直接证明与间接证明.doc

直接证明与间接证明复习总体设想红安县第一中学涂建兵1 考试说明对该专题的要求(1)了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点。(2)了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程和特点。本节学习的证明的基本方法是渗透到数学的各个章节中的，孤立的谈方法，不联系相关的知识点是没有意义的。在学习中，要变隐性为显性，变分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，同时通过进一步的复习，感受和体验如何学会数学思考方式，体会逻辑证明在数学学习和日常生活中的定义和作用，认识、掌握各种证明方法的特点，养成言之有理、论证有据的习惯，对证明的技巧性不宜作过高的要求。2专题知识体系构建的方法。1 直接证明的常用方法(1)综合法：“由因导果”的证明方法模型：已知条件已知定义 , 已知公理 , 已知定理 结论 框图表示：即(其中P表示已知条件，Q表示结论)（2）分析法：寻找“充分条件”，“因果执因”的方法。模型：结论定义，公理 ，定理 已知条件 框图表示.（3）分析综合法：分析探路，综合表述，在直接证明中常分析综合交错使用2 间接证明与反证法 间接证明相对直接证明而言 （1）反证法方法实质：原命题等价于逆否命题是“否定推理否定“的证明方法（2）反证法步骤： 反设：（结论的反面为真） 归谬：（据反设进行推理，推出矛盾）存真: （反为假，结论为真）（3）反证法应用背景直接证明困难，反面证明容易 已知条件少，不易直接证明结论与结论的反面比较，结论的反面简单，容易入手。 题目中含有“至少”“至多”“存在”“唯一”等字眼 3 重点知识强化策略包括常见题型和解题方法。重点知识强化策略（1） 常见题型题型 差值比较型题型 比商型题型 在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等 能力探究题型 题型 综合法证明不等式 题型 分析法证明不等式 题型 综合应用（2） 解题方法形式方法 差值比较法 商值比较法 综合法与分析法，反证法思想方法 数形结合思想 分类讨论思想 化归与转化思想 函数与方程思想4 难点突破策略（难教和难学点）重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题。难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力 难教点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题突破策略;从命题的特点、形式去选择证明方法 一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很复杂的，可以考虑用反证法。一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法。命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法。5 训练试题的选择意图。（1）主要以考查证明中的综合法为主。（2）反证法仅作为客观题的判断方法。(3) 用综合法、反证法证明问题是高考的热点，且常与数列、立体几何、解析几何、不等式等问题综合考查，题型多为解答题，难度适中，其中综合法的应用是高考的一种重要考向综合法复习的说课教案红安县第一中学涂建兵一，考纲分析本节复习人教A版2.2.1综合法，本节贯穿于直接证明与间接证明的整个教学过程。综合证明的基本方法是渗透到数学的各个章节中的，孤立的谈方法，不联系相关的知识点是没有意义的。在学习中，要变隐性为显性，变分散为集中，结合以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确化等方式，同时通过复习，感受和体验如何学会数学思考方式，体会逻辑证明在数学学习和日常生活中的定义和作用，认识、掌握各种证明方法的特点，养成言之有理、论证有据的习惯。二，教学目标知识目标；1结合已经学过的数学实例，了解直接证明的第一种基本方法综合法；了解综合法的思考过程、特点。让学生研究例题，多做习题，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 2根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.能力目标；1 通过讲练结合，培养学生处理问题，解决问题的能力。 2 通过讨论学习，培养学生与他人沟通交流，分工合作的能力。 3通过设置问题情境，提高学生分析和解决问题的能力。 情感目标1 通过这些基本证明方法的学习，使学生在以后的学习和生活中，能自觉、有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的习惯.2 培养学生观察、分析、归纳、总结的能力.三 教学重难点 重点: 了解综合法的思考过程、特点 难点： 根据问题的特点，结合综合法、分析法的 思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.四 教法：1 范例，结合探讨的方法，激发学生的学习兴趣。2 教师选讲，学生练习，竞争引进课堂。体现学生为主体，教师主导的作用。3 采用类比法，探讨法，引导学生发现问题，解决问题，从而体验获得知识的喜悦。4 通过教，学，放，收，突破重难点。五 学法:1 主动学习法，举出例子，提出问题，让学生获得感性认识时的同时，教师层层深入，启发学生积极思维，主动探讨知识的习惯。培养学生思维想象的综合能力。2 反馈补救法，在练习中注意观察学生对学习的反馈情况，实现培优补差的目的。3 引进竞争机制，激发学生学习潜力。六、教学过程 1 教具教师机学生机，投影仪，黑板等。 2 时间分配2分钟复习导入20分钟讲解例题15分钟练习3分钟小结3 设计 复习不等式的性质(口述)（说明复习两个不等式是为了例1的解决） 例1： 设a、b、c0，证明abc.（提出问题让学生感知进行证明时目的是：回归教材，夯实基础 。出示本节课课题“不等式的证明综合法” 引导学生观察所要证明的不等式的结构，思维来自观察，培养学生的观察能力，而这正是综合法的要点，由结构大胆猜测。 引导学生：从所要证的不等式的左边看，有三个单元结构，发现都有平方不等式的左边一样的结构，但右边系数是1，且为三个字母之和，又如何变出来？能否试试给出证明？ 让学生通过自己运用所学知识，尝试，在尝试中学会知识，实践出真知。 引导学生通过证明，总结这种方法与差比法证明不等式的区别在哪。从已知（已经成立）的不等式或定理出发，逐步推出（由因导果）所证的不等式成立。用综合法证明不等式的逻辑关系是：(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论) 即 由此可见，综合法是“由因导果”，即由已知条件出发，推导出所要证明的不等式成立。解答：a、b、c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)，即abc.课堂练习1：证明不等式x2y2z2xyyzxz. 课堂练习 “学而时习之，不亦乐乎”，通过再一次实践，完成练习，在证明时，提醒学生首先要观察不等式的结构，选择出发点，一步一步向目标靠近。抽学生到黑板上板演，通过学生的解答发现问题，总结经验。证明：x2y22xy，y2z22yz，x2z22xz，2x22y22z22xy2yz2xz，x2y2z2xyyzxz补充例题。由于例题1以及练习1都比较单一，用简单的综合法即可得到，但在不等式的证明中，有时要综合运用几种方法才可证明，而不是只用单一的方法。因此补充是必要的。 例题2设a,b,c三数成等比数列，而x,y分别为a，b和b，c的等差中项，求证：分析：运用综合法进行证明有关问题时，常常先把已知条件翻译成一些字母或数字关系式，再找它们与所要求证命题之间的关系，经过一系列的中间推理，最后导出所要证明的结论。本例巧妙利用比例的性质是解决本例的关键。证明;依题意a,b,c三数成等比数列即，由比例性质有：，又由题设:x=,y=,所以原命题得证。例3(高考题)(14分)已知函数f(x)x(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称证明当x1时，f(x)g(x)；(3)如果，且f()f()，证明2.本例的目的;展示命题方向，规范答题步骤。用综合法、分析法证明问题是高考的热点，且常与数列、立体几何、解析几何、不等式等问题综合考查，题型多为解答题，难度适中，其中综合法的应用是高考的一种重要考向规范解答(1)f(x)(1x)令f(x)0，解得x1.(1分)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数(3分)函数f(x)在x1处取得极大值f(1)，且f(1).(4分)(2)证明：由题意可知g(x)f(2x)，得g(x)(2x).(5分)令F(x)f(x)g(x)，即F(x)x(x2) ，于是F(x)(x1)(1)(7分)当x1时，2x20，从而10，又ex0，所以F(x)0.从而函数F(x)在1，)上是增函数又F(1)0，所以x1时，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x)(9分)(3)证明：若(1)( 1)0.由(1)及f()f()，得1，与矛盾(10分)若(1)( 1)0，由(1)及f()f()，得，与矛盾根据得(1)( 1)0，(11分)不妨设1.由(2)可知，f()g()，g()f(2)，所以f()f(2)，从而f()f(2)，因为1，所以22，即2.(14)练习：1设S是至少含有两个元素的集合在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，bS，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)若对任意的a，bS，有a*(b*a)b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是 ()A(a*b)*aaBa*(b*a)*(a*b)aCb*(b*b)bD(a*b)*b*(a*b)b解析：此题只有一个已知条件：a*(b*a)b.B中a*(b*a)b原式变为b*(a*b)a，成立C中相当于已知条件中a替换为b，明显成立D中，b*(a*b)a，原式变为(a*b)*ab成立答案：A2设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是_(填所有正确条件的代号)x为直线，y，z为平面；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x，y为平面，z为直线；x，y，z为直线解析：由空间位置关系的判定及性质可知正确答案：4在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若acsinA，则的最大值为_解析：由acsinA及正弦定理得sinAsinCsinA，从而有sinC1，C90，所以有a2b2c2， .答案：4设数列an的通项公式为anpnq(nN*，p0)数列bm定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值(1)若p，q，求b3；(2)若p2，q1，求数列bm的前2m项和的公式.解：(1)由题意，得ann，解n3，得n.使得n3成立的所有n中的最小正整数为7，即b37.(2)由题意，得an2n1，对正整数m，由anm，得n.根