高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 文 北师大版.ppt

1 2命题及其关系 充分条件与必要条件 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 四种命题及相互关系 知识梳理 若q 则p 若綈p 则綈q 若綈q 则綈p 3 充分条件与必要条件 1 如果p q 则p是q的条件 同时q是p的条件 2 如果p q 但q p 则p是q的条件 3 如果p q 且q p 则p是q的条件 4 如果q p 且p q 则p是q的条件 5 如果p q 且q p 则p是q的既不充分也不必要条件 充分 必要 充分不必要 充要 必要不充分 2 四种命题的真假关系 1 两个命题互为逆否命题 它们有的真假性 2 两个命题互为逆命题或互为否命题 它们的真假性没有关系 相同 从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合a的形式出现 q以集合b的形式出现 即a x p x b x q x 则关于充分条件 必要条件又可以叙述为 1 若a b 则p是q的充分条件 2 若a b 则p是q的必要条件 3 若a b 则p是q的充要条件 4 若a b 则p是q的充分不必要条件 5 若a b 则p是q的必要不充分条件 6 若ab且a b 则p是q的既不充分也不必要条件 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 x2 2x 3 0 是命题 2 命题 若p 则q 的否命题是 若p 则綈q 3 若一个命题是真命题 则其逆否命题也是真命题 4 当q是p的必要条件时 p是q的充分条件 5 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 6 若p是q的充分不必要条件 则綈p是綈q的必要不充分条件 考点自测 1 下列命题为真命题的是 答案 2 教材改编 命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是a 若xy 则x2 y2d 若x y 则x2 y2 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系 得命题 若x2 y2 则x y 的逆否命题是 若x y 则x2 y2 解析 答案 3 教材改编 x 1 x 2 0 是 x 1 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 由 x 1 x 2 0可得x 1或x 2 1 1 2 x 1 x 2 0 是 x 1 的必要不充分条件 4 2017 西安一中质检 已知a b是实数 则 a 2且b 2 是 a b 4且ab 4 的a 必要而不充分条件b 充分而不必要条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 反之不正确 故 a 2且b 2 是 a b 4且ab 4 的充分不必要条件 5 教材改编 下列命题 x 2 是 x2 4x 4 0 的必要不充分条件 圆心到直线的距离等于半径 是 这条直线为圆的切线 的充分必要条件 sin sin 是 的充要条件 ab 0 是 a 0 的充分不必要条件 其中为真命题的是 填序号 答案 题型分类深度剖析 题型一命题及其关系 例1 2016 潍坊一模 有下列四个命题 若 xy 1 则x y互为倒数 的逆命题 面积相等的三角形是全等三角形 的否命题 若m 1 则x2 2x m 0有实数解 的逆否命题 若a b b 则a b 的逆否命题 其中真命题为a b c d 解析 答案 的逆命题 若x y互为倒数 则xy 1 是真命题 的否命题 面积不相等的三角形不是全等三角形 是真命题 的逆否命题 若x2 2x m 0没有实数解 则m 1 是真命题 命题 是假命题 所以它的逆否命题也是假命题 故选d 1 写一个命题的其他三种命题时 需注意 对于不是 若p 则q 形式的命题 需先改写 若命题有大前提 写其他三种命题时需保留大前提 2 判断一个命题为真命题 要给出推理证明 判断一个命题是假命题 只需举出反例 3 根据 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 这一性质 当一个命题直接判断不易进行时 可转化为判断其等价命题的真假 思维升华 跟踪训练1 1 命题 若x 0 则x2 0 的否命题是a 若x 0 则x2 0b 若x2 0 则x 0c 若x 0 则x2 0d 若x2 0 则x 0 答案 2 某食品的广告词为 幸福的人们都拥有 这句话的等价命题是a 不拥有的人们会幸福b 幸福的人们不都拥有c 拥有的人们不幸福d 不拥有的人们不幸福 答案 题型二充分必要条件的判定 例2 1 2015 四川 设a b都是不等于1的正数 则 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 3a 3b 3 a b 1 此时loga33b 3 例如当a b 时 loga3b 1 故 3a 3b 3 是 loga3 logb3 的充分不必要条件 解析 答案 2 已知条件p x 1或xx2 则綈p是綈q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 解析 答案 由5x 6 x2 得2 x 3 即q 2 x 3 所以q p p q 所以綈p 綈q 綈q 綈p 所以綈p是綈q的充分不必要条件 故选a 充分条件 必要条件的三种判定方法 1 定义法 根据p q q p进行判断 适用于定义 定理判断性问题 2 集合法 根据p q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题 3 等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性 把判断的命题转化为其逆否命题进行判断 适用于条件和结论带有否定性词语的命题 思维升华 跟踪训练2 1 2016 四川 设p 实数x y满足x 1且y 1 q 实数x y满足x y 2 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 当x 1 y 1时 x y 2一定成立 即p q 当x y 2时 可以x 1 y 4 即q p 故p是q的充分不必要条件 解析 答案 2 已知p x y 2 q x y不都是 1 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 等价法 因为p x y 2 q x 1或y 1 所以綈p x y 2 綈q x 1且y 1 因为綈q 綈p但綈p 綈q 所以綈q是綈p的充分不必要条件 即p是q的充分不必要条件 故选a 解析 答案 题型三充分必要条件的应用 例3已知p x x2 8x 20 0 非空集合s x 1 m x 1 m 若x p是x s的必要条件 求m的取值范围 解答 由x2 8x 20 0 得 2 x 10 p x 2 x 10 由x p是x s的必要条件 知s p 当0 m 3时 x p是x s的必要条件 即所求m的取值范围是 0 3 引申探究 解答 1 本例条件不变 问是否存在实数m 使x p是x s的充要条件 若x p是x s的充要条件 则p s 即不存在实数m 使x p是x s的充要条件 解答 2 本例条件不变 若x 綈p是x 綈s的必要不充分条件 求实数m的取值范围 由例题知p x 2 x 10 綈p是綈s的必要不充分条件 p s且s p 2 10 1 m 1 m m 9 即m的取值范围是 9 充分条件 必要条件的应用 一般表现在参数问题的求解上 解题时需注意 1 把充分条件 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式 或不等式组 求解 2 要注意区间端点值的检验 思维升华 跟踪训练3 1 已知命题p a x a 1 命题q x2 4x 0 若p是q的充分不必要条件 则a的取值范围是 0 3 令m x a x a 1 n x x2 4x 0 x 0 x 4 p是q的充分不必要条件 m n 解析 答案 2 已知命题p 40 若綈p是綈q的充分条件 则实数a的取值范围是 解析 答案 1 6 由p 40成立 得2 x 3 所以綈p x a 4或x a 4 綈q x 2或x 3 故答案为 1 6 典例 1 2016 湖北七校联考 已知p q是两个命题 那么 p q是真命题 是 綈p是假命题 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件 等价转化思想在充要条件中的应用 思想与方法系列1 2 已知条件p x2 2x 3 0 条件q x a 且綈q的一个充分不必要条件是綈p 则a的取值范围是a 1 b 1 c 1 d 3 思想方法指导 解析 答案 等价转化是将一些复杂的 生疏的问题转化成简单的 熟悉的问题 在解题中经常用到 本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化 返回 1 因为 p且q是真命题 等价于 p q都为真命题 且 綈p是假命题 等价于 p是真命题 所以 p且q是真命题 是 綈p是假命题 的充分不必要条件 2 由x2 2x 3 0 得x1 由綈q的一个充分不必要条件是綈p 可知綈p是綈q的充分不必要条件 等价于q是p的充分不必要条件 x x a x x1 a 1 返回 课时作业 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 命题 如果x a2 b2 那么x 2ab 的逆否命题是a 如果x a2 b2 那么x 2abb 如果x 2ab 那么x a2 b2c 如果x 2ab 那么x a2 b2d 如果x a2 b2 那么x 2ab 答案 解析 命题 若p 则q 的逆否命题是 若綈q 则綈p 的否定是 故答案c正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2016 山东重点中学模拟 已知命题p 正数a的平方不等于0 命题q 若a不是正数 则它的平方等于0 则q是p的a 逆命题b 否命题c 逆否命题d 否定 答案 解析 命题p 正数a的平方不等于0 写成 若a是正数 则它的平方不等于0 从而q是p的否命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2015 重庆 x 1 是 的 答案 解析 a 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件 由x 1 x 2 3 x 2 1 x 1 故 x 1 是 成立的充分不必要条件 故选b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 2016 山东 已知直线a b分别在两个不同的平面 内 则 直线a和直线b相交 是 平面 和平面 相交 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 若直线a和直线b相交 则平面 和平面 相交 若平面 和平面 相交 那么直线a和直线b可能平行或异面或相交 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知集合a x r 2 d m 2 m 2 答案 解析 x b成立的一个充分不必要条件是x a a b m 1 3 即m 2 故选c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 设u为全集 a b是集合 则 存在集合c使得a c b uc 是 a b 的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由venn图易知充分性成立 反之 a b 时 由venn图 如图 可知 存在a c 同时满足a c b uc 故 存在集合c使得a c b uc 是 a b 的充要条件 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为函数f x 过点 1 0 所以函数f x 有且只有一个零点 函数y 2x a x 0 没有零点 函数y 2x x 0 与直线y a无公共点 由数形结合 可得a 0或a 1 观察选项 根据集合间关系得 a a1 故选a 答案 解析 9 设a b为正数 则 a b 1 是 a2 b2 1 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a b 1 即a b 1 又 a b为正数 a2 b 1 2 b2 1 2b b2 1 所以 a b 1 是 a2 b2 1 的充分不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 有三个命题 若x y 0 则x y互为相反数 的逆命题 若a b 则a2 b2 的逆否命题 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 其中真命题的序号为 命题 为 若x y互为相反数 则x y 0 是真命题 因为命题 若a b 则a2 b2 是假命题 故命题 是假命题 命题 为 若x 3 则x2 x 6 0 因为x2 x 6 0 3 x 2 故命题 是假命题 综上知只有命题 是真命题 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 给定两个命题p q 若綈p是q的必要不充分条件 则p是綈q的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 答案 解析 充分不必要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为綈p是q的必要不充分条件 所以q 綈p但綈p q 其逆否命题为p 綈q但綈q p 所以p是綈q的充分不必要条件 12 若xm 1是x2 2x 3 0的必要不充分条件 则实数m的取值范围是 答案 解析 0 2 由已知易得 x x2 2x 3 0 x xm 1 又 x x2 2x 3 0 x x3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 若 数列an n2 2 n n n 是递增数列 为假命题 则 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 20