2018-2019学年高中数学计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质习题新人教A版.docx

第一章1.31.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质A级基础巩固一、选择题1若(3)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是(C)A第3项 B第4项 C第5项 D第6项解析令x1，得出(3)n的展开式中各项系数和为(31)n256，解得n8；(3)8的展开式通项公式为：Tr1C(3)8r()r(1)r38rCx4r，令4r0，解得r4展开式的常数项是Tr1T5，即第5项故选C2若9nC9n1C9C是11的倍数，则自然数n为(A)A奇数 B偶数C3的倍数 D被3除余1的数解析9nC9n1C9C(9n1C9nC92C9C)(91)n1(10n11)是11的倍数，n1为偶数，n为奇数3(2018黄浦区二模)二项式()40的展开式中，其中是有理项的项数共有(B)A4项 B7项C5项 D6项解析二项式()40的展开式的通项为Tr1C()40r()rCx0r40，且rN，当r0、6、12、18、24、30、36时，Z二项式()40的展开式中，其中是有理项的项数共有7项故选B4若a为正实数，且(ax)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为(D)A BC D解析由条件知，(a1)20161，a11，a为正实数，a2展开式的第2016项为：T2016C(2x)()20152Cx20144032x2014，故选D5若二项式(2x)7的展开式中的系数是84，则实数a(C)A2 B C1 D解析二项式(2x)7的通项公式为Tr1C(2x)7r()rC27rarx72r，令72r3，得r5.故展开式中的系数是C22a584，解得a16(2016南安高二检测)233除以9的余数是(A)A8 B4 C2 D1解析233(23)11(91)11911C910C99C919(910C99C1)8，233除以9的余数是8.故选A二、填空题7若n展开式的各项系数之和为32，则n_5_，其展开式中的常数项为_10_(用数字作答)解析令x1，得2n32，得n5，则Tr1C(x2)5rrCx105r，令105r0，r2.故常数项为T3108已知(x)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是_1或38_解析Tr1Cx8r()r(a)rCx82r，令82r0得r4，由条件知，a4C1120，a2，令x1得展开式各项系数的和为1或389在二项式()n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则n_3_解析由题意可知，B2n，A4n，由AB72，得4n2n72，2n8，n3三、解答题10设(12x)2017a0a1xa2x2a2017x2017(xR)(1)求a0a1a2a2017的值；(2)求a1a3a5a2017的值；(3)求|a0|a1|a2|a2017|的值解析(1)令x1，得：a0a1a2a2017(1)20171(2)令x1，得：a0a1a2a201732017得：2(a1a3a2015a2017)132017，a1a3a5a2017(3)Tr1C12017r(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2017|a0a1a2a3a2016a201732017B级素养提升一、选择题1若n为正奇数，则7nC7n1C7n2C7被9除所得的余数是(C)A0 B2 C7 D8解析原式(71)nC8n1(91)n19nC9n1C9n2C9(1)n1(1)n1，n为正奇数，(1)n1297，则余数为72(2016上饶市高二检测)设函数f(x)(2xa)n，其中n60cosxdx，12，则f(x)的展开式中x4的系数为(B)A240 B240 C60 D60解析n60cosxdx6sinx|06，f(x)(2xa)6，f(x)12(2xa)5，12，12，a1f(x)(2x1)6其展开式的通项Tr1C(2x)6r(1)r(1)rC26rx6r，令6r4得r2，f(x)展开式中x4的系数为(1)2C24240，故选B二、填空题3观察下列等式：(1xx2)11xx2，(1xx2)212x3x22x3x4，(1xx2)313x6x27x36x43x5x6，(1xx2)414x10x216x319x416x510x64x7x8，由以上等式推测：对于nN*，若(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，则a2_解析观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a24设(3x1)8a8x8a7x7a1xa0，则(1)a8a7a1_255_；(2)a8a6a4a2a0_32896_解析令x0，得a01(1)令x1得(31)8a8a7a1a0，a8a7a2a128a02561255(2)令x1得(31)8a8a7a6a1a0.得28482(a8a6a4a2a0)，a8a6a4a2a0(2848)32 896三、解答题5在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解析设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数和为CCC210(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101(3)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a106在二项式()n的展开式中，前三项系数成等差数列(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项解析(1)二项式()n的展开式中，前三项系数分别为1，再根据前三项系数成等差数列，可得n1，求得n8或n1(舍去)故二项式()8的展开式的通项公式为Tr1C2rx4r令4r0，求得r4，可得展开式的常数项为T5C()4(2)设第r1项的系数最大，则由，求得2r3，因为rZ，所以r2或r3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T37x2，T47xC级能力拔高(2016江苏卷)(1)求7C4C的值；(2)设m，nN*，nm，求证：(m1)C(m2)C(m3)CnC(n1)C(m1)C解析(1)7C4C740(2)当nm