，由（y -2）2 -a（2-x）- y2- ax=0即方程 -2ax + 4y-4+2a=0为直线方程，由推论1得 lAB：-2ax + 4y- 4+2a=0 又 lAB倾斜角为45， 直线斜率为1，即知a=2。 例3：抛物线x2=3y上两点A,B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0（p,qR,且p,q是常数）的两个实根，求直线 AB的方程。解法1：设lAB：y=kx+b(k存在)， 代入x2=3y整理得x2-3kx-3b=0 （1）由题意可知（1）是以A,B两点横坐标x1,x2为解的方程即x2+px+q=0。 lAB：y=kx+b即px+3y+q=0。解法2：设A（x1,y1），B（x2,y2）为曲线x2=3y与曲线x2+px+q=0（注：这里将二次方程看作直线x= x1和x= x2）的交点，而x2-3y- x2+px+q=0 即px+3y+q=0为直线方程，由推论1知即为所求。对于例2而言，若依据推论1，真正意义上的运算已经很少了；而例3举出两种解法作比较，让解法2的“设而不求，多思考少运算”的优势更为明显。其实，推论1还可以继续一般化，容易得到：推论2：若曲线C1：f1(x,y)=0, C2：f2(x,y)=0有若干公共点，则曲线pf1(x,y) -qf2(x,y)=0(p,qR)过这若干点。（证明略）例4：过直线l:2x+y-4=0和圆C1:x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且有最小面积的圆的方程。解：设过直线和圆C1交点的交点圆方程为：x2+y2+2x-4y+1+（2x+y-4 ）=0 配方整理得 当=，圆半径最小，这时圆面积最小圆方程。上述设而不求举措还可以解决二元二次曲线中，与弦中点相关的一些题目。二、设而不求，代两交点坐标到圆锥曲线方程中，对两方程进行作差得弦中点和弦斜率的关系简称“代点作差”）。推论3：若斜率为k的直线l与圆锥曲线（m，n0）交于A,B两点,AB的中点为M (x0,y0), 则k=.证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).则: 两式相减得: 即: 推论3： 若斜率为k的直线l与椭圆交于A,B两点,AB的中点为M (x0,y0), 则k=；推论3： 若斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两点,AB的中点为M (x0,y0), 则k=；推论3： 若斜率为k的直线l与抛物线y2=2px（p0）交于A,B两点,AB的中点为M (x0,y0), 则k=。 对于解决与圆锥曲线的弦中点相关的题目，推论3系列的结论往往可以达到事半功倍，减少运算的效果。 例5：已知点M（1，1）为双曲线 上两点AB的中点，求弦AB所在的直线方程。解：由推论3知kAB= =2， 直线AB的方程为2x-y-1=0 。例6：已知椭圆的中心在原点，且以坐标轴为对称轴，它与直线相交于A，B两点，C是AB的中点，且，OC的斜率是，求椭圆的方程。 解：设椭圆方程是（这种设法避免了讨论焦点位置）， 由推论3得 所以 又由弦长公式得，把直线方程代入椭圆方程得 由一元二次方程根与系数的关系及得，在把代入，即解得，。 所求椭圆方程为。 三、设而不求，结合韦达定理成为解直线和圆锥曲线题目的常规解法。例7：已知椭圆C的方程： ，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，在椭圆上有不同的两点关于该直线对称。解法1：设椭圆上关于直线l的对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB中点M(x0,y0)在l上，即y0=4x0+m 由推论3知 kAB= = 联立解得x0= -m,y0= -3m由题意知点M在椭圆C内部得即为所求。 解法2：设椭圆上关于直线l的对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2)，其所在直线方程设为，代入椭圆方程并整理得：由于P1P2是曲线上不同的两点，因而= -12（4b2-13）0解得x1、x2